Глава6.

Шум динамического рассеивателя

Корреляционная функция(или кратко – коррелятор)токов Pαβ (t1, t2), определена в выражениях( 2.30) и (2.39) соответственно во временном и в частотном представлениях . Такой коррелятор называетсясимметризованным коррелятором. Рассматриваемый коррелятор удовлетворяет следующим соотношениям,

которые является непосредственным следствием того,что из меряемые в проводниках α и β токи входят симметрично в определение коррелятора.

6.1.Спектральная плотность шума

В случае динамического рассеивателя спектр корреляционной функ - ции токов имеет следующий вид(сравни с( 2.33) для стационарного рассе - ивателя): [35]

!∞

где спектральная плотность Pαβ,l (ω1, ω2) выражается через элементы мат-

рицы рассеяния Флоке ˆ следующим образом:

SF

188

6.1.Спектральная плотность шума

!∞

−Fαα (E, E + !ω1) SF,βα (En + !ω1 , E + !ω1) SF,βα (En+l , E)

n=−∞

!∞

−Fββ (E, E + !ω2) SF,αβ (En + !ω2 , E + !ω2) SF,αβ (En+l , E)

n=−∞

γ=1 δ=1 n=−∞ m=−∞ p=−∞

7

×SF,αγ (E, El+n) SF,αδ (E + !ω1, Em + !ω1) SF,βδ (Ep + !ω1, Em + !ω1) .

Величина Fαβ, являющаяся комбинацией функций распределения Ферми , определена в выражении( 2.46).

Для того,чтобы получить приведенные выражения поступим ан алогично тому,как мы делали в разделе 2.2.2. Отличие состоит только в том , что

в динамическом случае операторы рассеянных частиц ˆ выражаются че- bα

рез операторы налетающих частиц aˆβ посредством выражений( 3.32),а не выражений( 1.39),которые мы использовали в случае стационарного рассеивателя.Прежде всего представим Pαβ (ω1, ω2) в виде суммы четырех ве - личин Pαβ(i,j)(ω1, ω2), i, j = in, out, в соответствие с выражением (2.43).Так,

например,величина Pαβ(in,out)(ω1, ω2) есть корреляционная функция для тока налетающих электронов в проводнике α и тока рассеянных электронов в проводнике β. Таким образом , для спектральной плотности корреляцион - ной функции запишем,

!

Pαβ,l (ω1, ω2) = P(αβi,j,l)(ω1, ω2) , (6.3) i,j=in,out

189

6.Шум динамического рассеивателя

Поскольку налетающие электроны еще не взаимодействовали с рассеивателем,то часть коррелятора,которая зависит только от т оков налетающих частиц,в динамическом и в статическом случаях совпадаю т.Следова-

тельно величина Pαβ(in,in) определяется выражением( 2.45),поэтому

Согласно теореме Вика(см.,например, [ 20])среднее от произведения четырех операторов равно сумме произведений попарных средних.Например получим:

C D

† ˆ† ˆ

aˆα (E) aˆα (E1 + !ω1) bβ (E2) bβ (E2 + !ω2) =

C DC D

† ˆ ˆ†

+ aˆα (E1) bβ (E2 + !ω2) aˆα (E1 + !ω1) bβ (E2) .

190

6.1.Спектральная плотность шума

Мы можем применять теорему Вика поскольку операторы aˆα соответствуют

частицам в макроскопических резервуарах,а операторы ˆ выражаются с bβ

помощью линейных соотношений через операторы aˆα.

Первое слагаемое в правой части вышеприведенного выражения не вносит вклад в значение коррелятора поскольку полностью компенсируется соответствующим вкладом от произведения квантово–статистических средних значений токов[первое слагаемое в правой части выр ажения( 6.5)]. Значащими являются только такие парные средние,которые со держат по одному оператору рождения или уничтожения от каждого из операторов то-

ка ˆ(in) или ˆ(out). Для вычисления таких парных средних используем соот -

Iα Iβ

ношения( 3.32).В частности вычислим:

I J

× aˆ†α (E1) aˆγ (E2 + ! [ω2 + mΩ0])

!Nr !∞

=SF,βγ (E2 + !ω2, E2 + ! [ω2 + mΩ0])

γ=1 m=−∞

×δαγδ (E1 − E2 − ! [ω2 + mΩ0]) fα (E1)

!∞

=SF,βα (E2 + !ω2, E2 + ! [ω2 + mΩ0])

m=−∞

×δ (E1 − E2 − ! [ω2 + mΩ0]) fα (E1) .

