Глава3.

Нестационарная теория рассеяния

Прикладывая к образцу зависящее от времени напряжение или изменяя во времени свойства проводника мы создаем условия,когд а в систе - ме возникают переменные токи.Нашей целью является рассмот реть каким образом можно описать такой нестационарный транспорт в рамках формализма матрицы рассеяния.

Для того,чтобы определить элементы матрицы рассеяния,пре дставляющих собой квантово-механические одночастичные амплитуды,необходимо решить одночастичное уравнение Шредингера.Вначале рас смотрим методы решения нестационарного уравнения Шредингера,а зате м остановим - ся на свойствах матрицы рассеяния нестационарного рассеивателя.Мы не будем рассматривать общий случай,а сконцентрируемся на ча стном случае, когда зависимость от времени периодическая.Этот случай ва жен с практической точки зрения.Кроме того он может быть подробно проан ализирован теоретически,что позволит указать на общие характерные от личия стационарного транспорта от нестационарного.Нестационарная за дача,как правило,является более сложной по сравнению со стационарной, поэтому решая ее мы будем полагать,что решение соответствующей стаци онарной задачи известно.

3.1.Уравнение Шредингера с периодическим возмущением

Итак,рассмотрим уравнение Шредингера для волновой функци и Ψ частицы с массой m, описываемой гамильтонианом H(t,0r),

87

3.Нестационарная теория рассеяния

Здесь мы представили гамильтониан в виде суммы двух слагаемых,одно из которых не зависит от времени, H0(0r), и второе зависит от времени ,V (t,0r). Мы полагаем,что решение стационарной задачи,которая сост оит в решении уравнения Шредингера с гамильтонианом H0(0r) и с соответствующими граничными условиями,

−iEt

Ψ(t,0r) = e ! ψ(0r) ,

(3.2)

H0(0r)ψ(0r) = Eψ(0r) .

известно,то есть,известны все собственные значения En и соответствую - щие им собственные функции ψn(0r),

−iEnt

При этом Ψn(t,0r) = e ! ψn(0r). В общем случае индекс n (не обязательно целочисленный)нумерует как состояния дискретного так и состояния непрерывного спектров.

Для сравнения мы рассмотрим два метода решения нестационарной задачи.Первый метод,это теория возмущения развитая П.А.М . Дираком [28],смотри также[ 11],применимая для слабых возмущений,которые могут произвольным образом зависеть от времени.Второй метод , основанный на теореме Флоке,смотри,например[ 29, 30],применим для произвольных по величине и периодических во времени возмущений.

3.1.1.Теория возмущения

Пусть зависящая от времени часть гамильтониана мала,

и,поэтому может рассматриваться как возмущение,которое л ишь незначительно изменяет состояние квантовой системы,которая оп исывается га-

88

3.1.Уравнение Шредингера с периодическим возмущением

мильтонианом H0(0r). По сравнению с чем возмущение должно быть малым мы определим ниже.

Будем искать решение уравнения( 3.1) в виде ряда по собственным функциям стационарной задачи,

n

Подставим разложение( 3.5) в уравнение (3.1) и учитывая (3.3),получим

Домножим левую и правую части этого уравнения на Ψk(t,0r) и проинтегри - руем по всему пространству.Учитывая ортонормированность собственных функций гамильтониана,

ˆ

d3r ψk(0r) ψn(0r) = δn,k ,

получим следующее уравнение для коэффициентов ak:

где матричный элемент возмущающего потенциала,равен

Для определения коэффициентов an(t) необходимо решить бесконечную систему дифференциальных уравнений первого порядка( 3.7).

До сих пор мы не использовали тот факт,что возмущение слабое . Те - перь учтем это и будем решать указанную систему оставляя только линейные по возмущению V (t,0r) члены и пренебрегая всеми вкладами,которые квадратичные и более высокого порядка по V (t,0r).

89

3.Нестационарная теория рассеяния

Для определенности рассмотрим следующую задачу.Пусть в мо мент времени t = 0 было включено возмущение.До этого момента времени частица находилась в состоянии Ψm(t,0r) и имела энергию Em. Необходимо определить волновую функцию Ψ(m)(t,0r) частицы после того,как включено возмущение V (t,0r). Мы используем верхний индекс (m) для того,чтобы указать на то,в каком состоянии находилась частица до включ ения возмущения.Итак,в момент времени t = 0 имеем следующие начальные условия для волновой функции частицы,

где a(nm)(t) есть коэффициенты разложения искомой волновой функции

Ψ(m)(t,0r) в ряд (3.5).После включения возмущения коэффициенты a(nm)(t) будем искать в виде ряда по степеням малого параметра V (t,0r). С точно - стью до членов первого порядка,имеем,

a(mm)(t) = 1 + a(mm,1)(t) ,

(3.9)

a(nm)(t) = 0 + a(nm,1)(t) , n %= m .

