Глава4.

Генерирование постоянного тока

Ток,генерируемый динамическим рассеивателем, [ 34] при определен - ных условиях[ 50] имеет постоянную составляющую . Другими словами , пе - риодическое во времени возмущение мезоскопического рассеивателя может вызвать возникновение постоянного тока даже в отсутствие напряжения между резервуарами,с которыми соединен такой рассеива тель.Этот эффект получил название квантового эффекта насоса, а динамический мезоскопический рассеиватель,генерирующий постоянный т ок,называют

квантовым насосом. [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71]

4.1.Стационарный поток частиц

Наличие постоянного тока означает,что в проводниках,соед иняющих рассеиватель с резервуарами,существует постоянный поток частиц.Интенсивность потока удобно характеризовать функцией распределения по энергии, величиной , которая показывает сколько частиц в интервалеэнергии dE вблизи энергии E в единицу времени проходит через фиксирован - ное сечение проводника в определенном направлении.Поток в заданном направлении определяется как интеграл по энергии от функции распределе - ния.А постоянный ток в проводнике,в свою очередь,определя ется как разность потоков частиц от рассеивателя к резервуару и в обратном направлении,умноженная на заряд электрона.Сохранение заряда тр ебует,чтобы сумма постоянных токов во всех проводниках,соединяющих ра ссеиватель с электронными резервуарами равнялась нулю .

4.1.1.Функция распределения

Поскольку мы полагаем,что резервуары находятся в равновес ном состоянии,то электроны,движущиеся по проводникам от резерв уаров к рас-

146

4.1.Стационарный поток частиц

сеивателю,описываются фермиевской(равновесной)функци ей распределения fα(E), где α = 1, . . . , Nr есть номер резервуара.Функция распределения fα зависит от химического потенциала µα и температуры Tα соответствующего резервуара.В дальнейшем в данной главе мы буд ем полагать химические потенциалы и температуры,а соответственно и фу нкции распределения,всех резервуаров одинаковыми,

µα = µ0 , Tα = T0 , α = 1 . . . , Nr ,

(4.1)

fα(E) = f0(E) .

Электроны,рассеянные динамическим образцом,являются не равновесными и,соответственно,описываются неравновесной фун кцией распределения.Покажем это.

Одночастичная функция распределения по энергии fα(out) (E) для электронов,рассеянный в проводник α и движущихся от рассеивателя , опреде - ляется следующим образом, [67]

CD

n=−∞ β=1

C учетом приведенного определения , выражение (3.40) для постоянно - го тока Iα,0, генерируемого динамическим рассеивателем , может быть переписано в следующем виде:

Отсюда следует,что постоянный ток возникнет в том случае,е сли функция распределения рассеянных электронов отличается от равновесной,фермиевской функции распределения.

147

4.Генерирование постоянного тока

Рис. 4.1.Схематическое изображение неравновесной функци и распределе -

ния рассеянный электронов fα(out)(E). Длина каждой ступени соответствует изменению энергии E на !Ω0. Пунктиром показана фермиевская функция распределения при нулевой температуре.

Для динамического рассеивателя,даже при выполнении услов ия( 4.1), функция распределения fα(out)(E), (4.2),отличается от фермиевской функции распределения f0 (E). Проиллюстрируем этот вывод в случае , когда температура равна нулю,рис. 4.1. Тогда для каждого значения энергии E сумма по n в уравнении (4.2) будет ограничена такими значениями n, для которых En ≡ E + n!Ω0 ≤ µ0. Следовательно , имеем :

EF

где черех [X] обозначена целая часть числа X. Приведенное выражение до - стигает единицы в том случае,когда верхний предел в сумме по n равняется бесконечности.Это непосредственно следует из условия уни тарности для матрицы рассеяния Флоке,смотри уравнение( 3.28b)

Следует отметить,что неравновесность сосредоточена искл ючительно вблизи уровня Ферми, E ≈ µ0. Для энергий существенно отличающихся от µ0, функция распределения рассеянных электронов является практически равновесной:

148

4.1.Стационарный поток частиц

сит неравновесность в электронную систему.Эта неравновес ность,сосредоточенная вблизи энергии Ферми,и является причиной возни кновения постоянного тока.В этом заключается существенное отличие ди намической системы,являющейся по-сути источником неравновесности, от стационарной системы,для которой только внешние электронные резерв уары,различающиеся химическими потенциалами и/или температурами,м огут служить источником неравновесности.

