Глава 3. Элементы математической статистики §7. Статистическое распределение выборки Задачи математической статистики

Математическая статистика разрабатывает методы планирования и анализы эксперимента.

К типичным задачам математической статистики относятся:

• задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным;

• задача нахождения неизвестных параметров распределения случайной величины;

• задача проверки правдоподобия выдвигаемых по статистическим данным гипотез о законе распределения случайной величины, о её параметрах.

Генеральная и выборочная совокупности

Определение 1. Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Определение 2. Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.

Определение 3. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов этой совокупности.

Определение 4. Выборка называется представительной (или репрезентативной), если она осуществлена случайным образом, когда все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку.

Определение 5. Статистическим рядом, соответствующим полученной случайной выборке, называется набор значений (вариант) качественного или количественного признака объектов выборки, которые располагают в порядке возрастания.

Определение 6. Интервальным статистическим рядом, соответствующим полученной случайной выборке, называется упорядоченная последовательность интервалов [а_i; а_i+1), i = 1,2,… с указанием количества m_i значений x_i , попавших в них (табл. 7.1)

Таблица 7.1

Интервальный статистический ряд

№	[аi ; аi+1)	mi
1	[а1 ; а2)	m1
2	[а2 ; а3)	m2
…	… … …	…
k	[аk ; аk+1]	mk

Причем, если n – объем выборки, то n = m₁ + m₂ + … + m_k . Интервалы [а₁ ; а₂), [а₂ ; а₃), …, [а_k ; а_k+1] имеют не обязательно равные длины. Число k не должно быть большим, но и не малым. Обычно берут 7≤ k ≤ 20.

Замечание 1. Иногда для упрощения исследования интервальный статистический ряд заменяют дискретным рядом, где в качестве значений исследуемого признака берут середины или одну из границ соответствующих интервалов.

Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Определение 7. Статистической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называется функция ), задающая для каждого значения статистического ряда относительную частоту события X < x,

т.е.),

где n – объем выборки; – число выборочных значений, меньших x.

Свойства функции (х)

1. 0 ≤) ≤1;

2. ) – неубывающая функция;

3. ) = 0, )=1.

Замечание 2. В дальнейшем интегральную функцию распределения ) генеральной совокупностиХ будем называть теоретической, а функцию ) –эмпирической функцией распределения. Отличие между ними состоит в том, что) – вероятность событияX < x, а ) – его суммарная относительная частота вn опытах. Однако функции ) и) обладают одинаковыми свойствами.

Определение 8. Полигоном (или многоугольником) статистического распределения называется ломаная линия на плоскости Oxy, соединяющая точки (x_i ; m_i / n), i = 1, … k,

где n – объем выборки; x_i – значения статистического ряда; m_i ‒ число значений x_i в этом ряде (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Определение 9. Гистограммой интервального статистического ряда называется ступенчатая фигура, построенная по правилу: на плоскости Oxy на отрезках, изображающих интервалы статистического ряда, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными относительным частотам соответствующих интервалов (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Замечание 3. Полигон и гистограмма являются графическими приближениями дифференциальной функции распределения исследуемой случайной величины.