Подставляя приведенное разложение в уравнение( 3.7) и сохраняя только линейные по V члены,получим,

Это линейное уравнение первого порядка уже может быть легко проинтегрировано,

90

3.1.Уравнение Шредингера с периодическим возмущением

Согласно основным принципам квантовой механики,квадрат м одуля,

|a(km)(t)|2, определяет вероятность обнаружить частицу в момент времени t в состоянии Ψk(t,0r), то есть , в состоянии , в котором частица имеет энер - гию Ek. Заметим , что в момент времениt = 0 частица имела энергию Em. Изменение энергии обусловлено взаимодействием с зависящим от времени потенциалом V (t). Частица может либо получить энергию , еслиEk > Em, либо отдать энергию,если Ek < Em.

Далее,для того,чтобы прояснить условие малости, ( 3.4),рассмотрим возмущение, V (t,0r) = U(t) R(0r), в виде произведения двух множителей один из которых, U(t), зависит от времени , а другой R, (0r), от координаты и предположим также , что зависимость от времени периодическая,

В таком случае частица с большой вероятностью остаётся в исходном состоянии.

Если же частота возмущения Ω0 близка к какой-либо из разностей энергий ±(Ek0 −Em)/!, то условие (3.14) может быть легко нарушено и дан - ная теория возмущения окажется не применима.В таком случае возмущение будет вынуждать частицу переходить из состояния Ψm(t,0r) в состояние

Ψ (t,0r) и обратно , то есть коэффициентыa(m)(t) и a(m)(t) будут величинами

k0 m k0

одного порядка.

91

3.Нестационарная теория рассеяния

Подставим полученное решение,выражения( 3.13) и (3.9),в разложение( 3.5),записанное для функции Ψ(m)(t,0r), и получим ,

плитудой приводит к появлению дополнительных слагаемых в волновой функции,соответствующих энергии сдвинутой на ±!Ω0 по отношению к энергии невозмущенного состояния.Легко заметить,что спе ктральный состав возмущения,а в рассмотренном нами случае возмущение и меет гармоники с частотой ±Ω0, определяет энергию дополнительных слагаемых в волновой функции.В свою очередь,эти слагаемые определяют вероятность обнаружить частицу с энергией отличной от энергии исходного состояния . Следовательно,можно сказать,что периодическое возмущен ие может изменить,как увеличить,так и уменьшить,энергию частицы на д искретную величину пропорциональную частоте какой-либо из гармоник возмущения.

3.1.2.Метод функций Флоке

Этот метод позволяет выйти за рамки,устанавливаемые услов ием (3.14),и рассмотреть периодическое возмущения произвольной ин тенсивности.

Суть метода состоит в том,что нестационарная задача сводит ся к стационарной задаче.При этом цена которую приходится платить , заключает - ся в том,что каждый уровень энергии стационарной задачи рас щепляется в бесконечную последовательность уровней.Задача состоит в решении бесконечной системы линейных уравнений,что может быть сделан о численно с необходимой точностью,а иногда и аналитически.

Метод базируется на теореме Флоке,которую можно сформулир овать следующим образом.Решение уравнения Шредингера с периоди ческим во времени гамильтонианом,

92

3.1.Уравнение Шредингера с периодическим возмущением

можно представить в следующем виде,

Ψ(t,0r) = e−iE! tφ(t,0r) ,

(3.17)

φ(t,0r) = φ(t + T, 0)r.

Для доказательства сформулированной теоремы рассмотрим общее решение Ψ(t,0r) уравнения Шредингера( 3.1) с гамильтонианом зависящим от времени периодически, (3.16).Сдвинем время на один период t → t + T и убедимся , что волновая функцияΨ(t + T, 0)rудовлетворяет тому же уравнению,что и функция Ψ(t,0r),

i! ∂Ψ(t + T, 0)r = H(t + T, 0)rΨ (t + T, 0)r

∂t

= H(t,0r) Ψ (t + T, 0)r,

поэтому эти функции должны быть пропорциональны друг другу,

Из условия нормировки волновой функции следует ограничение на коэффи - циент пропорциональности C. Поскольку интеграл по всему пространству от квадрата модуля волновой функции должен равняться единице,

93

3.Нестационарная теория рассеяния

то,выбирая коэффициент C не зависящим от координат,получим,

Общее выражение для функции,удовлетворяющей условию( 3.18) с коэф - фициентом из выражения( 3.19) есть ,

Ψ(t,0r) = e−iTα tφ(t,0r) ,

(3.20)

φ(t,0r) = φ(t + T, 0)r.

Покажем,что выполняется условие( 3.18),

Ψ(t + T) = e−iTα (t+T)φ(t + T) = e−iα >e−iTα tφ(t)? = e−iαΨ(t) .

Вводя вместо α величину E = !α/T мы из выражения( 3.20) получаем вы - ражение( 3.17).Таким образом теорема Флоке доказана.

Далее мы разложим периодическую во времени функцию φ(t,0r) в ряд

Фурье,

!∞

где Ω0 = 2π/T. После чего волновая функция Флоке (3.17) примет следую - щий вид,

∞

!