4.1.2.Адиабатический режим:Линейный по частоте ток

Проанализирует постоянный ток,генерируемый в случае малы х частот возмущения,смотри( 3.49).Это,так называемый,адиабатический режим генерирования тока.В этом случае удобно использовать выра жение( 3.42), которое при условии( 4.1) принимает следующий вид ,

Раскладывая разность функций распределения Ферми до членов пер - вого порядка по !Ω0 и используя адиабатическое приближение нулевого по - рядка для матрицы рассеяния Флоке,смотри выражение( 3.46a),получим:

(4.7)

где нижний индекс n обозначает Фурье коэффициент соответствующего элемента Sαβ квазистационарной матрицы рассеяния.

149

4.Генерирование постоянного тока

Из полученного выражения следует,что ток Iα,0 отличен от нуля только

в том случае , когда Фурье коэффициенты матрицы рассеяния ˆ , соот -

S(t, E)

ветствующие положительным, n > 0, и отрицательным ,n < 0, гармоникам , отличаются друг от друга.Выполнив обратное преобразовани е Фурье , за - пишем указанное условие следующим образом,

Таким образом,

необходимым условием существования постоянного тока,ген ерируемого динамическим мезоскопическим рассеивателем в адиабатическом режиме,является условие нарушения симметрии квази стационарной матрицы рассеяния относительно инверсии направления времени.

Фактически,речь идет о динамическом нарушении указанной с имметрии параметрами рассеивателя pi(t), изменяющимися под действием внеш - него периодического во времени возмущения.Например,если имеется всего два параметра,котрые изменяются с одинаковой частотой, но сдвинуты по фазе,

p1 (t) = p1,0 + p1,1 cos (Ω0t) ,

(4.9)

p2 (t) = p2,0 + p2,1 cos (Ω0t + ϕ) .

В этом случае замена t → −t равнозначна замене ϕ → −ϕ. Поэтому , при ϕ =% 0, 2π, изменяется совокупность значений параметров от которых зависит матрица рассеяния.В результате мы приходим к условию( 4.8).

Выполняя обратное преобразование Фурье в выражении( 4.7),получим более компактное выражение для адиабатического тока: [50, 58, 69]

Покажем,что полученное выражение определяет действитель ную величину,как должно быть для физической величины.Кроме того,пок ажем,что

150

4.1.Стационарный поток частиц

выражение( 4.10) удовлетворяет закону сохранения заряда , который в ста - ционарном режиме принимает следующий вид:

!Nr

αα

(4.10) – действительно.

Для доказательства закона сохранения( 4.11),следуя работе[ 69],используем соотношение Бирмана-Крейна, (смотри,например, [39]),

Выполняя суммирование по α в (4.10) и используя тождество (4.12),получим,

где в последнем равенстве мы учли периодичность квазистационарной матрицы рассеяния.

В частном случае рассеивателя с двумя проводниками , когда квазистационарная матрица рассеяния определяется выражением( 1.63),в котором фазы γ, θ, φ и коэффициент отражения R являются периодическими функциями времени,генерируемый постоянный ток( 4.10) равен ,I0 ≡ I1,0 =

−I2,0 :

151

4.Генерирование постоянного тока

Откуда видно,что генерируемый динамическим рассеивателе м ток суще - ственно зависит от фазы элементов матрицы рассеяния,что ещ е раз под - черкивает его квантово-механическую природу.Отметим,чт о в отсутствие магнитного поля φ ≡ 0.

