учебник(математика)

путем поворота на некоторый угол может быть приведено к уравнению, в ко- тором не будет содержаться слагаемое 2Bxy . При этом угол поворота опре- деляется из соотношения:

ctg2ϕ = A − C

2B

Без доказательства.

Лемма 2.: Любое уравнение линии второго порядка

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

путем параллельного переноса может быть приведено к уравнению, в кото- ром не будет содержаться слагаемые 2Dx и 2Ey .

Доказательство. Величины сдвига параллельного переноса по осям Ox и Oy определяется выделением полного квадрата из выражений Ax2 + 2Dx и Cy2 + 2Ey , приведенного с помощью поворота декартовой системы коорди- нат (т. е. без слагаемого 2Bxy ) уравнения линии второго порядка:

Лемма 3.: Любое уравнение линии второго порядка

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

путем параллельного переноса и поворота может быть приведено к одному из девяти канонических уравнений:

1)x2 + y2 = 1 - эллипс, a2 b2

2)x2 − y2 = 1 - гипербола, a2 b2

3)y2 = 2px - парабола,

4)x2 + y2 = −1 - мнимый эллипс, a2 b2

53

5)x2 + y2 = 0 - пара мнимых пересекающихся прямых, a2 b2

6)x2 − y2 = 0 - пара действительных пересекающихся прямых, a2 b2

7)x2 − a2 = 0 - пара действительных параллельных прямых,

8)x2 + a2 = 0 - пара мнимых параллельных прямых,

9)x2 = 0 - пара совпадающих действительных прямых.

Пример 1. Привести к каноническому виду кривую x2 + 2y2 +2x - 4y-1=0

Решение. Выделим полные квадраты по переменным x и y :

(x2 + 2x + 1) - 1 + 2(y2 - 2y + 1) - 2 - 1 = 0.

Откуда

Введем новую систему координат с началом в точке O1(-1; 1), получаю- щуюся из старой параллельным переносом. В новой системе координат эл-

эллипса с полуосями 2 и 2 (рис. 5.3.).

Рис. 5.3.

Пример 2. Привести к каноническому виду кривую xy = 2 .

Решение. Так как A = C = 0 , то ctg 2ϕ = 0, откуда ϕ = 45o . Тогда фор- мулы перехода имеют вид:

54

Подставляя в данное по условию уравнение, имеем:

асимптотами которой являются оси OX и OY (рис. 5.4.).

Рис. 5.4.

Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение

3x2 + 4xy + 3y 2 + 8x + 12y + 1 = 0 .

Решение.

Избавляемся от слагаемого со смешанным произведением переменных. Для этого вычисляем угол поворота:

ctg2ϕ = 3 − 3 = 0, 2ϕ = 90° , ϕ = 45° .

4

Следовательно, формулы для замены координат будут выглядеть следую- щим образом:

Подставляем в уравнение вместо x и y, и приводим подобные слагаемые:

55

4 2x′ − 4 2y′ + 6 2x′ + 6 2y′ + 1 = 0 5x′2 + y′2 + 10 2x′ + 2 2y′ + 1 = 0

Теперь необходимо избавиться от линейных слагаемых, для этого выде- ляем полный квадрат:

5x′2 + 10 2x′ = 5(x′2 + 2 2x′ + 2 − 2) = 5(x′ + 2)2 − 10 y′2 + 2 2y′ = y′2 + 2 2y′ + 2 − 2 = (y′ + 2)2 − 2

И, следовательно, имеем:

5(x′ + 2)2 − 10 + (y′ + 2)2 − 2 + 1 = 0

Из этого уравнения получаем величины сдвигов для параллельного перено- са.

Окончательно получаем:

5x′′2 + y′′2 = 11

Приводя к форме канонического уравнения, имеем:

6. Поверхности второго порядка

Определение: Поверхностью второго порядка называют поверхность,

определяемую уравнением второй степени относительно текущих декарто- вых координат х и у, то есть

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dxz + Ez2 + 2Fyz + Kx + Ly + Mz + N = 0 ,

где хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D, E, F ≠ 0.

Например, сфера (x-a)2+ +(y-b)2+(z-c)2=R2, является поверхностью второго порядка.

56

6.1. Эллипсоид.

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

Отметим свойства эллипсоида, вытекающие из определения:

1. Поверхность симметрична относительно координатных плоскостей и цен-

тра О ― центр эллипсоида.

2

2. Из уравнения получаем, что х2 ≤ 1 х ≤ а . Аналогично у ≤ b и z ≤ c.

а

Таким образом эллипсоид расположен внутри параллелепипеда с центром в точке О и сторонами, равными 2а, 2b, 2c. Числа а, b, c называются по-

луосями эллипсоида.

3.Точки пересечения с осями:

х= у = 0 z = ±c. Аналогично x = ±a и y = ±b . Тогда точки

A1(−a; 0; 0), A2 (a; 0; 0), B1(0; − b; 0), B2 (0; b; 0), C1(0; 0; − c), и C2 (0; 0, c) ― вершины эллипсоида.

Для того, чтобы построить эллипсоид, применим метод параллельных сечений.

Аналогично получим, что сечения эллипсоида плоскостями, параллель- ными плоскостям Оуz и Охz тоже являются эллипсами (рис. 6.1.).

57

Влюбой плоскости, параллельной координатным плоскостям, мы имеем

всечениях эллипсы, отсюда и название данной поверхности.

Рис.6.1.

Замечания.

1.Если a = b = c , то уравнение эллипсоида примет вид x2 + y2 + z2 = a2 .

Это сфера.

центром в точке O′(x0; y0; z0 ).

6.2. Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность,

каноническое уравнение которой имеет вид

Отметим свойства однополостного гиперболоида, вытекающие из опре- деления:

1)т.О ― центр симметрии поверхности;

2)поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Для того, чтобы построить однополостной гиперболоид, применим ме-

тод параллельных сечений.

В сечениях гиперболоида плоскостью Оуz ( х = 0) имеем гиперболу

=х 0

В сечениях гиперболоида плоскостью Охz ( у = 0 ) имеем гиперболу

58

При увеличении h полуоси эллипса увеличиваются (рис.6.2.).

Рис.6.2.

нополостные гиперболоиды, направленные вдоль осей Оу и Ох.

2. Если центр гиперболоида находится в точке O′(x0; y0; z0 ), то

да.

59

6.3. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность,

каноническое уравнение которой имеет вид

x2 + y2 − z2 = −1. a2 b2 c2

Отметим свойства однополостного гиперболоида, вытекающие из опре- деления:

1)т.О ― центр симметрии поверхности;

2)поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Для того, чтобы построить двуполостной гиперболоид, применим метод параллельных сечений.

В сечениях гиперболоида плоскостью Оуz ( х = 0) имеем гиперболу

При увеличении h полуоси эллипса увеличиваются (рис.6.3.).

60