Ψ(t,0r) = e−iE! t e−iqΩ0tψq(0r) . (3.22)

q=−∞

В случае гамильтониана не зависящего от времени решение уравнения Шредингера,соответствующее энергии E, должно быть пропорционально

94

3.1.Уравнение Шредингера с периодическим возмущением

e−iE! t. Следовательно , в стационарном случае в выражении (3.22) останется только одно слагаемое с q = 0. Если же гамильтониан зависит от времени , то энергия E не является строго определенной величиной.Так,изменяя E в выражении (3.22) на некоторое число p квантов !Ω0, E → E + p!Ω0, мы получим то же самое решение в том же самом виде.Для того,чтоб ы пока - зать это необходимо всего лишь переобозначить индексы у функций ψq(0r) следующим образом, q → q + p. Поскольку величина E определена с точностью до кванта энергии !Ω0, то ее называют квазиэнергией или энергией Флоке.При выборе величины E обычно руководствуются соображениями удобства.Так,при выполнении численных вычислений обычно квазиэнергию выбирают в следующем интервале, 0 ≤ E < !Ω0. При рассмотрении же вопроса о том как изменяется некоторое стационарное состояние под действием периодического возмущения удобно величину E выбрать равной энергии изучаемого стационарного состояния.Так же мы буде м поступать и при рассмотрении задачи о рассеянии частиц на динамическом рассеива - теле,а именно,в качестве квазиэнергии для рассеянных част иц мы будем выбирать энергию налетающих частиц.

Из сравнения выражений( 3.15) и (3.22) следует , что теорема Фло - ке предсказывает существование многофотонных процессов, при которых энергия частицы изменяется на несколько квантов энергии !Ω0 в допол - нение к однофотонным процессам,проявляющимися уже в случа е возму - щения с малой амплитудой.Таким образом,теорема Флоке указ ывает общий вид решения уравнения Шредингера с периодическим гамильтонианом. Неизвестные функции ψq(0r) являются решением некоторой стационарной задачи.В общем случае функции ψq(0r) при различных q оказываются зависящими друг от друга.Это есть проявление того факта,что час тица может обмениваться квантами энергии !Ω0 с внешним источником возбуждения и,поэтому различные каналы распространения,нумеруемые и ндексом q и соответствующие энергиям сдвинутым на целое число квантов !Ω0, будут зависимы друг от друга.Задача нахождения функций ψq является хотя и стационарной,но многоканальной.

95

3.Нестационарная теория рассеяния

3.1.3.Однородный осциллирующий потенциал

Для иллюстрации разобранных методов рассмотрим очень простой пример,допускающий точное решение,и убедимся,что при нал ичии периодического возмущения решение действительно имеет вид функции Флоке и, что при малой величине возмущения только однофотонные процессы проявляются в волновой функции.Итак,рассмотрим решение урав нения Шредингера с однородным,то есть,не зависящим от координаты 0r, осциллиру - ющим потенциалом( 3.12),

где функция ψE(0r) не зависит от времени и удовлетворяет следующему стационарному уравнению Шредингера,

Далее,используя разложение периодической функции в ряд Фу рье,

!∞

где Jq - функция Бесселя первого рода q-го порядка,перепишем выражение (3.24) в следующем виде ,

96

3.2.Матрица рассеяния Флоке

Сравнивая полученное выражение с выражением( 3.22),видим,что полученное решение действительно имеет вид функции Флокеc ψq(0r) =

Jq(2U/!Ω0)ψE(0r).

Проанализируем полученное выражение( 3.27) в пределе малой ам - плитуды осцилляций потенциала, U/(!Ω0) - 1. Для этого разложим функ - цию Бесселя в ряд Тейлора по степеням малого аргумента α = 2U/(!Ω0) и ограничимся первыми несколькими членами,

что в точности совпадает с выражением( 3.15) с учетом того , что в рассмат - риваемом случае Rnm = δnm и ψm(0r) = ψE(0r).

3.2.Матрица рассеяния Флоке

Основное отличие динамического рассеивателя от стационарного состоит в том,что при взаимодействии с динамическим рассеива телем энергия электрона может измениться. 1 Ниже мы будем рассматривать рассеиватель,параметры которого периодически изменяются со вр еменем,что может быть вызвано некоторым внешним воздействием,которо е изменяет рассеивающие свойства образца.Например,это может быть эл ектростатический потенциал,формирующий потенциальный барьер,преп ятствующий распространению электронов через образец,созданный в дву мерном электронном газе полупроводниковой гетероструктуры GaAs/AlGaAs.

1Подчеркнем,что такое изменение энергии является детермин ированным и,поэтому не приводит к сбою фазы волновой функции электрона.