Следует сказать,что выражение( 4.10) определяет генерируемый ток как при нулевой,так и при конечной(но ограниченной условие м отсутствия процессов,нарушающих фазовую когерентность)температур е.С формальной точки зрения,разложение разности фермиевских функций в (4.6) по степеням частоты Ω0, которые мы использовали , справедливо только при !Ω0 - kBT0. Покажем , что токIα,0 определяется выражением( 4.10) и в противоположном случае,а именно,при !Ω0 ! kBT0. В этом случае инте - грирование по энергии в каждом из членов суммы по n в выражении (4.6) выполняется по интервалу энергий |n|!Ω0 вблизи энергии Ферми µ0. В то же время,условия( 3.49) применимости адиабатического приближения (3.46a) для матрицы рассеяния Флоке позволяет пренебречь зависимостью квазистационарной матрицы рассеяния от энергии в указанном интервале

энергий и вычислять ˆ при . Интегрирование же по энергии

S(t, E) E = µ0

разности фермиевских функций в( 4.6) дает n!Ω0. В результате выражение для тока в первом порядке по частоте возмущения принимает следующий вид (!Ω0 ! kBT0):

Это же выражение может быть получено из( 4.10) в пределе низких темпе - ратур(формально при T0 = 0),когда −∂f0/∂E = δ(E − µ0).

Выражение( 4.14) позволяет сформулировать необходимое условие существования постоянной компоненты адиабатического генерируемого тока, Iα,0 %= 0, геометрически , то есть , апеллируя только к общим свой - ствам параметрического пространства матрицы рассеяния.В первые это было сделано в работе[ 50].Рассмотрим пространство параметров pi, от ко -

торых зависит квазистационарная матрица рассеяния ˆ . Пусть коор -

S(t, µ0)

динатами точки A(t) этого пространства будут значения параметров pi(t).

152

4.1.Стационарный поток частиц

Тогда,при изменении времени в течение одного периода, 0 < t < T, точ - ка A опишет замкнутую траекторию L. С учетом введенных определений и

где линейная зависимость постоянного тока от частоты Ω0 возмущения выделена в явном виде.

Далее для простоты рассмотрим случай,когда имеется всего д ва пара-

метра p1(t) и p2(t), которые изменяются с малой амплитудой ,pi,1 - pi,0, i = 1, 2, смотри выражение (4.9).Тогда,записав,

и применив в уравнении (4.15) теорему Грина ,

получим[ 50],

где F = π p1,1p2,1 sin (ϕ) это площадь поверхности F (в данном случае,эллипса),которая ограничена кривой L, описываемой точкой A в простран - стве параметров p1 и p2. Величина F считается положительной,если точка

153

4.Генерирование постоянного тока

p2,0 p2

Рис. 4.2.За один период точка A(t) з координатами (p1(t), p2(t)) описывает траекторию L. Площадь поверхности , охватываемой этой траекторией,обозначена через F. Стрелка на контуре обо - значает направление движения точки A(t) при условии ϕ > 0.

A движется вдоль контура L против часовой стрелки,как показано на рисунке 4.2. При получении уравнения (4.16) мы также учли , что , если ампли - туда изменения параметров мала´ , pi,1 - pi,0, то в главном приближении при вычислении поверхностного интеграла можно пренебречь изменением производных матрицы рассеяния на поверхности F и вычислять их при pi = pi,0.

Таким образом мы приходим к следующему геометрическому условию (эквивалентному обсуждавшемуся ранее условию нарушения симметрии относительно инверсии направления времени):

если площадь F поверхности,ограниченной кривой L, которую опи - сывает точка A(t) в пространстве параметров квазистационарной матрицы рассеяния,отлична от нуля,то это является необ ходимым 1 условием существования постоянного тока,генерируемого динамическим мезоскопическим рассеивателем в адиабатическом режиме.

