6.4 Приложение производных к исследованию функций

Определение. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке , если она определена в точке и некоторой ее окрестности , и значение функции в точке больше (меньше), чем ее значение во всех соседних точках:

.

Минимум и максимум функции называются точками экстремума.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на множестве , если её график находится ниже (выше) любой касательной.			Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз
	Исследование по первой производной Функция убывает. Функция возрастает . . При переходе через точку минимума меняет знак с «–» на «+» . При переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «–» .
Исследование по второй производной . функция выпукла вверх, – выпукла вниз
– точка перегиба		Если вторая производная существует, то в точке максимума , в точке минимума . В точке перегиба .
План исследования функции и построение её графика
Область определения. Чётность: нечётность: иначе – функция общего вида. Асимптоты: 1) вертикальные асимптоты вида в точках разрыва 2-го рода; 2) наклонная асимптота ; 3) горизонтальная асимптота . Точки пересечения с осями: с . Интервалы монотонности и точки экстремума (по знаку первой производной ). Интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба (по знаку второй производной ). Построение графика.
Наибольшее M и наименьшее m значения непрерывной функции, заданной на отрезке [a;b]
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, заданной на отрезке , находятся либо в концах отрезка, либо внутри отрезка в точках экстремума.

6.5 Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Уравнения касательной и нормали – формулы (6.2) и (6.3).

. .

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

Пример 2. Найти вторую производную функции и вычислить её в точке .

,

.

Пример 3. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Проведём полное исследование функции.

1. Область определения .

2. . В этом случае говорят, что функция общего вида.

3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва на наличие в ней вертикальной асимптоты. Для этого найдём пределы функции слева и справа. Если хотя бы один предел будет равен бесконечности, то в точке будет проходить вертикальная асимптота.

Предел слева: , Предел справа: .

Прямая – вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота :

, .

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями.

С осью , т.е. точки .

С осью , т.е. точка .

5. Интервалы монотонности. Найдём производную и точки, в которых она равна нули или не существует.

,

, .

6. Интервалы выпуклости вверх (вниз).

.

таких точек нет; .

Найденные точки разбивают всю числовую ось на четыре интервала. Определим знаки первой и второй производной и поведение функции в каждом интервале.

x		1		2		3
y’	–	0	+		+	0	–
y’’	+	+	+		–	–	–
y		–2 min				–6 max

В точке функция достигает минимума, в точке – максимума:

,.

Для построения графика отмечаем точки пересечения с осями координат, точки экстремума и пунктирными линиями наносим асимптоты. Начинаем построение от вертикальной асимптоты. При слева предел функции равен , а при график функции приближается к наклонной асимптоте . Справа от вертикальной асимптоты , а при график функции приближается к наклонной асимптоте.

Пример 4. Дана функция . Найти: 1) экстремум функции;

2) наибольшее M и наименьшее m значения функции на отрезке [-1, 4].

Решение.1) . Находим точки, в которых производная равна нулю:

На числовой оси отмечаем точки и . Находим знаки производной в полученных интервалах и указываем соответствующее поведение функции:

В точке функция достигает максимума, в точке – минимума:

. .

2) Вначале нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Это и . Но точка , поэтому дальше её не рассматриваем. Затем необходимо вычислить значение функции в концах отрезка и в точке , т.к. она принадлежит отрезку . После этого из полученных значений нужно выбрать самое большое M и самое маленькое m значения.

Таким образом, , .

Пример 5. Найти производные функций.

1) .

2) производная суммы (разности) степенных функций:

.

3) производная произведения: .

4) производная частного:

Пример 6. Выяснить, в какой точке кривой касательная параллельна прямой . Найти уравнение касательной в этой точке.

Решение. Угловой коэффициент прямой равен угловому коэффициенту касательной, так как они параллельны: . Тогда , . В точке касательная к кривой параллельна прямой , её уравнение имеет вид или

Пример 7. Найти точку на кривой , в которой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Написать уравнение этой касательной.

Решение. Угловой коэффициент касательной равен производной рассматриваемой функции, поэтому , , . Тогда в точке рассматриваемой кривой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Её уравнение , или .

Пример 8. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела в момент времени .

Решение. Скорость тела равна производной пути по времени, ускорение – производная скорости: , .

Пример 9. Вычислить приращение длины стороны куба, если известно, что его объём увеличился от 64 до 64,3 м³.

Решение. Если – объём куба, то его сторона . По условию задачи , . Тогда приращение стороны куба м.

Пример 10. Найти асимптоты и построить график функции .