97

3.Нестационарная теория рассеяния

В общем мы будем считать , что гамильтониан , который описывается взаимодействие электрона с рассеивателем,периодическ и зависит от времени.Тогда волновая функция электрона,взаимодейству ющего с таким рассеивателем,будет представлять собой функцию Флоке, ( 3.22),которая имеет много компонент,каждая из которых соответствует сво ей энергии. В качестве энергии Флоке E удобно взять энергию налетающего электрона.Тогда квадрат модуля q−той компонента волновой функции рассеянного электрона,проинтегрированный по пространству,будет опр еделять вероятность того,что при рассеянии электрон поглотит, q > 0, или отдаст ,q < 0, энергию |q|!Ω0.

С точки зрения теории рассеяния тот факт , что свойства рассеивателя периодически изменяются со временем приводит к тому,что матрица рассеяния становится зависящей не только от исходной энергии электро-

5

5

kn = 2mEn/!2),соответствующая тому,что налетающий из проводника β электрон с энергией E рассеивается в проводник α и при этом его энер - гия становится равной En = E + n!Ω0. [31] Как и в стационарном случае , указанный элемент матрицы рассеяния определен как амплитуда перехода между состояниями(переносящими единичный поток)с опре деленной энергией,которые являются собственными состояниями в про водниках,соединяющих динамический рассеиватель с резервуарами.Подч еркнем,что, зависящий от времени потенциал сосредоточен только в пределах рассеивателя и отсутствует в проводниках.

3.2.1.Свойства матрицы рассеяния Флоке

3.2.1.1.Свойство унитарности

Поскольку поток частиц при рассеянии сохраняется,то матри ца рассеяния Флоке есть унитарная матрица,элементы которой удов летворяют

98

3.2.Матрица рассеяния Флоке

следующим условиям, [32]

Для каждой энергии E в сумме по n берутся только те слагаемые,которые отвечают токонесущим состояниям,то есть,положительн ым значениям энергии En. Следовательно ,n > −[E/!Ω0], где [X] обозначает целую часть числа X. Если же ,

то,фактически,суммирование по n в выражениях (3.28) распространяется от −∞ до ∞, что мы и будем предполагать далее .

Заметим,что отрицательные значения энергии En отвечают локализованным вблизи рассеивателя состояниям,которые не вносят в клад в ток. Переходы между локализованными состояниями с энергией En < 0 и дело - кализованными состояниями с энергией E > 0, которые переносят ток , так - же описываются элементами матрицы рассеяния Флоке.Однако , в устано - вившемся режиме такие переходы не влияют на ток,поэтому и не учитываются в условиях унитарности( 3.28).Ниже мы будем использовать только ту часть матрицы рассеяния Флоке,которая описывает переходы между токонесущими,делокализованными состояниями,и для краткости мы ее также будем называть матрицей рассеяния Флоке.

3.2.1.2.Свойства,вытекающие из микрообратимости движен ия

Обратимость уравнений движения при изменении направления времени на противоположное также накладывает некоторые ограничения на элементы матрицы рассеяния.Как мы уже рассмотрели ранее,смот ри пункт 1.1.1.2, в стационарном случае изменение t → −t оставляет уравнение

99

3.Нестационарная теория рассеяния

Шредингера без изменения,если изменить на противоположно е направ - ление возможно присутствующего магнитного поля и заменить волновую функцию на комплексно сопряженную.При этом входящие и выхо дящие каналы рассеяния меняются местами.

В случае же динамического рассеивателя инверсия времени может привести к изменению самого гамильтониана,который явным о бразом зависит от времени.Пусть гамильтониан зависит от Np параметров pi(t), i = 1, . . . , Np, которые изменяются периодически во времени ,

Тогда,при инверсии времени гамильтониан останется без изм енения,если дополнительно заменить все фазы на противоположные, ϕi → −ϕi, i. Та - ким образом,обратимость уравнений движения при инверсии в ремени накладывает следующие условия симметрии на элементы матрицы рассеяния Флоке, [33]

где {ϕ} обозначает набор всех фаз ϕi.

3.3.Оператор тока

Для вычисления тока( 1.36),необходимо выразить операторы ˆ bα(E)

для рассеяных электронов через операторы aˆα(E) для налетающих электронов.Эти операторы уничтожают частицу в состоянии с опре деленной энергией.Учитывая,что при взаимодействии с рассеивателе м,свойства которого периодически изменяются со временем,электрон може т изменить свою энергию на целое число квантов !Ω0, получим следующее обобщение соотношения( 1.39) на случай динамического рассеяния , [31]

n=−∞ β=1

100

n=−∞ β=1

Обратим внимание,что суммирование по энергетическим кана лам рассеяния вполне аналогично суммированию по орбитальным каналам рассеяния.

Приведенные соотношения вместе с условиями унитарности для матрицы рассеяния Флоке, (3.28),обеспечивают выполнение антикоммутационных соотношений для b - операторов таких же , как и дляa - операторов, (1.30).