1Даже при выполнении этого условия ток может обратиться в нуль,е сли производные элементов матрицы рассеяния равны нулю.Кроме того,в случае больших амплитуд из менения параметров,когда подинтегральное выражение нельзя считать постоянным в области интегрирования,значение интеграла и,следовательно, ток может обратиться в нуль,если подинтегральное выражение з накопеременно.В таких случае уместно говорить о случайном занулении тока.С этой точки зрения рассматриваемое услови е может считаться и достаточным.

154

4.1.Стационарный поток частиц

При этом,в случае,если амплитуда изменения параметров мал а,то величина тока прямо пропорциональна площади F, то есть ток является квад - ратичной функцией амплитуд параметров.Откуда следует,чт о возникнове - ние рассматриваемого тока является существенно нелинейным эффектом . Кроме того,как видно из уравнения( 4.16),величина и даже знак тока могут быть изменены посредством изменения разности фаз ϕ между возмущениями,контролирующими изменение параметров p1(t) и p2(t) матрицы рассеяния.Такая ситуация была реализована в экспериментальной работе[ 51].

Выражение( 4.16) иллюстрирует также упоминавшуюся уже связь между существованием постоянного тока и нарушением симметрии относительно инверсии времени.Такая связь следует из того,что при инверсии времени направление,в котором точка A обходит контур L, изменяется на противоположное,то есть ориентированная площадь F изменяет знак.

Следует отметить,что в выражение( 4.16) входят также производные матрицы рассеяния по параметрам.Эти производные не связан ы с динами - ческим воздействием на рассеиватель.Однако при некоторых значениях pi,0 они могут обратиться в нуль,что приведет к исчезновению ген ерируемого постоянного тока.Поэтому,эффект появления постоянного т ока зависит не только от параметров динамического воздействия на систему, но также и от статических характеристик рассеивателя.А именно,ток воз никает только в том случае,если рассеиватель является пространственно ас имметричным.

Для подтверждения этого замечания воспользуемся выражением (3.43),которое при условии( 4.1) принимает следующий вид ,

(4.17)

Откуда видно,что ток может быть отличен от нуля только в том с лучае, когда вероятность рассеяния электрона с изменением его энергииc E до En = E + n!Ω0 при движении из проводника β через рассеиватель в проводник α отличается от вероятности такого же процесса в обратном направлении,то есть рассеиватель должен быть пространственно ас имметричным.

155

4.Генерирование постоянного тока

Итак,

необходимым условием существования постоянного тока,ген е- рируемого динамическим мезоскопическим рассеивателем,я вляется пространственная асимметрия такого рассеивателя.

Использование выражения( 4.17) в адиабатическом режиме ,!Ω0 - δE, позволяет представить генерируемый ток как сумму вкладов, обуслов - ленных рассеянием электронов с различными энергиями,и вве сти понятие спектральной плотности генерируемых токов, dIα(t, E)/dE, которое явля - ется необходимым при анализе работы квантового насоса в присутствие внешнего напряжения.В отсутствие же разности потенциалов , как это сле - дует из выражения( 4.14),ток при низких температурах резервуаров может быть выражен только через величины,характеризующие рассе яние электронов с энергией Ферми.

С учетом выражения (3.50) получим для квадрата модуля матричного элемента с точностью до членов первого порядка по частоте возмущения Ω0

Кроме того,как мы знаем, "n "β @@SF,βα (En , E)@@2 = 1. Подставляя@ @ вы - шеприведенные выражения в( 4.17),учитывая что "n "β @Sαβ,n (E)@2 = 1, выполняя обратное преобразование Фурье и используя тождество( 3.52), окончательно получим следующее выражение для тока в линейном по частоте Ω0 приближении, [69]

где спектральная плотность генерированного тока dIα/dE выражается следующим образом через диагональный элемент матричных скобок Пуассона , введенных в( 3.53),

156

4.1.Стационарный поток частиц

Обратим внимание на различный порядок,в котором матрицы ˆ и ˆ† вхо-

S S

дят в скобки Пуассона в выражениях( 3.52) и (4.20).Введенная величина удовлетворяет закону сохранения для каждого значения энергии в каждый момент времени,

Приведенное равенство является прямым следствием тождества( 3.55). Следует подчеркнуть,что оба выражения, ( 4.10) и (4.19),определяют

одну и ту же величину, Iα,0. Отличие состоит только в форме записи . Под - ставив( 4.20) в (4.19),выполнив интегрирование по частям по времени t в первом слагаемом и по энергии E в обоих слагаемых , мы получим выраже -

ние( 4.10).

