Практикум_по_математическому_анализу

Содержание

1. Функция. Способы задания. Классификация функций.

Числовая оследовательность…………………………………….…….. 4

2.Предел функции в точкеи на бесконечности...…..………………… 9

3.Непрерывность функции. Классификация точек разрыва…….........14

4.Производная функции в точке. Правила дифференцирования……..22

5.Дифференцирование сложной, обратной, показательно-

степенной функции………………………………………………………26

6. Неявная функция, ее дифференцирование. Дифференциал функции,

его свойства……………………………………………………………….31

7. Исследование функции методами дифференциального Исчисления одной действительной переменной………………………37

8.Исследование функции и построение схемы ее графика……….…..45

9.Задачи на экстремум…………………………………………………..50

10.Функция двух переменных, ее дифференцирование ….…………. 53

11.Дифференцирование функции двух переменных, дифференциал функции двух переменных………………………………………………58

12.Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных...61

13.Производная функции по направлению……………………………65

14.Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования… 71

15.Определенный интеграл. Интегрирование непрерывных

Функций………………………………………………………..…............83 16. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур ……………………………………….……………….….89

17.Длина дуги плоской кривой, объем тела вращения………………..93

18.Несобственные интегралы…………………………………………...97

19.Двойной интеграл, его вычисление…………………………………99

20.Методы вычисления двойного интеграла………………………….103

21.Геометрические приложения двойного интеграла………………..106

22.Криволинейные интегралы второго рода………………………... 110

23.Криволинейные интегралы первого рода. Связь между различными интегралами ………………………………………………116

24.Положительные числовые ряды, признаки их сходимости...…....122

25.Произвольные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды, их свойства и приложения……………...127

26.Степенные ряды, область сходимости…………..………………....131

27.Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье…………………..140 Рекомендуемая литература……………………………………………..148

Функция. Способы задания. Классификация функций.

Числовая последовательность

1.Способы задания функций. График функции.

2.Классификация функций.

3.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Теоретическая часть:

Функция одной переменной: основные понятия

Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а≤х≤b, называется отрезком и обозначается [ a;b ].

Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству a<х<b, называется интервалом и обозначается (а; b).

Интервал ( x - ε ; x +ε ) , где ε > 0 называется ε - окрестностью точки х.

Тогда ε - окрестностью + ∞ называется (ε ;+ ∞ );ε - окрестностью - ∞ называется (-∞; - ε ); ε - окрестностью ∞ называется (-∞; - ε )U(ε ;+ ∞).

Величины в математике делятся на постоянные и переменные. Постоянной называется величина, которая в условиях данного

эксперимента сохраняет одно и то же значение.

Переменной называется величина, которая в условиях данного эксперимента может принимать различные значения.

Рассмотрим две переменные величины х и у и пусть у зависит от х. Зависимость у от х, при которой каждому значению переменной х

соответствует единственное, вполне определенное, значение переменной у,

называется функциональной.

Пусть даны два множества Х и У.

Определение: Функцией, отображающей Х в Y, называется соответствие, при котором каждому элементу хєХ соответствует единственный элемент уєY. Обозначается это так: . Множество Х

называется областью определения функции, множество Y – областью значений функций. Значение функции в точке х обозначается f(x).

Способы задания функции бывают следующие:

1)аналитический способ;

2)графическое задание;

3)табличный способ;

4)перечисление множества пар вида (x; f (x)) и так далее.

Функция определяет однозначное соответствие в одну сторону, но не требуется, чтобы обратное соответствие в одну сторону, но не требуется, чтобы обратное соответствие тоже было однозначным. Однако, если

Если функция усмотрена из конкретной практической задачи, то ее область определения может быть заранее не дана. И тогда ее установить из данной задачи.

Если функция задана формулой и практическое происхождение формулы неясно, а также область определения функции не указана, то условились под областью определения этой функции понимать область определения соответствующего аналитического выражения.

Классификация функций

Определение: Функция f называется неубывающей (невозрастающей)

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными. Если в предыдущем определении между значениями функции будет стоять знак строгого неравенства, то функция будет называться возрастающей и убывающей (функция тогда называется строго монотонной). Определение: Функция f называется ограниченной на множестве Х, если множество ее значений f(x), принимаемых на данном множестве Х,

является ограниченным.

Определение: Функция f называется четной (нечетной), если выполняется:

1) Область определения симметрична относительно точки х=0, т.е. x :

x D f − x D f .

2) x D f : f (−x) = f (x) (f (−x) = − f (x))

График четной функции симметричен относительно оси ОY (осевая симметрия). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

Определение: Функция f называется периодической с периодом T>0, если:

1)x : x D f x ± T D f

2)x : x D f f (x + T ) = f (x).

Числовая последовательность. Предел числовой

последовательности Определение: Числовой последовательностью называется функция,

заданная на множестве всех натуральных числе: f (1), f (2), f (3), ..., f (n), f (n +1), ...

или

x1 , x2 , x3 , ..., xn , xn+1 , ... = (xn )

xn - общий член последовательности.

Способы задания последовательности могут быть такие же, как и у других функций:

7. Вычислить пределы числовых последовательностей

8. Вычислить пределы числовых последовательностей

9. Вычислить пределы числовых последовательностей

Задания для самосоятельного решения:

Предел функции в точкеи на бесконечности

1. Техника вычисления предела функции в точке

2.Техника вычисления предела функции на бесконечности.

Теоретическая часть:

Рассмотрим функцию y=f(x).Придавая переменной х различные значения, получим х1; х2; х3;...хn...- последовательность значений аргумента. Ей соответствует: f(x1);f(x2); f(х3); …; f(xn);… - последовательность соответствующих значений функции.

Если из того, что любая последовательность значений аргумента, взятая из области определения функции и ε -окрестности точки х0 (хn ≠ х0) сходится к х0 (x → х0) следует, что последовательность соответствующих значений функции

окрестности точки х0.

Например: функция у=х-4 при х→ 4 является бесконечно малой.

бесконечно большой в окрестности точких0.

Замечание. Данные выше определения справедливы и при x → ±∞ . Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1) алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых функций в окрестности некоторой точки есть функция

бесконечно малая в окрестности той же точки;

2)произведение любого конечного числа бесконечно малых функций в окрестности некоторой точки есть функция, бесконечно малая в окрестности той же точки;

3)произведение бесконечно малой функции в окрестности некоторой точки на функцию ограниченную, есть функция, бесконечно малая в окрестности той же точки.

Бесконечно малые функции в окрестности некоторой точки х0 α (х) и

β (х) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если

lim α(x) = c ≠ 0 . x → x0 β ( x )

Если с=0 то α (х) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости по сравнению с β (х). Бесконечно малые функции α (х) и β (х) называются эквивалентными в окрестности точки х0,

Предел бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией т.е.

При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими основными теоремами о пределах:

если lim f ( x ) и lim q( x ) существуют и конечны, то

x→x0 x→x0