Лабораторная работа №3 «Метод половинного деления»
Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
1.
а) 
;
б) 
.
2.
а) 
;
б) 
.
3.
а) 
;
б) 
.
4.
а) 
;
б) 
.
5.
а) 
;
б) 
.
6.
а) 
;
б) 
.
7.
а) 
;
б) 
.
8.
а) 
;
б) 
.
9.
а) 
;
б) 
.
10.
а) 
;
б) 
.
11.
а) 
;
б) 
.
12.
а) 
;
б) 
.
13.
а) 
;
б) 
.
14.
а) 
;
б) 
.
15.
а) 
;
б) 
.
16.
а) 
;
б) 
.
17.
а) 
;
б) 
.
18.
а) 
;
б) 
.
19.
а) 
;
б) 
.
20.
а) 
;
б) 
.
21.
а) 
;
б) 
.
22.
а) 
;
б) 
.
23.
а) 
;
б) 
.
24.
а) 
;
б) 
.
25.
а) 
;
б) 
.
26.
а) 
;
б) 
.
27.
а) 
;
б) 
.
28.
а) 
;
б) 
.
29.
а) 
;
б) 
.
30.
а) 
;
б) 
.
Пример
1. Отделить корни
уравнения 
аналитически и уточнить меньший корень
уравнения методом половинного деления
с точностью до 
.
Решение.
а) Отделение корней.
Обозначим
.
Область определения функции 
.
Находим
производную 
.
Вычислим корни производной:
Составляем
таблицу знаков функции 
,
полагая 
равным: а) критическим значениям функции
(корням производной) или близким к ним;
б) граничным значениям (исходя из области
определения функции):
|
|
|
-2 |
0 |
|
|
|
- |
+ |
- |
+ |
Т.к. происходят три перемены знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Чтобы завершить операцию отделения корней, следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так чтобы их длина была не больше 1. Для этого составим новую таблицу знаков функции:
|
|
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
- |
- |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
Отсюда видно, что корни уравнения находятся в следующих промежутках:
.
б)
Уточняем меньший корень 
,
применяя метод половинного деления.
Все вычисления удобно производить,
используя следующую таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-3 |
-2 |
1 |
-2,5000 |
-15,6250 |
18,7500 |
0,1250 |
|
1 |
-3 |
-2,5000 |
0,5000 |
-2,7500 |
-20,7969 |
22,6875 |
-1,1094 |
|
2 |
-2,7500 |
-2,5000 |
0,2500 |
-2,6250 |
-18,0879 |
20,6719 |
-0,4160 |
|
3 |
-2,6250 |
-2,5000 |
0,1250 |
-2,5625 |
-16,8264 |
19,6992 |
-0,1272 |
|
4 |
-2,5625 |
-2,5000 |
0,0625 |
-2,5313 |
-16,2183 |
19,2217 |
0,0034 |
|
5 |
-2,5625 |
-2,5313 |
0,0312 |
-2,5469 |
-16,5210 |
19,4601 |
-0,0609 |
|
6 |
-2,5469 |
-2,5313 |
0,0156 |
-2,5391 |
-16,3697 |
19,3411 |
-0,0286 |
|
7 |
-2,5391 |
-2,5313 |
0,0078 |
-2,5352 |
-16,2943 |
19,2817 |
-0,0126 |
|
8 |
-2,5352 |
-2,5313 |
0,0039 |
-2,5333 |
-16,2568 |
19,2521 |
-0,0047 |
|
9 |
-2,5333 |
-2,5313 |
0,0020 |
-2,5323 |
-16,2385 |
19,2376 |
-0,0009 |
|
10 |
-2,5323 |
-2,5313 |
0,0010 |
|
|
|
|
Т.к.
,
то вычисления прекращаем.
Тогда
истинный корень уравнения 
.
Пример
2. Отделить графически
корень уравнения 
.
Уточнить корень методом половинного
деления с точностью до 
.
Решение.
Запишем
уравнение в виде 
.
Построим
графики функций
и
.
Из
графика видно, что 
.
Для удобства расчетов перейдем к десятичным логарифмам:
.
Далее вычисления производим в таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-0,800 |
-0,500 |
0,300 |
-0,650 |
0,423 |
-0,456 |
-0,360 |
|
1 |
-0,800 |
-0,650 |
0,150 |
-0,725 |
0,526 |
-0,561 |
-0,021 |
|
2 |
-0,800 |
-0,725 |
0,075 |
-0,763 |
0,581 |
-0,624 |
0,206 |
|
3 |
-0,763 |
-0,725 |
0,038 |
-0,744 |
0,554 |
-0,592 |
0,088 |
|
4 |
-0,744 |
-0,725 |
0,019 |
-0,735 |
0,539 |
-0,576 |
0,032 |
|
5 |
-0,735 |
-0,725 |
0,010 |
|
|
|
|
Т.к.
,
то вычисления прекращаем.
Тогда
истинный корень уравнения 
.