Таким образом мы видим,что динамический рассеиватель,даж е в том случае,когда его свойства изменяются медленно со временем , принципи - ально отличается от стационарного рассеивателя.Отличие с остоит в том, что динамический рассеиватель характеризуется спектральной плотностью токов dIα(t, E)/dE, генерируемых в проводниках , которыми рассеиватель связан с резервуарами.

4.1.3.Квадратичный по частоте ток

Если разность фаз ϕ осциллирующих параметров,смотри( 4.9),равна нулю,то линейный по частоте ток( 4.16) отсутствует . В частности , такой ток отсутствует,когда изменяется всего один параметр матр ицы рассеяния. Однако и в этом случае динамический рассеиватель может генерировать постоянный ток,который будет пропорционален квадрату час тоты возмущения, Iα,0 Ω20. Ток , пропорциональныйΩn0 с n > 1 принято называть

неадиабатическим.

157

4.Генерирование постоянного тока

Для вычисления квадратичного по частоте тока подставим выражение (4.18) в (4.6) и разложим разность фермиевских функций распределения до членов пропорциональных Ω20. После несложных преобразований , получим следующее выражение для постоянного тока,

(4.22)

Если квазистационарная матрица рассеяния симметрична относительно

инверсии времени, ˆ ˆ , то первый , линейный по частоте , член в

S(t) = S(−t)

фигурных скобках в( 4.22) не вносит вклад в ток , поэтому доминирующим будет квадратичный по частоте вклад,

(4.23)

Ранее мы показали,что линейный по частоте вклад в ток удовле творяет закону сохранения( 4.11).Квадратичный по частоте ток,тоже должен удовлетворять аналогичному закону.Таким образом получаем,

Это уравнение,выполняющееся для любого значения энергии E, являет - ся дополнительным условием,которому должна удовлетворят ь аномальная

матрица рассеяния ˆ.

A

158

4.2.Квантовый эффект насоса

4.2.Квантовый эффект насоса

Генерирование постоянного тока мезоскопическим динамическим рассеивателем обусловлено несимметричным перераспределением(одинаковых)электронных потоков,налетающих на рассеиватель из ре зервуаров,и не требует источника(или стока)заряда внутри области расс еяния.Прежде чем описать физический механизм,ответственный за возни кновение указанной асимметрии,мы приведем простые соображения,иллюс трирующие возможность возникновения тока в отсутствие напряжения между резервуарами,с которыми соединен динамический рассеиватель.

4.2.1.Квазичастичная картина динамического генерирован ия постоянного тока

Возникновение постоянного тока проще всего пояснить,если ввести понятие квазичастиц,квазиэлектронов и дырок. [ 67] Частицу с энергией большей,чем энергия Ферми µ0 будем называть квазиэлектроном, а не занятый уровень с энергией меньшей,чем µ0, будем называть дыркой.