Естественно предположить,что периодическое изменение во времени свойств рассеивателя приведет к возникновению периодических во времени токов в системе. [34] Это заключение оказывается справедливым даже в том случае,когда резервуары,к которым присоединен рассеи ватель,имеют одинаковые потенциалы.Для анализа таких токов удобно пере йти к частот-

−∞

Используя выражение( 1.36),получим для оператора тока в частотном представлении,

При получении вышеприведенного выражения мы использовали следующее соотношение,

101

3.Нестационарная теория рассеяния

∞

ˆ

−∞

и,с учетом свойств дельта функции Дирака,проинтегрировал и по энергии ,

где ˆ ) ) .

X = bα(E ), aˆα(E )

3.3.1.Переменный ток

Подставляя выражения( 3.32) в выражение (3.34) и усредняя по равно - весным состояниям резервуаром,получим следующее выражен ие для тока,

С учетом соотношения (3.28b) выражение для l−й гармоники ,Il,α, генери - руемого тока может быть переписано в следующем виде,

(3.38)

где мы дополнительно сделали следующие замены: En → E и n → −n.

102

3.3.Оператор тока

Удобство последнего выражения,которое содержит разность функций распределения Ферми,проявляется в случае медленного изме нения параметров рассеивателя, Ω0 → 0, когда ток можно представить в виде ряда по степеням частоты Ω0.

Подставляя( 3.37a) в (3.33a),получим следующее выражение для зависящего от времени тока,

!∞

откуда следует,что возникающий в системе ток действительн о периодиче - ски изменяется со временем, Iα(t) = Iα(t + 2π/Ω0), в такт с изменением параметров рассеивателя.

3.3.2.Постоянный ток

Особый интерес представляет генерирование постоянного тока.Если переменный ток всегда возбуждается динамическим рассеивателем,то для существования постоянного тока требуется выполнение определенных условий,на которых мы остановимся ниже.Здесь же мы приведе м толь - ко общие выражения для постоянного тока,а именно слагаемог о с l = 0 в выражении( 3.39).

Подставляя l = 0 в (3.37b),получим

Постоянный ток должен удовлетворять закону сохранения( 1.48).Для того,чтобы показать,что выражение для Iα,0 удовлетворяет указанному закону сохранения,преобразуем( 3.40) следующим образом . В части выраже - ния,которая пропорциональна fβ(En), заменим E → E − n!Ω0. При этом пределы интегрирования по энергии не изменятся,поскольку , как мы уже говорили,выражение для тока содержит только такие элемент ы матрицы

103

3.Нестационарная теория рассеяния

рассеяния Флоке,у которых и E > 0 и En > 0. Кроме того заменим n → −n и получим , [31]

(3.28b) c m = 0 и α = γ в выражение (3.41) в качестве множителя , равного единице,при fα(E) и сделать здесь замены E → E − n!Ω0 и n → −n, тогда получим, [31]

Из полученного выражения следует,что участие в формирован ии тока принимают только электроны с энергиями вблизи энергии Ферми,г де разность fβ(E) − fα(E + n!Ω0) =% 0. При этом характерный интервал энергий , в ко - тором сосредоточен ток,определяется максимальной из таки х величин как энергия возбуждения !Ω0, приложенное напряжения |eVαβ | и температура

kBTα.

И,наконец,интуитивно понятное выражение для тока,получа ется аналогично тому,как мы получили( 3.42) из (3.41),если использовать выражение( 3.28a),в котором переобозначить индекс суммирования α → β и β = γ → α, [31]

Данное выражение представляет ток,как разность потоков ча стиц,которые

104

3.4.Адиабатическое приближение для матрицы рассеяния Фло ке

пришли@ из всевозможных@ резервуаров β и были рассеяны с вероятностью @SF,αβ (En , E)@2 в рассматриваемый проводник α, и потоков частиц , кото -

рые пришли из резервуара α и были с вероятностью @@SF,βα (En , E)@@2 рассеяны в какой-либо из проводников β. Подчеркнем , что все выражения (3.40) - (3.43) являются эквивалентными . Использование того или иного выражения диктуется соображениями удобства при решении конкретной задачи.

3.4.Адиабатическое приближение для матрицы рассеяния Флоке

Вычисление элементов матрицы рассеяния Флоке требует решения зависящего от времени уравнение Шредингера,что,в общем случ ае,сложнее, чем решение стационарного уравнения Шредингера и требует значительно больше численных вычислений.В частности,это так,поско льку стаци-

тельно большее число элементов,равное Nr × Nr × (2nmax + 1)2, где nmax есть максимальное число квантов энергии !Ω0, которое электрон может по -

глотить/отдать взаимодействуя с динамическим рассеивателем.Формально электрон может изменить свою энергию на n → ∞ число квантов !Ω0, од - нако в каждом конкретном случае существует такое nmax, что вероятностью излучения/поглощения nmax + 1 кванта энергии можно пренебречь при вычислении элементов матрицы рассеяния с заданной точностью. Например , если амплитуда изменения потенциала δU, вызванного изменением пара - метров рассеивателя,мала по сравнению с !Ω0, тогда nmax = 1, то есть , до - статочно учитывать только однофотонные процессы.В против оположном же случае,когда δU ( !Ω0, имеем nmax ( 1.

