http://www.sklyaroff.ru |
99 |
5.3.2. Вычисления с плавающей запятой
Числа с плавающей точкой — это числа, представляемые в экспоненциальной форме, т. е. в таком виде:
X = S×M×Nq,
где X – вещественное число, S — знак числа,
M — мантисса числа,
N — основание системы счисления,
q — экспонента называемая часто порядком (целое). Порядок (q) определяет положение запятой в мантиссе.
Например, в числе 6.6261x10-27: M=6.6261, N=10, q=-27, знак числа "+" (S).
Данная форма позволяет перемещать десятичную запятую в вещественном числе вправо и влево, не меняя истинного значения числа.
Так как компьютер использует двоичную систему счисления, то N всегда равен 2.
Сопроцессор для преставления вещественных чисел с плавающей запятой руководствуется стандартом IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetics, IEEE 754-1985.
Согласно этому стандарту старший разряд двоичного представления вещественного числа всегда кодирует знак числа: 0 – положительное, 1 – отрицательное. Остальная часть разбивается на две части: экспонента и мантисса.
Стандарт определяет три формата вещественных чисел с плавающей запятой
(рис. 5.1):
короткий (одинарной точности) — для хранения числа отводится 32 бита. Под мантиссу отводится 24 бита.
длинный (двойной точности) — для хранения числа отводится 64 бита. Под мантиссу отводится 54 бита.
расширенный (повышенной точности) — для хранения числа отводится 80 битов. Под мантиссу отводится 64 бита.
Рис. 5.1. Форматы чисел с плавающей запятой согласно стандарту IEEE 754-1985
Согласно стандарту IEEE 754-1985 порядок должен храниться в смещенном формате, который определяется по следующей формуле:
q = p + значение смещения
Значение q часто называют характеристикой.
Для коротко формата вещественных чисел значение смещения равно +127, для длинного +1023, для расширенного +16383.
Кроме того, согласно IEEE 754-1985 мантисса должна быть представлена в нормализованном виде:
M = 1.дробная часть
т. е. порядок (не характеристика) должен быть подобран такой величины, чтобы целая часть мантиссы была равна 1 (в двоичном представлении). Так как единица в целой части всегда присутствует, то сопроцессор отбрасывает целую часть мантиссы,
http://www.sklyaroff.ru |
100 |
сохраняя лишь дробную часть. Это дает возможность увеличить диапазон представимых чисел, так как появляется лишний разряд, пригодный для представления мантиссы числа. Но это справедливо только для короткого и длинного форматов вещественных чисел. Расширенный формат как внутренний формат представления числа любого типа в сопроцессоре содержит целую единичную часть вещественного в явном виде.
Для определения чисел с плавающей запятой в программе можно использовать директивы MASM: real4 — для коротких, real8 — для длинных и real10 — для расширенных вещественных чисел. Пример:
Number1 real4 45.56 ; короткий формат Number2 real8 45.56 ; длинный формат Number3 real10 45.56 ; расширенный формат
Кроме этого, для определения чисел с плавающей запятой можно воспользоваться директивами DD — для коротких, DQ — для длинных и DT — для расширенных вещественных чисел. Однако директивы DD, DQ, DT не сообщают об ошибке, если число не содержит точки.
Примеры:
dd 45.56 ; короткий формат dq 45.56 ; длинный формат
dt 45.56 ; расширенный формат
В данных директивах можно использовать символ "е" для экспоненциальной формы. Предыдущие определения c использованием "e" будут выглядеть следующим образом:
dd 0.4556e2 ; короткий формат dq 0.4556e2 ; длинный формат
dt 0.4556e2 ; расширенный формат
Так как числа с плавающей запятой довольно сложно устроены, то к ним нельзя сразу применять обычные арифметические инструкции ассемблера, такие как ADD, SUB, MUL, DIV. Чтобы вести правильные арифметические расчеты с числами с плавающей запятой нужно каким-то образом выделять мантиссу и экспоненту, производить множество вспомогательных действий и результат снова упаковывать в
32, 64 или 80 бита.
На наше счастье сопроцессор берет обработку чисел с плавающей запятой на себя. Сопроцессор предоставляет особые инструкции, которые позволяют оперировать числами с плавающей запятой также просто как целыми числами, и предоставляет инструкции для реализации очень сложных алгоритмов.
Сопроцессор предоставляет программисту восемь регистров (R0-R7) для хранения данных и еще пять вспомогательных регистров (CWR,SWR,TWR,IPR,DPR) (рис. 1.9).
Команды сопроцессора не могут оперировать реальными названиями регистров хранения данных R0...R7, вместо них используются логические обозначения этих регистров ST(0)...ST(7).
В отличие от регистров центрального процессора регистры данных сопроцессора не работают независимо, а организованы в виде стека. Вершина стека всегда называется ST(0), затем идут ST(1), ST(2) и так далее до ST(7). Обычно вместо ST(0) используют краткое обозначение ST. Кстати, название ST происходит от английского слова STack (стек). Как и у ЦП, стек сопроцессора растет к регистрам с меньшими адресами.
Особенностью такого стека является еще то, что при помещении значения в него вершина стека ST смещается, а вместе с ней смещаются все логические номера ST(1)...ST(7) при этом смещение происходит циклически (по кольцу). Например, если текущая вершина стека ST соответствует регистру R3, то после записи в этот стек значения оно будет записано в регистр R2 и станет называться ST, при этом соответствующим образом сместятся все логические номера, а элемент соответствующий R0 станет соответствовать R7. Смещаются циклические только логические номера ST(1)...ST(7), а не сами значения в стеке!
