книги из ГПНТБ / Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Точки А, lu l\ и т. д. следует брать на криволинейном образе и проецировать их на секущую плоскость в направлении прямолинейных направляющих коноида. Схема счета про­ граммы примет вид

Я 1 / / / 2 Х 3 / 4 К 6 / / 6 / / 7 / / 8 / / 9 / ? 1 0 / ? 1 1 / ? 1 2 / ? 1 з / 1 4 / 1 5 У 1 в / / / 1 7 1 / 1 8 ;

предыдущей, а брать следующую, записанную в памяти машины, точку массива б7 (или б8 ). Такой процесс позво­ ляет заменить операторы ХПа и ХПб операцией П. Та­ кая замена вполне допустима, так как максимальное уда­ ление следующей точки в направлении оси х не может быть больше 2 мм. Поэтому расстояние между соседними обра­ зующими, проходящими через эти точки, окажется малым и точки пересечения этих образующих с секущей пло­ скостью будут следовать одна за другой с интервалами, позволяющими достаточно точно воспроизвести характер линии пересечения. Дальнейшее упрощение программы

90

могла выбрать правильный путь решения задачи, ей должна быть известна поверхность, заданная на чертеже. В зависимости от вида линейчатой поверхности и при усло­ вии, что направляющей цилиндрической или конической поверхности является след этой поверхности на пло­ скости П1, а положение образующей определяется:

для цилиндрической поверхности — проекциями ее на­ правляющих;

метрические элементы:

1) шесть прямых и одна кривая (поверхность цилин­ дрическая);

2)четыре прямых, одна кривая и две точки (поверх­ ность коническая);

3)десять прямых (поверхность гиперболическая);

4) восемь прямых, две кривые (поверхность коноида) 2 .

1 Вторая точка выбирается машиной из числа точек, образующих направляющую конической поверхности.

2 Предполагается, что секущая плоскость задается пересекающи­ мися или параллельными прямыми.

91

Признаками, с помощью которых машина сможет «рас­ познать» по комплексному чертежу, с какой поверх­ ностью она имеет дело при решении задачи, служат:

1)присутствие точечного образа;

2)отсутствие криволинейного образа;

3)количество криволинейных образов.

Рис. 61

Эти признаки могут быть положены в основу проб, составляющих содержание ]£о (а,-) [выражение (32)], ко­ торые должна выполнить машина для выбора нужного ре­

нет (а2 = 1), выполнять массив Q3;

92

а3 — проба на число криволинейных образов, если образ один (ая = 1), выполнять массив Qu если два (ая = 2), выполнять массив Q4.

Следует отметить, что способ задания секущей пло­ скости не влияет на характер поиска, так как при состав­ лении признаков прямолинейные образы не учитываются. В общем виде схема счета программы для решения всех рассмотренных задач будет иметь вид

а,

О

На рис. 61 приведена фотография печатного бланка с результатами решения задачи по определению линии сечения цилиндрической поверхности плоскостью. Чтобы оценить степень точности машинного решения с аналити­ ческим, в качестве направляющей цилиндрической по­

ского цилиндра равнонаклонена к плоскостям проекций (результаты аналитического решения см. табл. 4 на стр. 148).

§ 10. ЗНАЧЕНИЕ МЕТОДА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ МАШИНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Широкие возможности для решения некоторых слож­ ных задач открываются благодаря использованию ме­ тода топологических свойств пространства и находящихся в нем геометрических образов. Под топологическими свойствами геометрической фигуры понимают свойства, которые не нарушаются ни при каких взаимно одно­ значных и взаимно непрерывных преобразованиях. Отмеченные свойства могут быть получены преобразова­ нием фигуры Ф в фигуру Ф, соблюдая при этом два условия:

93

1) каждой точке исходной фигуры Ф должна соответ­ ствовать одна и только одна точка преобразованной фи­

ками) топологическое преобразование можно представить

получилось разрывов и склеивания ограничивающих его поверхностей и линий. Топология рассматривается нами только для использования ее при преобразовании орто­ гональных проекций геометрических образов, чтобы автоматизировать процесс решения задач. В связи с этим целесообразно рассматривать геометрическую фигуру не­ разрывно связанной с трехмерным пространством, в ко­ тором она находится. В этом случае, преобразовывая (деформируя) пространство, мы будем преобразовывать и геометрическую фигуру.

Подвергая пространство различной деформации, можно произвольную геометрическую фигуру преобразовать в лю­ бую другую, по форме и свойствам наиболее удобную для машинного решения.1

* В частном случае центр проекции S может быть и несобствен­ ной точкой.

1 Топологическое преобразование одной фигуры в другую возможно только между гомеоморфными фигурами.

94

Сформулируем два основных требования,'которым дол­ жен отвечать метод топологических преобразований:

1)процесс преобразования фигуры Ф в Ф должен быть таким, чтобы его выполнение возможно было осуществить на ЭЦВМ без участия человека;

2)в результате преобразования фигуры Ф мы должны получить такой вид фигуры Ф, который позволит ЭЦВМ решить задачу, используя только стандартные операторы.