Последний случай,как правило,возникает при медленном изм енении параметров рассеивателя.Следовательно,в том случае,ког да Ω0 → 0, тре - буется вычисление огромного количества элементов матрицы рассеяния, что может оказаться практически невозможным.С другой стор оны,представляется логичным ожидать,что рассеивающие свойства об разца,параметры которого медленно изменяются во времени,должны быть близки к

105

3.Нестационарная теория рассеяния

рассеивающим свойствам строго стационарного образца,пос кольку,если время,которое электрон проводит в образце,мало по сравнен ию с периодом T = 2π/Ω0 → ∞ изменения параметров образца,то электрон не должен чувствовать такое изменение.Таким образом,представл яется,что проблематичный с точки зрения численных расчетов случай Ω0 → 0, в дей - ствительности может быть сведен к стационарному случаю.Од нако,и мы это покажем далее,свойства динамического рассеивателя да же в пределе Ω0 → 0 принципиально отличаются от свойств стационарного рассеивателя. [32, 33] Например , динамический рассеиватель может генерировать постоянный ток между резервуарами в отсутствие напряжения.

3.4.1.Квазистационарная матрица рассеяния

ко,эта матрица не описывает рассеяние на динамическом обра зце.Физический смысл ее заключается в следующем.Пусть в момент врем ени t = t0 все параметры рассеивателя были зафиксированы и более не изменялись.

Тогда матрица ˆ описывает рассеяние на таком,замороженном в мо-

S(t0, E)

мент времени t0 рассеивателе.Понимая время t именно в таком смысле,мы

будем называть матрицу ˆ квазистационарной или замороженной

S(t, E)

матрицей рассеяния.Подчеркнем,что переменная t здесь рассматривается в качестве параметра,имеющего отношения к изменению сво йств рассеивателя,и не имеющего отношения к динамической переменн ой времени, входящей в уравнение Шредингера и описывающей эволюцию состояния рассеиваемой частицы.Величину t можно назвать макроскопическим временем,задаваемым периодическим изменением параметров ра ссеивателя,в отличие от микроскопического времени,входящего в уравнен ие Шредингера.

Как мы уже сказали,квазистационарная матрица рассеяния ˆ не

S(t, E)

описывает рассеяние на динамическом рассеивателе,поскол ьку она зависит от одной энергии и не учитывает возможное изменение энергии электрона при рассеянии.Однако,в случае малой частоты, Ω0 → 0, существует

106

3.4.Адиабатическое приближение для матрицы рассеяния Фло ке

определенная связь между квазистационарной матрицей рассеяния и матрицей рассеяния Флоке.Эта связь становится более очевидно й,если пред-

ставить ˆ в виде ряда по степеням ,

SF Ω0

Приведенное разложение мы будем называть адиабатическим разложением для матрицы рассеяния Флоке.Ниже мы выразим,насколько э то возможно,первый и второй члены приведенного ряда через квазис тационарную матрицу рассеяния.

3.4.2.Нулевое приближение

В нулевом порядке ,q = 0 в (3.44),все слагаемые,имеющие множителем Ω0 или более высокие степени частоты,должны быть опущены.С такой точностью начальная E и конечная En = E + n!Ω0 энергии сов-

падают,поэтому ˆ(0) зависит,фактически,только от одной энергии,как

SF

и квазистационарная матрица рассеяния . Для установления связи между ними учтем следующее.Элемент SF,αβ (En , E) матрицы рассеяния Флоке

описывает процесс рассеяния с изменением энергии электрона, Ψ(out)

En,α

SF,αβ (En, E) Ψ(E,inβ). При этом , если до рассеяния волновая функция имела следующий зависящий от времени фазовый множитель, Ψ(E,inβ) e−iEt/! ,

n=−∞

то будет видно,что часть волновой функции рассеянного элек трона пропорциональная Sαβ,n будет иметь требуемый зависящий от времени фазовый множитель e−iEnt/!.

107

3.Нестационарная теория рассеяния

Приведенные соображения позволяют сказать,что в нулевом п орядке по частоте изменения параметров рассеивателя элементы матрицы рассеяния Флоке равны соответствующим коэффициентам Фурье квазистационарной матрицы рассеяния,

Приближение нулевого порядка удовлетворяет условию унитарности для матрицы рассеяния Флоке.Для того,чтобы доказать это по дставим приведенные выше выражения в( 3.28) и выполним обратное преобразо - вание Фурье.После чего получим,

ˆ ˆ† ˆ† ˆ ˆ (3.47)

S (t, E) S (t, E) = S (t, E) S (t, E) = I ,

что полностью совпадает с условием унитарности( 1.10) для стационарной матрицы рассеяния.

3.4.3.Приближение первого порядка

С точностью до членов первого порядка по Ω0 коэффициенты матрицы рассеяния Флоке выражаются через коэффициенты Фурье квазистационарной матрицы рассеяния,их производные по энергии и коэф фициенты

Фурье некоторой матрицы ˆ . В общем случае последняя матрица не

A(t, E)

выражается через квазистационарную матрицу рассеяния.Ее следует вычислять в каждом конкретном случае также,как и саму квазист ационарную матрицу рассеяния.

