Розрах

2) Обчислимо проекцію вектору AB на вектор AC:

3) Для знаходження площі трикутника ABC скористуємося формулами:

Знайдемо тепер модуль векторного добутку:

AB AC 13 2 9 2 5 2 16,583

4) Відомо, що об’єм піраміди дорівнює шостій частині об’єму паралелепіпеда

2 5 1 1 3 1 2 4 4 5 3 1 12 10 3 32 15 60

11

Змістовий модуль 2

Аналітична геометрія на площині та в просторі

Тема 3. Аналітична геометрія на площині.

Завдання 3.

Задано координати вершин трикутника ABC:

A (1;1), B (1;6), C (5;3).

Знайти:

1)довжину сторони BC;

2)рівняння прямої BC;

3)рівняння висоти AD на сторону BC;

4)довжину висоти AD;

5)рівняння медіани BE;

6)точку перетину M висоти AD і медіани BE;

7)кут між прямими AD і BE;

Розв’язання:

1) Обчислимо довжину сторони BC за формулою:

d x2 x1 2 y2 y1 2 , де x1, y1 координати точки В,

x2 , y2 координати точки С.

d 5 1 2 3 6 2 42 3 2 5

2)Запишемо рівняння прямої BC за формулою:

xx1 y y1 :

12

x 1 y 6

4 3

3 x 1 4 y 6

S 4; 3

BC :3x 4y 27 0

3) AD BC AD S.

Запишемо рівняння висоти ADза формулою:

перпендикулярного до AD, тобто ~ ~

3

4;

S

B

;

A

4 x 1 3 y 1 0

4 x 4 3 y 3 0

AD: 4x 3y 1 0

4) Обчислимо довжину висоти ADза формулою, де Ax0 B y0 C 0 -

рівняння прямої BC.

d Ax0 B y0 C A2 B2

5) Обчислимо координати точки E- середини відрізку AC:

xE xA xC 1 5 3 2 2

yE yA yC 1 3 2 2 2

13

Тобто, точка E 3;2 .

Запишемо рівняння медіани BE за формулою:

x x1 y y1 :

ВЕ: 2x y 8 0

6) Визначимо точку перетину M висоти AD і медіани BE, розв’язуючи

систему, складену з рівнянь цих прямих:

arccos 11 0,18 55

Тема 4. Аналітична геометрія в просторі.

Завдання 4.

Задано координати точок А, В, С.

14

Знайти:

1)рівняння площини P1, що проходить через точку А перпендикулярно вектору BC ;

2)відстань від точки С до цієї площини;

3)рівняння площини P2 , що проходить через точки А, В, С;

4)рівняння прямої L1, що проходить через точки В і С;

5)точку перетину прямої L1 із площиною P1;

6)кут між площиною P1 і прямою L2 , що проходить через точки А і С (у

градусах).

Розв´язання:

1) Знайдемо координати вектора BC , який є нормаллю до площини P1:

N BC (xC xB ; yC yB ;zC zB ) (2 ( 3); 1 3; 3 1) (5; 4;2)

Скористаємося рівнянням площини, яка проходить через задану точку

P1 :5x 4y 2z 9 0

2) Для обчислення відстані від точки С до площини P1 скористаємося формулою:

Значить,

15

через три задані точки A(x1;y1;z1),В(x2 ;y2;z2 ),С(x3;y3;z3 ).

Підставимо координати точок до формули:

Шукаємо визначник по теоремі розкладання за першим рядком:

точки B(x1; y1;z1) і C(x2 ; y2 ;z2 ).

5) Розв’язок системи, складеної з рівнянь прямої L1 і площини P1:

і буде координатами шуканої точки перетину. Для зручності розв’язання системи запишемо рівняння прямої у параметричній формі:

16

x 5t 3

y 4t 3z 2t 1

і підставимо в рівняння площини:

6) Кут між площиною та прямою:

17

Міністерство аграрної політики України

Вінницький національний аграрний університет

Навчально – науковий інститут аграрної економіки Факультет обліку та аудиту

Кафедра математики, інформатики та математичних методів в економіці

Розрахункова робота з вищої математики

студента (-ки) __________ групи

_____________________________

Вінниця 2011

18

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАВДАНЬ

Модуль 1

Змістовий модуль 1

Лінійна та векторна алгебра

Тема 1. Матриці. Дії над матрицями. Системи рівнянь та методи

їх розв’язання.

Письмово дати відповіді на запитання та продовжити вирази:

1.Що називається визначником другого порядку?______________________

________________________________________________________________

2.Що називається визначником третього порядку?_____________________

________________________________________________________________

3.Мінором k-го порядку називається ________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

4.Алгебраїчним доповненням називається____________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

5.Записати теорему про розклад визначника за елементами рядка

(стовпця)________________________________________________________

6.Що називається матрицею?_______________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

7.Що називається оберненою матрицею?____________________________

________________________________________________________________

8.Для того, щоб помножити матрицю А на матрицю В потрібно, щоб виконувалась умова:_______________________________________________

__________________________________________________________________________________

19

9. Матриця невироджена, якщо______________________________________

Завдання 1.

Виконуємо множення матриць за правилом «рядок на стовпчик»:

Знайдемо всі алгебраїчні доповнення.

20