Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Моделирование Лабораторные работы.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Лабораторная работа14. Интерполирование функции многочленом Ньютона.

Пример:

Даны значения функции f(x)= на отрезке [1; 1,2].

а) Интерполировать функцию многочленом Ньютона (первая интерполяционная формула) и найти значение функции в точке x=1,13. Дать оценку точности интерполяции.

б) Интерполировать функцию многочленом Ньютона (вторая интерполяционная формула) и найти значение функции в точке x=1,13. Дать оценку точности интерполяции.

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	2,7183	2,7732	2,8292	2,8864	2,9447	3,0042	3,0649	3,1268	3,1899	3,2544	3,3201

Решение:

а) Шаг h=x_i-x_i-1=0,02

Сначала вычислим ∆y_i по формуле: ∆y_i =y_i₊₁ –y_i .

Затем ∆²y_i по формуле: ∆²y_i =∆y_i₊₁– ∆y_i

_…

∆^jy_i =∆^j^-1y_i₊₁– ∆^j^-1y_i

Далее для всех i вычислим значения i!hⁱ и по формуле найдём коэффициенты интерполяционного многочлена Ньютона.

Подставим в данную формулу точку x=0,98 и коэффициенты a_i, найденные ранее. Получим приближённое значение функции f(x)= _{в точке}_x_=1,13.

_{Все вычисления
приведены в таблице.}

i	x_i	y_i	∆y₀	∆²y₀	∆³y₀	∆⁴y₀	∆⁵y₀	∆⁶y₀	∆⁷y₀	∆⁸y₀	∆⁹y₀	∆¹⁰y₀	i!hⁱ	a_i	x-x_i
0	1	2,7183	0,0549	0,0011	1E-04	-0,0002	0,0004	-0,0007	0,0011	-0,0016	0,0024	-0,0045	1	2,7183	0,13
1	1,02	2,7732	0,056	0,0012	-1E-04	0,0002	-0,0003	0,0004	-0,0005	0,0008	-0,0021	-	0,02	2,745	0,11
2	1,04	2,8292	0,0572	0,0011	1E-04	-1E-04	1E-04	-1E-04	0,0003	-0,0013	-	-	0,0008	1,375	0,09
3	1,06	2,8864	0,0583	0,0012	4,44E-16	-1,3E-15	3,55E-15	0,0002	-0,001	-	-	-	0,000048	2,0833	0,07
4	1,08	2,9447	0,0595	0,0012	-8,9E-16	2,22E-15	0,0002	-0,0008	-	-	-	-	3,84E-06	-52,0833	0,05
5	1,1	3,0042	0,0607	0,0012	1,33E-15	0,0002	-0,0006	-	-	-	-	-	3,84E-07	1041,6667	0,03
6	1,12	3,0649	0,0619	0,0012	0,0002	-0,0004	-	-	-	-	-	-	4,61E-08	-15190,9722	0,01
7	1,14	3,1268	0,0631	0,0014	-0,0002	-	-	-	-	-	-	-	6,45E-09	170510,9127	-0,01
8	1,16	3,1899	0,0645	0,0012	-	-	-	-	-	-	-	-	1,03E-09	-1550099,21	-0,03
9	1,18	3,2544	0,0657	-	-	-	-	-	-	-	-	-	1,86E-10	12917493,39	-0,05
10	1,2	3,3201	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	3,72E-11	-121101500
	1,13													N(x)=	3,0957

Оценим погрешность интерполяции по формуле , где

_;.

Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.

а) Шаг h=x_i-x_i_-1=0,02

Сначала вычислим ∆y_i по формуле: ∆y_i =y_i₊₁ –y_i .

Затем ∆²y_i по формуле: ∆²y_i =∆y_i₊₁– ∆y_i

_…

∆^jy_i =∆^j^-1y_i₊₁– ∆^j^-1y_i

Подставим в данную формулу точку x=1,13 и коэффициенты a_i, найденные ранее. Получим приближённое значение функции f(x)= _{в точке}_x_=1,13.