С учетом членов первого порядка по Ω0 начальная E и конечная En энергии рассеянной частицы уже не могут рассматриваться как одинако - вые.В этом случае естественным обобщением приближения нул евого порядка( 3.46) могло бы быть аналогичное соотношение , в котором квазистационарная матрица рассеяния вычисляется при энергии,равн ой (E +En)/2. Однако,такая матрица рассеяния не удовлетворяла бы услови ю унитар - ности,поэтому необходимо ввести дополнительное слагаемо е,которое мы

108

3.4.Адиабатическое приближение для матрицы рассеяния Фло ке

обозначим как ˆ , где ˆ есть коэффициент Фурье для некото-

!Ω0An(E) An(E)

рой матрицы ˆ . Таким образом , мы приходим в следующему анзацу

A(t, E)

для поправок первого порядка по Ω0 к квазистационарной матрице рассея - ния,слагаемое с q = 1 в (3.44),

Соотношения( 3.48) указывают на то , что фактическим параметром разложения в( 3.44), параметром адиабатичности, является отноше -

где δE есть характерный масштаб энергии,на котором стационарная матрица рассеяния существенно изменяется.Например,если эне ргия электрона близка к резонансной энергии прохождения через рассеиватель,тогда величина δE порядка ширины резонанса.Если энергия электрона далека от резонансной,тогда δE порядка расстояния между резонансными энергиями.В случае же,когда отсутствуют резонансы прохождени я через рас - сеиватель,тогда,как правило, δE порядка самой энергии E рассеиваемого электрона.Подчеркнем,что такое определение адиабатично сти отличается от обычно используемого в квантовой механике,которое тр ебует малости энергии возбуждения !Ω0 по сравнению с рассеянием между уровнями энергии электронов.

Унитарность матрицы рассеяния Флоке приводит к некоторому соот-

ношению,которому должна удовлетворять матрица ˆ . [32] Получим

A(t, E)

это соотношение.Для этого запишем с точностью до членов пер вого порядка по частоте,

109

3.Нестационарная теория рассеяния

A B7

Sαβ,n Aαγ,n−m + Aαβ,n Sαγ,n−m = 0 .

Далее выполним обратное преобразование Фурье.Напомним не которые свойства преобразования Фурье,которые мы будем использов ать,

n=−∞

Переходя к матричным обозначениям,перепишем полученное в ыше соотношение в таком виде,

110

3.4.Адиабатическое приближение для матрицы рассеяния Фло ке

Для того,чтобы упростить полученное уравнение,используе м тождество

2 ˆ† ˆ ˆ, следующее из (3.47),которое в развернутом виде имеет

∂ (S S)/∂t∂E = 0

следующий вид,

Итак,окончательно получаем следующее условие унитарност и для матрицы

ˆ, [32]

A

где символом ˆ† ˆ мы обозначили следующие матричные скобки Пуас-

P{S , S}

сона,

которые представляют собой самосопряженную матрицу,след которой равен нулю,

111

3.Нестационарная теория рассеяния

которое эквивалентно соотношению( 3.52) и может быть получено из него

умножением слева на ˆ и справа на ˆ† отдельно левой и отдельно правой

S S

частей в( 3.52).

Другое условие,которому удовлетворяет матрица рассеяния Флоке,а именно условие( 3.31),вытекающее из микрообратимости движения,также накладывает определенные условия симметрии на м атрицу

ˆ . Для вывода этих условий , заметим , что с учетом3.(30) ква -

A(t, E)

зистационарная матрица рассеяния удовлетворяет следующему условию,

и An(E; H, {ϕ}) = −A−n(E; H, {−ϕ}). Тогда , подставляя сумму выражения

(3.46) и (3.48) в (3.31),и,учитывая приведенные выше соотношения для коэффициентов Фурье,получим искомое соотношение, [ 33]

112

3.5.Выход за рамки адиабатического приближения

Аналогичное соотношение для квазистационарной матрицы рассеяния,которое следует из( 1.29),имеет такой вид,

Рассмотрим случай H = 0. Видно , что недиагональные элементы мат -

рицы ˆ, в отличие от элементов квазистационарной матрицы рассеяния,

A

изменяют знак при инверсии направления движения,то есть пр и перемене

зывать аномальной матрицей рассеяния.Такое изменение знака приводит к тому , что вероятности прямого α, → β, и обратного ,β → α, процес - сов прохождения через динамический рассеиватель становятся различными.Диагональные же элемента аномальной матрицы рассеяния равны ну-

ется только квазистационарной матрицей рассеяния и ее производной по энергии.Это обстоятельство оправдывает форму адиабатиче ского анзаца

(3.48).

3.5.Выход за рамки адиабатического приближения

В некоторых простых случаях матрица рассеяния Флоке может быть вычислена аналитически.При этом оказывается удобным пере йти к смешанному представлению,в котором матрица рассеяния зависи т от энергии и времени .