Для простоты будем считать,что все резервуары имеют нулеву ю тем - пературу.Тогда в равновесном состоянии квазичастицы отсу тствуют.Следовательно,поток квазичастиц от резервуаров к рассеивате лю равен нулю. Однако динамический рассеиватель служит источником квазиэлектрондырочных пар,что приводит к возникновению потока квазичас тиц от рассеивателя к резервуарам.Такая пара возникает в том случае, когда реальный электрон,взаимодействуя с динамическим рассеивателе м,поглощает один, n = 1, или несколько ,n > 1, квантов энергии !Ω0. При этом электрон покидает уровень с энергией E < µ0 (рождается дырка)и переходит на свободный уровень с энергией En = E+n!Ω0 > µ0 (рождается квазиэлектрон). Подчеркнем,что рожденная пара является электрически нейт ральной.Однако,если квазиэлектрон и дырка покинут область рассеяния через различные проводники,смотри рисунок 4.3 (b),то между соответствующими резервуарами возникнет импульс тока.При этом сумма токов, в указанных проводниках,равна нулю.Если же квазиэлектрон и дырка буду т рассеяны в один и тот же проводник , то такой процесс не приведет к появлению тока, смотри рисунок 4.3 (a).

159

4.Генерирование постоянного тока

a b

Рис. 4.3.В присутствии периодического во времени поля,соз даваемого потенциалом V (t) = V (t + T) металлического затвора,электронная система может поглотить один или несколько квантов энергии !Ω0. В этом случае электрон переходит с заполненного уровня на не занятый уровень.Такой процесс можно представить как рож дение квазиэлектрон-дырочной пары.Электрон(темный круг)и дырка (светлый круг)могут покинуть область рассеяния через один и тот же проводник(а)или через разные проводники(b).В последнем с лучае будет сгенерирован импульс тока.

Приведенные соображения позволяют сделать следующий вывод. Возникновение постоянного тока является следствием нарушения симметрии между квазиэлектронами и дырками.Поскольку при наличи и указан - ной симметрии количество квазиэлектронов,рассеянных в ка кой-либо проводник,в среднем было бы равно количеству дырок,рассеянны х в этот же проводник.В результате чего средний(постоянный)ток в рас сматриваемом проводнике равнялся бы нулю.

4.2.2.Интерференционный механизм генерирования постоян ного тока

Физическим механизмом,приводящим к асимметрии вероятнос ти прохождения через динамический рассеиватель относительно изменения направления движения электрона на противоположное,являетс я интерфе - ренция фото-индуцированных амплитуд рассеяния.Покажем э то. [72]

Рассмотрим одномерный рассеиватель,состоящий из двух осц иллиру-

ющих потенциалов V1(t) = 2V cos (Ω0t + ϕ1) и V2(t) = 2V cos (Ω0t + ϕ2),

160

4.2.Квантовый эффект насоса

взаимодействуя либо с потенциалом V1(t), либо с потенциалом V2(t). Поэтому , фото-индуцированная амплитуда прохождения через систему является суммой двух амплитуд.

которые расположены на расстоянии L друг от друга,рис. 4.4. Для простоты предположим,что оба потенциала осциллируют с одинаковой м алой амплитудой.Пусть электрон с энергией E налетает на рассеиватель.Поскольку в случае малой амплитуды осцилляций только одно-фотонные процессы рассеяния существенны[ 41, 42, 43],то имеется всего три возможных сценариев прохождения электрона через рассеиватель.

(i)Электрон не взаимодействует с барьерами и не изменяет св ою энергию.В этом случае энергия E(out), с которой электрон покидает рассеива - тель,совпадает с начальной энергией электрона: E(out) = E.

(ii)Электрон поглощает квант энергии: E = E + !Ω0. (iii)Электрон отдает квант энергииї: E(out) = E − !Ω0.

Поскольку все эти случаи отвечают различным конечным состояним,отличающимся энергией E(out), то суммарная вероятность прохождения T электрона через рассеиватель будет равна сумме вероятностей указанных трех процессов,

T = T (0) (E , E) + T (+) (E + !Ω0 , E) + T (−) (E − !Ω0 , E) , (4.25)

где первым аргументом является конечная энергия электрона, а вторым – начальная.

Вероятность T (0), также как и вероятность рассеяния на стационарном

161

4.Генерирование постоянного тока

рассеивателе,не зависит от направления движения электрон а.В данном случае направление движения определяется тем,с какой стор оны,со стороны первого, V1, или второго ,V2, потенциала , электрон налетает на рассе - иватель.В противоположность этому,обе вероятности, T (+) и T (−), зависят от направления движения электрона.Поэтому,далее мы рассм отрим только эти вероятности.