Аналогично вычисляются остальные парные средние,появляю щиеся при усреднении произведений четырех операторов в выражении( 6.5):

×δ (E1 + !ω1 − E2 − n!Ω0) [1 − fα (E1 + !ω1)] ,

191

6.Шум динамического рассеивателя

×δ (E1 − E2 − ! [ω2 + mΩ0]) [1 − fα (E1)] .

Подставим вычисленные выражения в( 6.5) и получим сумму двух слагае - мых.Далее,используя свойство дельта-функции Дирака,про интегрируем по одной из энергий,например,по E2. При этом каждое из упомянутых вы - ше слагаемых преобразуется следующим образом:

×fα (E1) SF,βα (E2, E2,n) δ (E1 + !ω1 − E2,n) [1 − fα (E1 + !ω1)]

1

= 2! δ (ω1 + ω2 + (m − n) Ω0) fα (E1) [1 − fα (E1 + !ω1)]

×SF,βα (E1,−n + !ω1 , E1 + !ω1) SF,βα (E1,−m, E1) ,

∞

ˆ dE2 12 SF,βα (E2, E2,n) δ (E1 + !ω1 − E2,n) fα (E1 + !ω1)

0

×SF,βα (E2 + !ω2, E2,m + !ω2) δ (E1 − E2,m − !ω2) [1 − fα (E1)]

1

= 2! δ (ω1 + ω2 + (m − n) Ω0) fα (E1 + !ω1) [1 − fα (E1)]

×SF,βα (E1,−n + !ω1, E1 + !ω1) SF,βα (E1,−m, E1) ,

192

6.1.Спектральная плотность шума

где Ei,k = Ei + k!Ω0, i = 1, 2. Подставляя полученные выражения в (6.5), вводя l = n − m вместо m, заменяя n → −n и E1 → E, получим

Сравнивая приведенное выражение с( 6.5) видим , что выражение для вели - чины Pαβ(out,in) (ω1, ω2) может быть получено из выражения( 6.6),если в последнем сделать такие замены: α ↔ β, E1 ↔ E2 и ω1 ↔ ω2. Следовательно для спектральной плотности получим(заменяем E2 → E):

(6.8)

×SF,αβ (En + !ω2, E + !ω2) SF,αβ (En+l, E) .

193

6.Шум динамического рассеивателя

Наконец вычислим

где мы сразу выразили средние от произведения четырех операторов рождения/уничтожения через произведение парных средних.Пер вое парное среднее равно

δ=1 m=−∞ q=−∞

×SF,αδ (E1 + !ω1, E1,m + !ω1) SF,βδ (E2, E2,q) .

194

6.1.Спектральная плотность шума

Проинтегрируем произведение приведенных парных средних по энергии E2 и получим :

∞

ˆ

dE2 δ (E1,r − E2,s − !ω2) δ (E1,m + !ω1 − E2,q) fγ (E1,r)

0

×[1 − fδ (E1,m + !ω)] SF,αδ (E1, E1,r) SF,βγ (E2 + !ω2, E2,s + !ω2)

×SF,αδ (E1 + !ω1, E1,m + !ω1) SF,βδ (E2, E2,q)

1

= ! δ (ω1 + ω2 − [r + q − s − m] Ω0) fγ (E1,r) [1 − fδ (E1,m + !ω1)]

×SF,αγ (E1, E1,r) SF,βγ (E1,r−s, E1,r)

×SF,αδ (E1 + !ω1, E1,m + !ω1) SF,βδ (E1,m−q + !ω1, E1,m + !ω1)

1

= ! δ (ω1 + ω2 − lΩ0) fγ (E1,l+n) [1 − fδ (E1,m + !ω1)]

×SF,αγ (E1, E1,l+n) SF,βγ (E1,l+p, E1,l+n)

×SF,αδ (E1 + !ω1, E1,m + !ω1) SF,βδ (E1,p + !ω1, E1,m + !ω1) ,

где в конце вычисления мы ввели новые индексы суммирования, а именно p = m −q (вместо q), n = s + m −q (вместо s) и l = r −s + q −m (вместо r).

Сравнивая первое и второе слагаемые в( 6.9) можно заметить , что вы - числение интеграла по энергии от произведения двух других парных средних даст похожий результат,отличающийся только тем,что пр оизведение fγ (El+n) [1 − fδ (Em + !ω)] будет заменено следующим произведением функций распределения Ферми fδ (Em + !ω) [1 − fγ (El+n)].

Таким образом выражение( 6.9) принимает такой вид

l=−∞

195

6.Шум динамического рассеивателя

Складывая( 6.4), (6.6b), (6.8) и (6.10b) получим выражение , которое было предварительно представлено в( 6.2b).