_{Все вычисления
приведены в таблице.}

i	x_i	y_i	∆y₀	∆²y₀	∆³y₀	∆⁴y₀	∆⁵y₀	∆⁶y₀	∆⁷y₀	∆⁸y₀	∆⁹y₀	∆¹⁰y₀	i!hⁱ	a_i	x-x_i
0	1	2,7183	0,0549	0,0011	1E-04	-0,0002	0,0004	-0,0007	0,0011	-0,0016	0,0024	-0,005	1	3,3201
1	1,02	2,7732	0,056	0,0012	-1E-04	0,0002	-0,0003	0,0004	-0,0005	0,0008	-0,0021	-	0,02	3,285	0,11
2	1,04	2,8292	0,0572	0,0011	1E-04	-1E-04	1E-04	-1E-04	0,0003	-0,0013	-	-	0,0008	1,5	0,09
3	1,06	2,8864	0,0583	0,0012	4,44E-16	-1,3E-15	3,55E-15	0,0002	-0,001	-	-	-	0,000048	-4,166667	0,07
4	1,08	2,9447	0,0595	0,0012	-8,9E-16	2,22E-15	0,0002	-0,0008	-	-	-	-	3,84E-06	-104,1667	0,05
5	1,1	3,0042	0,0607	0,0012	1,33E-15	0,0002	-0,0006	-	-	-	-	-	3,84E-07	-1562,5	0,03
6	1,12	3,0649	0,0619	0,0012	0,0002	-0,0004	-	-	-	-	-	-	4,61E-08	-17361,11	0,01
7	1,14	3,1268	0,0631	0,0014	-0,0002	-	-	-	-	-	-	-	6,45E-09	-155009,9	-0,01
8	1,16	3,1899	0,0645	0,0012	-	-	-	-	-	-	-	-	1,03E-09	-1259456	-0,03
9	1,18	3,2544	0,0657	-	-	-	-	-	-	-	-	-	1,86E-10	-11302807	-0,05
10	1,2	3,3201	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	3,72E-11	-1,21E+08	-0,07
	1,13													N(x)=	3,0957

Оценим погрешность интерполяции по формуле , где

_;.

Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.

Задания:

Даны значения функции f(x) на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Ньютона (первая и вторая интерполяционные формулы) и найти значение функции в точке x=1,13. Дать оценку точности интерполяции.

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	0,3679	0,3606	0,3535	0,3465	0,3396	0,3329	0,3263	0,3198	0,3135	0,3073	0,3012

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
shx_i	1,1752	1,2063	1,2379	1,27	1,3025	1,3356	1,3693	1,4035	1,4382	1,4735	1,5095

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
chx_i	1,5431	1,5669	1,5913	1,6164	1,6421	1,6685	1,6956	1,7233	1,7517	1,7808	1,8107

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
sinx_i	0,8415	0,8521	0,8624	0,8724	0,8820	0,8912	0,9001	0,9086	0,9168	0,9246	0,9320

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
cosx_i	0,5403	0,5234	0,5062	0,4889	0,4713	0,4536	0,4357	0,4176	0,3993	0,3809	0,3624

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
lnx_i	0,0000	0,0198	0,0392	0,0583	0,0770	0,0953	0,1133	0,1310	0,1484	0,1655	0,1823

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
tgx_i	1,5574	1,6281	1,7036	1,7844	1,8712	1,9648	2,0660	2,1759	2,2958	2,4273	2,5722

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
ctgx_i	0,6421	0,6142	0,5870	0,5604	0,5344	0,5090	0,4840	0,4596	0,4356	0,4120	0,3888

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
log₂x_i	0,0000	0,0286	0,0566	0,0841	0,1110	0,1375	0,1635	0,1890	0,2141	0,2388	0,2630

x_i	1	1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	1	1,0066	1,0132	1,0196	1,0260	1,0323	1,0385	1,0446	1,0507	1,0567	1,0627

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019792.06 Кб1ММП.doc
#
19.09.2019201.37 Кб0МО и ВП.docx
#
21.08.2019770.19 Кб0Модел_Курсач_Поташ.docx
#
21.07.201987.55 Кб0Модели управления образовательным учреждением.doc
#
30.11.201839.88 Кб5Моделирование как метод научного познания.docx
#
13.02.20153.71 Mб82Моделирование Лабораторные работы.doc
#
13.02.20151.07 Mб42моделирование экосистем.pdf
#
11.03.201660.2 Кб4Модерн.docx
#
05.08.201919.76 Кб0модерн.docx
#
11.03.201695.23 Кб26модульное обучение.doc
#
13.02.201545.9 Кб9мое философское мироввозрение.docx