3.5.1.Матрица рассеяния в смешанном представлении

Введем две матрицы рассеяния ˆ и ˆ . Коэффициенты

Sin(t, E) Sout(E, t)

Фурье этих матриц определяют элементы матрицы рассеяния Флоке сле-

113

3.Нестационарная теория рассеяния

дующим образом, [36]

Как мы увидим из примеров,рассмотренных ниже,элементами м ат-

рицы ˆ являются амплитуды рассеяния частиц,которые налетают

Sin(t, E)

с энергией E на рассеиватель и покидают рассеиватель в момент времени

. Дуальная же матрица рассеяния ˆ определяет амплитуды рас- t Sout(E, t)

сеяния частиц,налетающих на рассеиватель в момент времени t и поки - дающих рассеиватель с энергией E. Заметим , что указанная интерпрета - ция находится в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга.Если определен момент времени,когда частица покидает р ассеиватель, то не определена энергия рассеянной частицы.Пусть частица рассеивается из проводника β в проводник α, тогда ее энергия , с вероятностью , определяемой квадратом модуля соответствующего коэффициента Фурье, |Sin,αβ,n(E)|2, может отличаться от начальной энергии E на величину n!Ω0. И в другом случае , если определен момент времени , когда частица налетает на рассеиватель,то ее начальная энергия не является точно о пределенной. Эта энергия может отличаться от энергии E, с которой частица покидает рассеиватель.Вероятность того,что начальная энергия час тицы,рассеиваемой из проводника β в проводник α, была Em = E + m!Ω0 определяется

(3.28b) и выполняя обратное преобразование Фурье , получим следующие условия унитарности для введенных матриц, [33, 36]

114

3.5.Выход за рамки адиабатического приближения

T

текающая из их определения и микрообратимости уравнений движения. Из условия микрообратимости( 3.31) и определений (3.59) следует , [36]

что во временном´ представлении может быть записано следующим образом,

n=−∞ 0

115

3.Нестационарная теория рассеяния

Далее рассмотрим несколько примеров,для которых вычислим анали-

тически элементы матрицы рассеяния ˆ .

Sin

3.5.2.Точечный рассеивающий потенциал

Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера,

с точечным потенциалом V (t, x), величина которого периодически изменя - ется со временем,

В соответствие с теоремой Флоке решение уравнения (3.65) с периодиче - ским потенциалом( 3.66) будем искать в следующем виде ,

n=−∞

где ψn (x) есть общее решение соответствующей стационарной задачи.В о всех точках,кроме x = 0, потенциал отсутствует , поэтому в качестве ψn (x =% 0) возьмем общее решение уравнения Шредингера для свободной частицы,

того,проинтегрировав уравнение( 3.65) по бесконечно малой окрестности

116

3.5.Выход за рамки адиабатического приближения

точки x = 0, получим , что производная волновой функции испытывает скачок в этой точке.Таким образом,в точке x = 0 имеем следующие граничные условия,

которые связывают коэффициенты волновой функции( 3.68) при x > 0 и x < 0.

Теперь мы переходим к постановке собственно задачи рассеяния,которая,в частности,определяет граничные условия при x → ± ∞. Коэффи -

циенты a(n−) и b(+)n в выражении (3.68) соответствуют волне , падающей на рассеиватель,тогда как коэффициенты a(+)n и b(n−) соответствуют рассеянной волне.Поэтому,запишем,

Соответственно и волновая функция( 3.67) будет представлена как , Ψ (t, x) = Ψ(in) (t, x) + Ψ(out) (t, x). Заметим , что коэффициентыa(n−) и b(+)n

задаются видом падающей волны,а a(+)n и b(n−), определяющие рассеянную волну,должны быть вычислены.

117

3.Нестационарная теория рассеяния

b(1−,n) a(+)1,n

1

Рис. 3.1.Рассеяние волны единичной амплитуды на точечном п отенциальном барьере.Стрелки и буквы показывают направление и ампли туду соот-

ветственных волн: 1 – налетающая волна, b(1−,n) – отраженная волна, a(+)1,n – прошедшая волна.Показана только одна( n-я)компонента функции Флоке, описывающей рассеянную волну.

Вначале рассмотрим рассеяние плоской волны с единичной амплитудой 2, соответствующей частице с энергией E, налетающей слева , рис .3.1

деления коэффициентов a(+)1,n , b(1−,n), определяющих рассеянную волну Ψ(1out), воспользуемся граничными условиями( 3.69),в которых приравняем коэф-

E+n!Ω0

фициенты,имеющие одинаковую зависимость от времени, e−i ! t, и получим бесконечную систему линейных уравнений, n = 0, ±1, ±2, . . .,

118

3.5.Выход за рамки адиабатического приближения

где p0 = mV0/!2 и p±1 = mV1e7iϕ/!2 есть коэффициенты Фурье для p (t) = mV (t) /!2.