6.2.Спектральная плотность шума на нулевой частоте

Величина Pαβ(0) ≡ Pαβ,0(0, 0), зачастую называемая симметризован - ным шумом, характеризует средний квадрат флуктуаций величины тока (при α = β) или симметризованный коррелятор токов ( приα =% β),усредненный по большому промежутку времени.Ее можно записать в с ледующем виде

0 −∞

(6.11)

Зависимость шума от элементов матрицы рассеяния Флоке определяется выражением( 6.2b) при l = 0 и ω1 = ω2 = 0.

Из равенства( 6.1b) следует , что величина шума не изменяется при пе - рестановке индексов проводников

Именно поэтому шум,определяемый выражением( 6.11),называют симметризованным шумом.

196

6.2.Спектральная плотность шума на нулевой частоте

Также как и в стационарном случае Pαβ(0) может быть представлена как сумма теплового шума и дробового шума,см. ( 2.60).Тепловой шум

P(αβth) обусловлен флуктуированием чисел заполнения квантовых состояний

в системе с отличной от нуля температурой . Дробовой шумP(αβsh) обусловлен неделимостью частиц:если частица рассеяна,например в контакт α, то мгновенный ток,обусловленный прохождением частицы,в это м контакте будет превышать средний ток,а в других контактах β =% α мгновенный ток равен нулю,поэтому меньше среднего тока.

Вычислим шум в случае,когда резервуары,с которыми соедине н дина - мический рассеиватель,имеют одинаковые химические потен циалы и температуры,

Следовательно функции распределения электронов в резервуарах одинаковые,

Тогда из выражения( 6.2b) для l = 0, ω1 = ω2 = 0 следует(смотри также раздел 2.2.4) : Pαβ(0) = P(αβth) + P(αβsh), [92] где

197

6.Шум динамического рассеивателя

Как показано в разделе( 2.2.4.1),унитарность рассеяния обеспечивает выполнение законов сохранения( 2.63) для шума в стационарном режи -

что непосредственно вытекает из уравнений( 6.15) и (6.16),если воспользоваться условиями унитарности( 3.28).Отметим,чтобы доказать второе из равенств в( 6.17b) необходимо в выражении (6.16) сделать следующие замены: E → E − p!Ω0, n → n − p, m → m − p.

Проанализируем знак спектральной плотности шума на нулевой часто - те.Перекрестный коррелятор Pα%=β в стационарном случае отрицателен , см . (2.65).Покажем,что это же остается справедливым и для шума,созд авае-

198

6.2.Спектральная плотность шума на нулевой частоте

мого динамическим рассеивателем:

P(αth=%)β ≤ 0 , P(αsh=%β) ≤ 0 . (6.18)

Для теплового шума это непосредственно следует из выражения (6.15):

× !∞ )@@SF,αβ (En, E)@@2 + @@SF,βα (En, E)@@2* ≤ 0 .

n=−∞

Для того,чтобы проверить правило знаков для дробового шума перепишем выражение( 6.16) для α =% β в таком виде :

При получении вышеприведенного выражения мы учли,что при α =% β в (6.16) члены с квадратами фермиевских функций обращаются в нуль .Например,в слагаемом,содержащем в качестве множителя f02(En), можно просуммировать по m и δ. Тогда , учитывая (3.28b),получим( α =% β):

!∞ !Nr

SF,αγ (E, Em)Sβδ(Ep, Em) = δαβ δp0 = 0 .

m=−∞ δ=1

Аналогично доказывается,что член,содержащий f02(Em), также равен ну - лю.

199

6.Шум динамического рассеивателя

Авто-коррелятор Pαα является средним квадратом флуктуаций тока в проводнике α, поэтому должен быть неотрицательной величиной . Из выра - жений( 6.17) и (6.18) следует

Тот факт,что тепловой и дробовой шум по-отдельности удовле творяют правилу сумм( 6.17) и правилу знаков (6.18), (6.19) подтверждает целесообраз - ность разделения этих двух вкладов.

Кроме того,тепловой и дробовой шумы по-разному зависят от т емпературы T и частоты Ω0 возмущения рассеивателя.Покажем это для случая, когда параметры рассеивателя изменяются медленно, Ω0 → 0.

6.3.Шум в адиабатическом режиме

Элементы матрицы рассеяния Флоке с точностью до членов первого порядка по Ω0 определяются выражением( 3.50).Напомним,что применение адиабатического приближения требует того,чтобы квази стационарная

матрица рассеяния ˆ изменялась мало на масштабе энергий порядка ,

S !Ω0

см. (3.49).

