- •Глава II. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы и основные линейные операции над ними
- •1. Векторные величины
- •2. Умножение вектора на скаляр
- •3. Единичный вектор
- •4. Сложение векторов
- •5. Вычитание векторов
- •§2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат
- •1. Линейная зависимость и независимость векторов
- •2. Базисы на плоскости и в пространстве
- •3. Прямоугольная декартова система координат
- •§3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты вектора.
- •1. Проекция вектора на ось.
- •2. Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки.
- •§ 4 Теоремы о проекциях вектора.
- •§ 5. Скалярное произведение и его свойства
- •1. Определение скалярного произведения
- •2. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов
- •3. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
- •В силу свойства 4 получим
- •4. Угол между двумя векторами
- •§ 6. Векторное произведение и его свойства
- •1. Определение векторного произведения
- •2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов
- •3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •4. Механический смысл векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение трёх векторов
- •2. Свойства смешанного произведения
- •§ 8. Двойное векторное произведение
Глава II. Векторная алгебра
Векторная алгебра имеет широкое применение в различных разделах физики, математики, механики и т.п.. В курсе средней школы вектор определяется как некоторое преобразование пространства. Однако для прикладных целей удобнее использовать другое, традиционное определение вектора и действий над векторами, на которых мы и остановимся дальше. Это не означает, однако, что сведения, полученные в средней школе, не верны. Просто мы будем изучать векторную алгебру, исходя из несколько иных, более удобных для практических целей позиций.
§ 1. Векторы и основные линейные операции над ними
1. Векторные величины
В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название – «скалярная») – площадь, объём, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).
Итак, мы можем сказать, что вектор - это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка, и направлением, совпадающим с направлением луча( рис. 2.1.1).
При этом длину вектора обозначают ,или ещё. Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторыиназываютравными, если совпадают их длины и направления.
Векторы и называютпротивоположными, если их длины равны, а направления противоположны. Заметим, что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие векторы называютсвободными.
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (). Направление нулевого вектора не определено.
2. Умножение вектора на скаляр
Определение 1. Произведением вектора на числоназывается такой вектор, что, а направление его совпадает с направлением вектора, если>0, и ему противоположно, если<0; еслиили, то.
Ясно, что векторы и(если) можно поместить на одной прямой (рис. 2.1.2). Вектор, очевидно, является противоположным вектору.
Определение 2. Два ненулевых вектора и, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными.
3. Единичный вектор
Определение 3.Вектор, длина которого равна единице, называетсяединичным вектором, илиортом. Если задан некоторый вектор(), то всегда можно подобрать множитель, такой, чтобы после умножения на него длина векторабыла бы равна единице. Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять. Тогда, и при этомназывается единичным вектором, соответствующим вектору, или ортом вектора. Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора. Ясно также, что.
Точно так же единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси, называется ортом оси, или её единичным вектором.
4. Сложение векторов
Определение 4. Суммой векторов и, расположенных так, что начало векторасовпадает с концом вектора, называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора, а конец – с концом вектора. (правило треугольника – рис. 2.1.3, а).
Рис. 4 б)
.
А именно: суммой называют вектор , проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало векторасовпадает
с концом вектора , начало векторасовпадает с концом вектораи т.д. (правило многоугольника – рис. 2.1.3, б).
Замечание.Если на векторахипостроить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то суммабудет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторови (правило параллелограмма – рис. 2.1.3, в).
1) - поглощение нулевого вектора
2) - перестановочное, или коммутативное
3) - сочетательное, или ассоциативное.
Для всякого ненулевого вектора существует противоположный вектор -, такой, что.