dm_tema_1

Определение Функция называется инъективной, если

8x1; x2 2 A 8y 2 B : y = f (x1); y = f (x2) ) x1 = x2:

Определение Функция называется сюръективной, если

8y 2 B 9x 2 A : y = f (x):

Область значений сюръективной функции совпадает со множеством B. Сюръективная функция зада¼т отображение множества A íà

множество B.

Определение

Функция называется биективной, если она инъективная и сюръективная.

Биективная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие множеств A è B. Биективная функция обозначается

f : A $ B:

Для биективной функции существует обратная функция

f 1 : B $ A; y = f (x) , x = f 1(y):

Справедливы соотношения

f 1(f (x)) = x; f (f 1(y)) = y:

Определение

Композицией функций f : A ! B, g : B ! C называется функция f g : A ! C , которая строится как композиция соответствующих

отношений,

8x 2 A : (f g)(x) = g(f (x)):

Теорема

Пусть f : A $ B è g : B $ C биективные функции. Тогда f g также биективная функция и

(f g) 1 = g 1 f 1:

Доказательство.

Биективность композиции следует из биективности f è g. Покажем, что

8x 2 C : (f g) 1(x) = (g 1 f 1)(x):

Обозначим

y = (f g) 1(x):

Тогда

x =(f g)(y) = g(f (y));

(g 1 f 1)(x) =f 1(g 1(x)) = f 1(g 1(g(f (y)))) = y:

Пример

Пусть N множество натуральных чисел, M множество ч¼тных

натуральных чисел.

Рассмотрим функцию f : N ! N, заданную формулой y = 2x.

Эта функция является инъективной, но не является сюръективной. Функция f : N ! M, заданная этой же формулой, является

инъективной и сюръективной и, следовательно, является биективной функцией.