Вначале вычислим T (+). Заметим , что существуют две возможности пройти сквозь систему и поглотить квант энергии,смотри рис . 4.4. Пер - вая,электрон поглощает энергию при взаимодействии с потен циалом V1(t). И вторая , электрон поглощает энергию при взаимодействии с потенциалом V2(t). Поскольку в обоих таких случаях электрон переходит в одно и то же конечное состояние,то амплитуды(не вероятности!),с оответствую-

Каждая из амплитуд A(j,+) может быть представлена как произведение двух сомножителей.А именно,амплитуды A(free)(E) = eikL, описывающей сво - бодное распространение электрона от одного барьера к другому,и амплиту-

ды A(+)j , описывающей поглощение кванта энергии !Ω0 при взаимодействии

с потенциалом Vj. Амплитуда A(+)j пропорциональна коэффициенту Фурье зависимости Vj(t). Обозначая через α коэффициент пропорциональности, запишем A(+)j = αV e−iϕj .

Далее,рассмотрим отдельно процессы прохождения для элект рона налетающего со стороны потенциала V1 и для электрона налетающего со сто - роны потенциала V2. Соответствующие величины будем обозначать нижни - ми индексами → и ←. Нашей целью является показать , что

Вначале вычислим T→(+). Двигаясь со стороны первого потенциального ба - рьера,электрон вначале встретит V1(t) и только потом , пройдя расстояние

162

4.2.Квантовый эффект насоса

L, электрон может достичь V2(t). Поэтому , в том случае , когда такой элек - трон поглотит энергию возле потенциального барьера V1, он будет прохо - дить расстояние между барьерами с увеличенной энергией, E+ = E + !Ω.

Амплитуда,отвечающая такому процессу равна, A(1→,+) = A(+)1 A(free)(E+). Если же электрон поглощает энергию возле второго барьера,т о он прой - дет расстояние между барьерами со своей начальной энергией E. В этом случае амплитуда прохождения равна, A(2→,+) = A(free)(E)A(+)2 . Для малых по сравнению с энергией электрона частот, !Ω0 - E, разложим фазу ам - плитуды A(free)(E+) до линейных по частоте членов, k(E+)L ≈ kL + Ω0τ, где k = k(E) и τ = Lm/(!k) – есть время свободного движения электрона между потенциальными барьерами V1 и V2. После этого , запишем ,

Теперь вычислим вероятность T←(+). Двигаясь со стороны второго потенци - ального барьера,электрон вначале встретит V2, и только потом достигнет V1. Выполнив вычисления , аналогичные приведенным выше , получим:

и,соответственно,

Сравнивая выражения( 4.29) и (4.31),видим,что,действительно,вероятность прохождения зависит от направления движения,как был о анонси - ровано в( 4.27).Асимметричность рассеяния характеризуется разностью

T (+) = T→(+) − T←(+), которая равна ,

163

4.Генерирование постоянного тока

где ϕ = ϕ1 − ϕ2.

Вероятность прохождения с излучением кванта энергии !Ω0, для рас - сматриваемой простой модели,характеризуется такой же аси мметрией, T (−) = T (+). Поэтому , если одинаковые потоки электронов с интен -

сивностью I0 налетают на рассеиватель с обоих сторон,то неравномерное

Возникающий ток зависит от двух фазовых факторов.С одной ст о- роны,ток зависит от разности фаз ϕ осциллирующих потенциалов V1(t) и V2(t). С другой стороны , ток зависит от дополнительного вкладаΩ0τ = Ω0L/v (где скорость электрона v = !k/m) в динамическую фазу , обуслов - ленного изменением энергии электрона при рассеянии.Налич ие первого фактора характеризует нарушение симметрии относительно инверсии времени и потенциально разрешает появление(постоянного)ток а в системе , в которой в отсутствие зависящих от времени потенциалов ток равен нулю. Второй же фактор характеризует систему как пространственно не симмет - ричную,состоящую из двух различных потенциалов,которые р асположены на некотором расстоянии L друг от друга.Интересно отметить,что в рассматриваемом случае,пространственная симметрия нарушен а только в том случае,когда ϕ1 %= ϕ2. Как следует из выражения (4.32) нарушение только одной из двух симметрий,пространственной или временн ой´ ,не достаточно для возникновения постоянного тока.

