Розрах

Тепер потрібно перевірити, що побудована матриця дійсно є

3) Запишемо матричне рівняння A X B у вигляді системи рівнянь:

21

4) Матрицю невідомих знайдемо за формулою X A 1 B, де матриця

A 1 обчислена раніше у пункті (2).

5) Спочатку потрібно знайти головний визначник системи (візьмемо його з прикладу 2):

22

За правилом Крамера знаходимо розв’язок системи:

6) Записуємо систему рівнянь у вигляді розширеної матриці та за допомогою послідовних перетворень: зміни місць рядків, множення рядка на число, додавання рядків, приводимо цю матрицю до трикутного вигляду:

Від одержаної матриці переходимо до відповідної системи рівнянь:

23

Розв’язуємо систему з кінця, тобто з третього рівняння. Підставимо

Зробимо перевірку:

Порівнявши відповідь з заданою системою, робимо висновок:

______________________________________________________

Тема 2. Векторна алгебра. Види добутків векторів, їх застосування.

Письмово дати відповіді на запитання та продовжити вирази:

1.Вектор – це ____________________________________________________

2.Вектори називаються колінеарними, якщо__________________________

________________________________________________________________

3.Записати умову колінеарності векторів:____________________________

4.Чому дорівнює скалярний добуток, якщо вектори задані координатами

a a1 ,a2 ,a3 ; b b1 ,b2 ,b3 ?___________________________________________

5.Кут між векторами дорівнює:_____________________________________

6.Записати умову перпендикулярності векторів:_______________________

7.Векторним добутком двох векторів називається_____________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

8.В чому полягає геометричний зміст векторного добутку?_____________

________________________________________________________________

9.Мішаним добутком векторів називається __________________________

24

________________________________________________________________

________________________________________________________________

10.В чому полягає геометричний зміст мішаного добутку?______________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

11.Вектори називаються компланарними, якщо:_______________________

________________________________________________________________

12.Записати умову компланарності трьох векторів:____________________

________________________________________________________________

Завдання 2.

3)площу грані АВС;

4)об’єм піраміди:

Розв’язання:

1) Знайдемо координати векторів AB , AC і AD , віднімаючи від

координат кінця вектору координати початку вектору:

AB xB xA ; yB yA;zB zA

AC xC xA; yC yA ;zC zA

AD xD xA ; yD yA;zD zA

Обчислимо скалярний добуток векторів AB і AC :

25

AB AC ABx ACx ABy ACy ABz ACz

Обчислимо модулі векторів AB і AC:

AB = ABx2 ABy2 ABz2 =.

AC = ACx2 ACy2 ACz2 =

Знайдемо косинус кута між векторами AB і AC:

Таким чином, кут між векторами (ребрами) дорівнює:

2) Обчислимо проекцію вектору AB на вектор AC:

прAC AB AB AC AC

3) Для знаходження площі трикутника ABC скористуємося формулами:

Знайдемо тепер модуль векторного добутку:

26

Таким чином,

1

S ABC 2 AB AC

4) Відомо, що об’єм піраміди дорівнює шостій частині об’єму паралелепіпеда

Знайдемо мішаний добуток векторів AB, ACта AD, які є ребрами

піраміди:

Змістовий модуль 2

Аналітична геометрія на площині та в просторі

Тема 3. Аналітична геометрія на площині.

Письмово дати відповіді на запитання та продовжити вирази:

1. За якою формулою знаходять відстань між двома точками на площині?_

________________________________________________________________

27

2.Записати загальне рівняння прямої:________________________________

3.Який вектор називається нормальним вектором прямої?______________

________________________________________________________________

4.Записати канонічне рівняння прямої:_______________________________

5.Якій вектор називається направляючим вектором прямої?_____________

________________________________________________________________

6.Записати геометричний зміст кутового коефіцієнта:__________________

________________________________________________________________

7.Умова паралельності прямих:_____________________________________

8.Умова перпендикулярності прямих:________________________________

________________________________________________________________

9.Записати рівняння прямої у відрізках______________________________

10.Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки:____________

________________________________________________________________

Завдання 3.

Задано координати вершин трикутника ABC.

A ( ), B ( ), C ( ).

Знайти:

1)довжину сторони BC;

2)рівняння прямої BC;

3)рівняння висоти AD на сторону BC;

4)довжину висоти AD;

28

5)рівняння медіани BE;

6)точку перетину M висоти AD і медіани BE;

7)кут між прямими AD і BE;

Розв’язання:

1) Обчислимо довжину сторони BC за формулою:

2)Запишемо рівняння прямої BC за формулою:

xx1 y y1 :

S

BC :

3) AD BC AD S.

Запишемо рівняння висоти ADза формулою:

29

перпендикулярного до AD, тобто ~ ~

S

B

;

A

AD:

4) Обчислимо довжину висоти AD за формулою, де Ax0 B y0 C 0 -

рівняння прямої BC.

d Ax0 B y0 C A2 B2

AD

5) Обчислимо координати точки E- середини відрізку AC:

xE xA xC

2

yE yA yC

2

ВЕ:

6) Визначимо точку перетину M висоти AD і медіани BE, розв’язуючи систему, складену з рівнянь цих прямих:

30