В стеке сопроцессора могут храниться только 8 чисел, поэтому при добавлении в него 9 числа самое дальнее отстоящее от вершины число будет потеряно.
http://www.sklyaroff.ru |
101 |
Из-за стековой структуры регистров сопроцессора форма записи математических выражений для FPU является обратной польской нотацией. Согласно этой нотации все операторы математического выражения указываются после своих операндов, например выражение a+b в польской нотации будет выглядеть как ab+, а выражение cos(x) как x cos. При этом отпадает необходимость использовать скобки, например: выражение (A+B)*(C+D)-E будет записано как AB+CD+*E-.
Все команды сопроцессора начинаются с буквы F, что является их отличительной чертой. Все основные команды сопроцессора перечислены в разд. 5.4.4.
Сопроцессор работает параллельно с центральным процессором, поэтому раньше (до 287) необходимо было для синхронизации работы двух процессоров перед многими командами FPU вставлять команду FWAIT (или WAIT), чтобы приостановить выполнение ЦП до окончания вычислений сопроцессором. В последующих сопроцессорах эта команда встроена в инструкции FPU, поэтому ее использовать не обязательно. Но остались не ожидающие команды, которые можно узнать по приставке "N". Например, команды FSAVE и FNSAVE выполняют одно и тоже действие, но перед FSAVE компилятор всегда добавляет команду FWAIT.
Если в команде присутствует суффикс "P", то это означает, что команда после своего выполнения выталкивает число из стека сопроцессора (помечает ST(0) как пустой и увеличивает TOP на один). К таким командам, например, относятся FADDP, FSUBP, FMULP, FDIVP, FCOMP.
Многие команды работают только с ST(0), но при необходимости можно легко использовать число из другого регистра данных сопроцессора, предварительно поменяв значения регистров командой FXCH.
Перед началом использования сопроцессора в программе необходимо выполнить его инициализацию командой FINIT. Эта команда устанавливает значения по умолчанию во всех регистрах и флагах FPU, в том числе обнуляет регистры данных ST(0)-ST(7).
В листинге 5.2 показан пример сложения двух вещественных чисел с плавающей запятой. Программа не выводит результат на экран, но по аналогии с программой из листинга 5.1 вы можете написать процедуры для ввода и вывода вещественных чисел (это будет вашим домашним заданием).
Ассемблирование и линковка выполняется обычным образом: ml fpuadd.asm
Листинг 5.2. Сложение двух вещественных чисел (fpuadd.asm)
.model tiny
.code
org 100h
start: |
finit |
|
; инициализировать сопроцессор |
|
|
||
|
fld |
num1 |
; загружаем 1-й операнд в ST |
|
fld |
num2 |
; 2-й операнд в ST, 1-й операнд в ST(1) |
|
fadd |
|
; складываем, сумма помещается в ST |
|
fstp |
result |
; скопировать из ST в result |
|
ret |
|
|
num1 |
dd |
45.56 |
; первое вещественное число |
num2 |
dd |
30.13 |
; второе вещественное число |
result |
dt |
? |
; сюда будет помещен результат |
|
end |
start |
|
В листинге 5.3 показан более сложный пример — вычисление арктангенса по следующей формуле:
http://www.sklyaroff.ru |
|
102 |
||
y 2* arctg( |
x2 |
|||
|
|
) |
||
x2 |
1 |
|||
Где -1 ≤ x ≤ +1.
В обратной польской нотации это уравнение будет выглядеть следующим образом:
x x * x x * 1 + sqrt / arctg 2 *
Обратите внимание, что в программе мы не выполняем явно деление (для чего обычно используется инструкция FDIV), т. к. это деление автоматически выполняет сама функция FPATAN.
Листинг 5.3. Вычисления арктангенса по формуле: y = 2*arctg(x2/sqrt(x2+1)) (fpuarctg.asm)
.model tiny
.code
org 100h
start: |
finit |
|
; инициализировать сопроцессор |
|
|
||
|
fld |
x |
; x в стек |
|
fld |
x |
; x в стек еще раз |
|
fmul |
|
; перемножить (соответствует x^2) |
|
fld |
st(0) |
; сделать копию st(0) |
|
fld1 |
|
; поместить в стек 1,0 |
|
fadd |
|
; выполнить операцию x^2+1 |
|
fsqrt |
|
; взять корень sqrt(x^2+1) |
|
fpatan |
|
; арктангенс arctg(x^2/sqrt(x^2+1)) |
|
fild |
y |
; число 2 в стек |
|
fmul |
|
; перемножить 2*arctg(x^2/sqrt(x^2+1)) |
|
ret |
|
|
x |
dd |
0.5 |
; значение x |
y |
dd |
2 |
; значение y |
end start
5.3.2.1. Сравнение вещественных чисел
Если вам понадобится в программе сравнить два вещественных числа, то у вас не получится использовать обычные инструкции сравнения, такие как TEST и CMP, т. к. они, во-первых, предназначены для сравнения целых чисел, а, во-вторых, не работают со стеком FPU. В сопроцессоре предусмотрены специальные команды сравнения: FTST, FCOM, FUCOM, FICOM, FCOMI и др. (см. их описание в разд. 5.4.4). Эти команды сравнения сохраняют результат сравнения в трех битах (флагах) C0, C2 и C3 специального слова состояния сопроцессора (регистр состояния
SWR, см. разд. 5.4.2.2).
С помощью команды FSTSW AX можно сохранить значение регистра SWR в регистр AX, а затем командой SAHF перевести флаги C0, C2 и C3 в ZF, PF и CF. Это позволяет использовать условные команды Jcc, CMOVcc, FCMOVcc и др., точно также как после команды CMP.
Например, в следующем фрагменте программы выполняется переход к метке error, если операнды в ST(0) и ST(1) несравнимы:
fcom