6.3.1.Тепловой шум

Подставим( 3.50) в (6.15) и вычислим тепловой шум с точностью до членов первого порядка по Ω0: [92]

200

6.3.Шум в адиабатическом режиме

где

Как и должно быть,тепловой шум пропорционален температуре . Величина

P(αβth,0) зависит от усредненных по времени элементов матрицы квазистационарного кондактанса,см. ( 5.41),

как равновесный шум,шум Найквиста – Джонсона, (2.61) зависит от эле -

ментов матрицы кондактанса ˆ (1.54) стационарного рассеивателя . Поэто -

G

му P(αβth,0) можно назвать квазиравновесным шумом. При сравнении выра - жений( 6.20b) и (2.61) необходимо учесть тождество (2.69) и тот факт , что выражение( 6.20b) получено при условии (6.14).

201

6.Шум динамического рассеивателя

Наличие другой части теплового шума( 6.20c) указывает на то , что си -

стема является неравновесной.Величину P(αβth,Ω0), можно назвать неравновесным тепловым шумом, поскольку она с одной стороны пропорци - ональна температуре(поэтому тепловой),а с другой стороны зависит от токов,генерируемых динамическим(неравновесным)рассеи вателем.Спектральные плотности токов dIαβ(t, E)/dE (5.9) и dIα(t, E)/dE (4.20) пропор - циональны частоте Ω0, с которой изменяются параметры рассеивателя , по - этому P(αβth,Ω0) Ω0.

6.3.2.Низкотемпературный дробовой шум

Если температура достаточно низкая

то тепловым шумом можно пренебречь.В этом случае основным и сточником шума является динамический рассеиватель,который ге нерирует фотон-индуцированный дробовой шум.Другой источник дробо вого шума,а именно приложенное напряжение,отсутствует в силу условия (6.13).Дробовой шум является неравновесным шумом.Это следует из того , что ( также как и в стационарном случае при наличии напряжения)он обусл овлен теми

из рассеянных электронов,для которых функция распределен ия fα(out)(E) является неравновесной,то есть меньше единицы.Как следуе т из выраже - ния( 4.4),см.также( 4.5), fα(out)(E) неравновесна при энергиях,которые отличаются от энергии Ферми µ на величину порядка !Ω0.

Вычислим дробовой шум P(αβsh) (6.16) в нижайшем порядке по часто - те возмущения Ω0. Для этого достаточно использовать значение элементов матрицы рассеяния Флоке в нулевом порядке по Ω0. Например , из уравне - ния( 3.50) находим

Напомним,что в адиабатическим режиме матрица рассеяния ˆ должна рас-

S

сматриваться как постоянная при изменении энергии на величину порядка

202

6.3.Шум в адиабатическом режиме

!Ω0. Поэтому при выполнении условия (6.23) в интеграле по энергии в вы - ражении для дробового шума( 6.16) элементы матрицы рассеяния ( как по - стоянные,которые для определенности будем вычислять при E = µ) могут быть вынесены за знак интеграла.Получающийся интеграл по э нергии равен

Таким образом(фотон-индуцированный)дробовой шум линейн о пропорци - онален частоте Ω0, с которой изменяются параметры рассеивателя ( смотри также[ 69]).

Для того,чтобы упростить полученное выражение поступим сл едующим образом.Для каждого фиксированного n рассмотрим сумму по m. Разобьем последнюю на две части,сумму по m < n и сумму по m > n, и введем вместо m новый индекс суммирования q = m − n. После этого получим( Xn,m – произвольная величина,зависящая от индексов n и m):

203

6.Шум динамического рассеивателя

Слагаемое с m = n равно нулю в силу множителя m−n = n−n ≡ 0. После этого выражение( 6.26) преобразуется к следующему виду

> ? > ? F

(6.27)

+ Sαγ (µ) Sαδ (µ) q Sβγ (µ) Sβδ (µ) −q .

При переходе от( 6.26) к (6.27) мы выполнили суммирование по n и p с ис - пользованием следующих тождеств для коэффициентов Фурье периодических функций A(t) и B(t):

Легко проверить,что полученное выражение удовлетворяет у словию симметричности( 6.12), P(αβsh) = P(βαsh). Для этого достаточно в выражении для P(βαsh) переобозначить γ ↔ δ.

6.3.3.Высокотемпературный дробовой шум

При более высоких температурах,а именно,когда

тепловой шум преобладает и дробовой шум,который определяе тся выражением( 6.16),составляет только малую часть совокупного шума.Однако зависимость от частоты Ω0 и температуры для теплового и дробового шумов оказываются различными,что позволяет,в принципе,раздел ить эти вклады.

