§6. Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.

График функции f(x) изображен на рис. 6.1.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:

Ее график изображен на рис. 6.2.

Числовые характеристики случайной величины, равномерно распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:

M(X) =,D(X) = ,.

Задача 6.1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:

а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;

б) функцию распределения F(x) и построить ее график;

в) M(X), D(X), σ(Х).

Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а = 3, b = 7, находим:

1. 

Построим ее график (рис. 6.3):

Рис. 6.3

б)

Построим ее график (рис. 6.4):

Рис. 6.4

в) M(X) =D(X) =

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение 2. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ > 0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

Кривая распределения f(х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис. 6.5 и рис. 6.6.

Рис. 6.5 Рис. 6.6

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

M(X) =,D(X)= ,.

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a < Х < b)=, если (a;b)

Задача 6.2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение. По условию математическое ожидание M(X) = = 100, откудаλ = 1/100 = 0,01.

Следовательно,

1. 

б)

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

Р(X >120) = 1F(120) =1(1е^1,2) = е^1,2 ≈ 0,3.

Нормальный закон распределения

Определение 3. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

,

где m = M(X), σ²= D(X), σ > 0.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m, имеет максимум в точке х = m, равный .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

,

Ф(x)– функция Лапласа.

Замечание. Функция Ф(х) является нечетной (Ф(х) = Ф(х)), кроме того, при х > 5 можно считать Ф(х) ≈ 1/2.

Таблица значений функции Ф(х) приведена в приложении (табл. П 2.2).

График функции распределения F(x) изображен на рис. 6.8.

Рис. 6.8

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле:

Р (a < Х < b) =.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математического ожидания меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

P(|X  m|.

В частности, при m=0 справедливо равенство:

P(|X|.