Рис. 63

Сущность метода может быть понятна из чертежа (рис. 63), на котором показаны геометрические построе­

и Р'. Связь между точками пространства R и R осуще­ ствляется с помощью двух взаимно соответствующих пло­ скостей преломления а и а и двух пучков лучей. Чтобы определить положение точки А пространства R, однозначно

Пересечение этих прямых определит положение фронталь-

95

ной проекции (Л2 ) точки А пространства R. Чтобы найти горизонтальную проекцию точки А, достаточно опре­

Расстояние между точками А2, В2 и С2 больше, чем между точками А2, В2 и С 2 , так как пространство R пре­ образовано в R путем деформации растяжения. Используя в качестве преобразующих поверхностей преломления плоскости, мы предрешаем деформацию (растяжения или сжатия), равномерную по всему объему пространства. Чтобы преобразовать криволинейные фигуры (линии и поверхности) в прямолинейные, необходимо иметь хотя бы одну из поверхностей преломления криволинейной. Это обеспечит неравномерную деформацию пространства.

Отметим одну особенность метода топологического пре­ образования. Когда мы преобразуем фигуру Ф с помощью какого-либо проекционного метода, то нам известен ап­ парат преобразования, позволяющий в конечном итоге получить преобразованный вид фигуры Ф, который до этого был не известен. Осуществляя топологические пре­ образования, мы заранее знаем (точнее, хотим знать) вид преобразованной фигуры Ф, а неизвестным оказывается аппарат преобразования, который должен обеспечить по­ лучение Ф заданного вида и размера. Поэтому задачу, решаемую методом топологических преобразований, сле­ дует формулировать иначе, придавая ей следующий вид: какой характер должна иметь поверхность преломления, если известен вид преобразованной фигуры?

Метод топологического преобразования достаточно по­ дробно освещен в работах Н. А. Малахова, И. М. Халдеева и автора [6], [7]. В настоящей работе рассматривается только преобразование плоской кривой линии в прямую, проецирующую с помощью двух взаимно соответствующих поверхностей преломления, из которых одна — кониче­ ская, другая — плоская. Для преобразования кривой ABC во фронтально-проецирующую прямую (рис. 64) в про­ странстве R, в котором расположена кривая, строим ко­ ническую поверхность.

За направляющую этой поверхности принимаем кри­ вую MNL, подобную и подобно расположенную заданной кривой ABC. Вершину конической поверхности 5 можно

96

взять в произвольной точке. В нашем случае точка S взята на плоскости П1. За поверхность отражения в про­ странстве R принимаем фронтально-проецирующую пло­ скость а *. Положение следа а 2 можно брать произвольно, лишь бы он пересекал ось х12. Далее, как и в предыдущем примере, с помощью двух семейств лучей: одного парал­

верхности в проецирующую цилиндрическую. Построения

зованное пространство вправо, чтобы не затруднять чте­ ния чертежа наложением новых преобразованных про­ екций на старые — исходные. Вопрос наглядности чертежа для машины не имеет никакого значения. Поэтому можно не делать такого смещения, а преобразовывать простран­ ство «само в себя». Такое преобразование будет более оправданным, так как топология предусматривает дефор­ мацию пространства, а не перенос его в новое положение. Если угол наклона плоскости преломления сг к плоскости проекции П1 равен углу наклона к этой же плоскости крайней очерковой образующей конической поверхности

* Границы пространства R и R на чертеже не указаны.

(рис. 65), то направляющая преобразованной цилиндри­ ческой поверхности будет конгруэнтна фронтальной про­ екции очерка преобразуемой поверхности. В связи с этим, преобразовывая пространство «само в себя», мы имеем возможность рассматривать заданную (исходную) фрон­ тальную проекцию очерка поверхности как фронтальную проекцию проецирующей цилиндрической поверхности, в которую преобразуется исходная поверхность.

Топологические преобразования оказываются удоб­ ными для машинного решения задач, в которых требуется определить точки встречи произвольной линии с криво­ линейной поверхностью.

Для решения таких задач рекомендуется:

1) преобразовать заданную поверхность в проецирую­ щую — цилиндрическую;

2)по этому же закону преобразовать линию;

3)найти точки пересечения проекции линии и поверх­

наклона плоскости преломления, можно преобразовать криволинейную поверхность в проецирующую — ци­ линдрическую, направляющая которой совпадает с про­ екцией очерковой образующей исходной поверхности. Поэтому выполнение первого пункта автоматически удов-

98

летворяется исходными данными задачи. Окончательно

сзаданной проекцией очерка криволинейной поверхности;

3)на фронтальной проекции исходной кривой опре­ делить точки со значением ординат, равным ординатам точек, полученных в результате выполнения п. 2;

4)по фронтальным проекциям точек найти горизон­ тальные проекции.

Выполнение п. 2, 3 и 4 может быть легко осуществлено

торов решим задачу по нахождению точек встречи произ­ вольной кривой / с поверхностью эллиптического парабо­ лоида и установим, какие геометрические построения не­ обходимо выполнить для определения вида кривой после преобразования (рис. 66). Чтобыпреобразовать поверх­ ность эллиптического параболоида в проецирующую ци­ линдрическую, нужно иметь в качестве поверхностей от­ ражения (преломления) коническую поверхность, за на­ правляющую которой принимаем горизонтальный след эллиптического параболоида с вершиной в точке S и фронтально-проецирующую плоскость ст, след которой совпадает с крайней левой образующей конической по­ верхности B2S2. Поэтому первым шагом для решения по­ ставленной задачи является определение на образе 1 точки В2 — фронтальной проекции горизонтального следа кривой /. Эта операция выполняется с помощью стан­ дартных операторов X, I , V. Затем проводим прямую B2S2 (оператор /) . Дальнейшие построения выполняются в сле­ дующей последовательности: через точки Ацц (первая из записанных в б-массиве образа 6) и Sx проводим пря­ мую А\ (1) Si (оператор / ) ; находим точку С\ (i> в месте пере­