4.3.Одно-параметрическое адиабатическое генерирование тока

В соответствие с аргументами Брауэра [50] 2 в общем случае для ге - нерирования постоянного тока в адиабатическим режиме,нео бходимо из-

2Смотри рисунок 4.2 и относящиеся к нему рассуждения в тесте .

164

4.3.Одно-параметрическое адиабатическое генерирование тока

смотри раздел 4.1.3. И этот вывод действительно подтверждается экспери -

ментально[ 73, 74] и теоретически [31, 65, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81].Однако в работах [82, 83] было показано теоретически , что при медленном враще - нии потенциала,возможно получить линейный по частоте пост оянный ток. 3 Если рассматривать угол поворота,как параметр,то это,оче видно,примеры одно-параметрического адиабатического генерирования постоянного тока.Такое устройство естественно назвать квантовым винтом Архимеда. Приведенные ниже простые соображения показывают , что в структурах,имеющих циклическую координату,одно-параметрическ ое генерирование тока скорее правило,чем исключение.

Пусть квазистационарная матрица рассеяния зависит только от одно-

го зависящего от времени параметра, ˆ ˆ . При этом , если систе -

S(t) = S[p(t)]

ма возвращается периодически к своему начальному состоянию,то имеется две возможности: (i)параметр p есть периодическая функция времени, p(t) = p(t + T), или (ii) параметр p есть циклическая координата(угол),то есть матрица рассеяния зависит периодически от p, S eip, смотри , напри - мер, [58].В последнем случае пространство параметров может быть св ернуто в цилиндр вдоль координаты 0 ≤ p < 2π, которая формально может возрастать со временем,например, p t.

Если величина параметра p мала,то зависящий от времени ток Iα(t) (при нулевой температуре)в адиабатическом режиме( 5.13) можно линеа - ризовать,

где константа

3Постоянный ток может возникать также в результате поступательного перемещения потенциала[ 84, 85]. При медленном перемещении,ток оказывается пропорциональным с корости смещения.Если рассматривать координату,как параметр,то это тоже пример одно-параметриче ского адиабатического генерирования тока. Однако,здесь причина появления тока классическая и сводится к эффекту увлечения,то есть первичным является передача импульса от движущегося потенциала в электронную систему.В эффекте же квантового насоса первичным является передача энергии.

165

4.Генерирование постоянного тока

вычисляется при p = 0. В случае (i) ток периодичен по времени и не имеет постоянной составляющей.Напротив,в случае(ii)ток может иметь постоянную составляющую,если p t и Cαα(0) %= 0.

Эти выводы остаются справедливыми и в том случае,когда пара метр p принимает большие значения.В таком случае в выражении( 4.33) величи - ну Cαα(0) следует заменить на Cαα(p). В случае (i) раскладываем Cαα(p) в ряд Тейлора по степеням p. Каждое слагаемое такого разложения зависит периодически от времени,поэтому,ток также зависит период ически от времени и не имеет постоянной составляющей.В случае(ii)мы рас кладываем Cαα(p) в ряд Фурье . Все члены ряда , за исключением постоянного члена в разложении,приводят к переменному току.Таким образом,ес ли в системе с циклической координатой p диагональный элемент α периодической по

матричной формы ˆ ˆ ˆ† имеет постоянный член в разложении p C = S∂S /∂p

Фурье,то при равномерном изменении этого параметра p = Ω0t в системе возникает постоянный ток Iα Ω0. [9]

166