1) область определения D=(-;0)  (0;+ ). Вертикальная асимптота в точке разрыва х=0:

,

следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота:

Т.о., прямая у = х + 2 – наклонная асимптота.

Построим график функции:

Пример 11. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Область определения D=(-;-3)  (-3;3)  (3;+ ). Вертикальные асимптоты в точках разрыва.

Прямые х = 3 и х = -3 – вертикальные асимптоты кривой.

Степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому наклонной асимптоты нет. Найдем горизонтальную:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример 12. Найти асимптоты и построить график функции .

1) D=(-; –2)  (–2;+ ).

Прямая х = –2 – вертикальная асимптота кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Пример 13. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Область определения D= (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). х = 1, х = –1 – точки разрыва.

2) Асимптоты. В точках разрыва вертикальные асимптоты.

Прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Наклонная асимптота.

y = x – наклонная асимптота.

3) Четность – нечетность. – нечётная функция. Значит, график симметричен относительно начала координат.

4) Точки пересечения с осями. С осью Ox: y=0, . С осью Oy та же точка.

5) Интервалы монотонности и точки экстремума. Найдем производную функции

,

6) Интервалы выпуклости вверх – вниз, точки перегиба. Найдем вторую производную функции

.

Заполним таблицу:

x						0		1
y’	+	0	–		–	0	–		–	0	+
y’’	–	–	–		–	0	–		–	–	–
y		max				0 Точка перегиба				min	

Пример 14. Исследовать функцию и построить ее график.

1). D= ( –; +).

2).  Функция общего вида.

3). Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1.

4). Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

у = –х – наклонная асимптота.

5). Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. .

6) Выпуклость вверх-вниз, точки перегиба.

. .

x		0	(0;1)	1	(1;+)
y’	–	0	–		–
y’’	+	0	–		+
y		1 Точка перегиба		0 Точка перегиба	

Пример 15. Исследовать функцию и построить ее график.

1. D= ( –; 0)  (0;+)..

2.  функция общего вида.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. х = 0 точка разрыва,  прямая х = 0 вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота в виде: y = kx + b. ,

Наклонная асимптота у = х.

5. Интервалы возрастания-убывания, точки экстремума функции.

, .

6. Для определения характера выпуклости функции находим вторую производную.

x		0	(0;2)	2	(2;+)
y’	+		–	0	+
y’’	+		+	+	+
y				3 min	

Пример 16. Провести исследование функции и построить её график.

1. Область определения функции .

2. Чётность – нечётность:

и , значит, функция общего вида.

3. Точки пересечения графика с осями координат:

С осью .

Корни многочлена являются делителями его свободного члена. Число 22 делится нацело на . Подставим эти числа поочерёдно в многочлен:

не является корнем.

не является корнем.

является корнем. Поэтому многочлен делится нацело на и его можно разложить на множители вида:

,

Получаем точки пересечения с осью : , .

С осью , т.е. точка .

4. Точки экстремума и интервалы монотонности.

Найдём производную и точки, в которых производная равна нулю:

На числовой оси отмечаем точки и . Найдём знаки производной в полученных интервалах и укажем соответствующее поведение функции:

В интервалах и функция возрастает, в интервале функция убывает. В точке функция достигает максимума, а в точке – минимума:

,.

5. Интервалы выпуклости вверх-вниз и точки перегиба.

Найдём вторую производную функции и точку, в которой производная равна нулю: . Отметим эту точку на числовой оси, найдём знаки в полученных интервалах и укажем соответствующее поведение функции:

В интервале функция выпукла вверх, в интервале – выпукла вниз, точка является точкой перегиба: . У данной функции асимптот нет. Проведённых исследований достаточно для построения графика. Отмечаем в системе координат точки пересечения с осями, точки экстремума и точку перегиба и соединяем их плавной линией.

Вопросы для повторения

1. Приращение функции в точке равно . Чему равна производная ?

2. Чему равна производная функции в точке , если касательная к графику функции в точке : а) параллельна оси ; б) составляет с осью угол ; в) составляет с осью Oy угол 330⁰?

3. Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x=5?

4. . Какие асимптоты есть у графика функции ?

5. Назовите основные правила дифференцирования.

6. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.

7. В каких случаях приращение функции можно заменить её дифференциалом? Где это используется?

8. Как связан знак производной с возрастанием и убыванием функции?

9. Назовите необходимое и достаточное условия экстремума.

10. Чем отличается максимум от наибольшего значения функции, а минимум от её наименьшего значения?

11. Что такое точка перегиба графика функции?

12. В каких случаях при вычислении предела функции можно применить правило Лопиталя?

14