204

6.3.Шум в адиабатическом режиме

При выполнении условия( 6.29) разложим разность функций распре - деления Ферми,входящую в выражение( 6.16),по степеням Ω0 и ограни - чимся только первым неисчезающим членом:

f0 (En) − f0 (Em) = !Ω0 ∂f0 (E) (n − m) .

∂E

Подставляя это разложение в( 6.16) и используя адиабатическое прибли - жение нулевого порядка( 6.24) для матрицы рассеяния Флоке , получим сле - дующее выражение для высокотемпературного дробового шума (kBT (

!Ω0):

В полученном выражении мы оставили интегрирование по энергии,поскольку оно распространяется на интервал энергий порядка kBT ( !Ω0 вблизи энергии Ферми µ, а используемое адиабатическое приближение (6.24) не накладывает ограничений на зависимость от энергии элементов

квазистационарной матрицы рассеяния ˆ в таком широком интервале энер -

S

гий.Квадратичная зависимость дробового шума при высоких т емпературах от частоты Ω0 была получена в работе[ 93].

6.3.4.Дробовой шум в широком интервале температур

Можно обойти ограничения,накладываемые условиями( 6.23) и (6.29), и получить выражение для дробового шума , справедливое при произвольном соотношении между температурой и квантом энергии !Ω0, в том случае , если матрица рассеяния может рассматриваться как постоянная во всем интервале энергий существенном для вычисления шума:

205

6.Шум динамического рассеивателя

!Ω0, kBT - δE . (6.31)

Напомним,что δE – это характерный интервал энергии,в пределах которого элементы матрицы рассеяния изменяются существенным образом.

Итак,если справедливы условия( 6.31),то при вычислении дробового шума по формуле( 6.16) в адиабатическом режиме , когда справедливо приближение( 6.24),можно считать элементы матрицы рассеяния постоянными и вычислять их при E = µ. Тогда интеграл по энергии вычисляется аналитически:

Полученное выражение( 6.32) воспроизводит как выражение (6.27) для низкотемпературного дробового шума,который линеен по час тоте Ω0 и не зависит от температуры,так и выражение( 6.30) для высокотемпературного дробового шума,который пропорционален квадрату частоты и , при условии (6.31),обратно пропорционален температуре.

206

6.3.Шум в адиабатическом режиме

6.3.5.Зависимость шума от частоты Ω0 возмущения рассеивателя

При нулевой температуре динамический рассеиватель генерирует только дробовой шум,величина которого пропорциональна Ω0. С увели - чением температуры появляется тепловой шум,который содер жит вклад,

зависящий от Ω0. Поэтому та часть δP(αβΩ0) высокотемпературного шума,которая зависит от частоты возмущения рассеивателя,может бы ть представлена как сумма двух слагаемых,

Сравним эти слагаемые.Дополнительный тепловой шум( 6.20c),генерируемый адиабатическим рассеивателем( !Ω0 - δE),по-порядку величины равен

P(αβth,Ω0) kBT !δΩE0 .

Высокотемпературный дробовой шум( 6.32) можно оценить следующим об - разом:

(sh) (!Ω0)2

Pαβ kBT .

Их отношение равно

P(αβsh)

P(αβth,Ω0) (kBT )2 .

√

Отсюда видно,что при kBT - !Ω0δE дробовой шум преобладает.Однако при больших´ температурах именно добавка к тепловому шуму будет определять зависимость шума от частоты возмущения Ω0. Таким образом , при увеличении температуры можно ожидать,что зависимость шум а от частоты

207

6.Шум динамического рассеивателя

будет изменяться следующим образом: [92]

Обратим внимание на то,что линейная зависимость шума от Ω0 при низких и при высоких температурах обусловлена различными физическими причинами.Если при низких температурах – это дробовой шум,то при высоких температурах – это тепловой шум.

В настоящем разделе мы представили теорию шума , генерируемого динамическим образцом,основанную на использовании матри цы рассеяния Флоке.Следует сказать,что корреляционные свойства к вантового насоса изучались также в рамках теории случайных матриц[ 94, 95, 96], теории счетной статистики[ 97, 98, 99, 100, 101] и метода функций Грина [102, 103, 104, 105, 106].Особо следует отметить вывод о том,что,в режиме квантованной эмиссии 1 шум обращается в нуль[ 97, 93, 98, 92, 105],что подтверждается экспериментально[ 107].

1Это такой режим,а котором целое число электронов n переносится из одного резервуара в другой в течение каждого периода.

208