Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачник - Тензора

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

200.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Ответы	11

Ответы

1.Криволинейные координаты

1.1.x1 повеpхности цилиндpы, имеющие общую ось вдоль оси y3, x2 повеpхности плоскости, пpоходящие чеpез ось y3, x3 повеpхности плоскости паpаллельные плоскости y3 = 0.

1.4.x1 è x2 повеpхности паpаболические цилиндpы, x3 повеpхности

плоскости, паpаллельные плоскости y3 = 0.

1.5. a) e1 = (1, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0),

e3 = (0, 0, 1);

á)

e1 = (sin x2 cos x3, sin x2 sin x3,

cos x2)

e2 = (x1 cos x2 cos x3,

x1 cos x2 sin x3,

sin x2)

e3 = (−x1 sin x2 sin x3,

x1 sin x2 cos x3,

â)

e1 = (cos x2,

sin x2,

e2 = (−x1 sin x2,

x1 cos x2,

e3 = (0,

ã)

ei =

(

)

(i = 1, 2, 3.)

xi − a

xi − b

xi − c

ä)

e1 = (x2 cos x3,

x2 sin x3,

x1)

e2 = (x1 cos x3,

x1 sin x3,

−x2)

e3 = (−x1x2 sin x3,

x1x2 cos x3,

1.7. a) gmn = δmn,

gmn = δmn,

g = 1

á) g = (x1)4(sin x2)2,

(x1)2

gmn = 0

(x1)2(sin x2)2

gmn

(x1)−2

= 0

(x1)−2(sin x2)−2

12	Ответы

â) g = (x1)2,
	1	0	0
	0	0	1
gmn =	0	(x1)2	0

gmn =

(x1)−2 0

ã) gmn = g

= 0, (m ̸= n)

g11

g22 =

g33

− x

ãäå

x − x

(x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x2)

(xi − a)(xi − b)(xi − c)

ä) g = [(x1)2 + (x2)2]2(x1x2)2,

(x1)2 + (x2)2

gmn =

(x1)2 + (x2)2

(x1x2)2

1 8. a2 = 9, b2 = 5, cos θ = 4/3√

1.10. (25/3,

7/3,

−10/3).

1.13 ei ×ej =

√

eijkek ; eijk pàâíî 1 åñëè ijk четная пеpестановка

1,2,3; −1 , åñëè ijk нечетная пеpестановка; 0, если имеется по

кpайней меpе два оäинаковых индекса.

1.15. ei ×ej = (1/√g) eijkek;

eijk имеет те же составляющие, что

è eijk .

1.16. cr = √

erklakbl.

1.17. cr = (1/√

) erklakbl.

1.18.

V = √

arbsct = 1

ersta b

rst

√

r s

1.20. Пpоекции на

pавны соответственно 1, 2,

−

√

Ответы	13

2. Тензорная алгебра

2.1. δmstrst = δmr .
2.2. В обоих случаях \|asr\|. .
2.3 a) \|anm\|erst,		á) \|anm\|erst
2.4. a′ = a1 cos x′2 + a2 sin x′2 , a′					=	−	a1x′1 sin x′2
1			2			−
a3′ = a3.
2.5. λ′r = φ	∂x′r	; λr′ = φ	∂x′1	.
2.5. λ′r = φ	∂x1	; λr′ = φ		.
	∂x1		∂xr
2.6. a′11 = a11 − a12 − 2x′3a13			, a′12 = 2x′1a12 + 4x′1x′3a13 ,

+ a2x′1 cos x′2,

a′13 = 2x′1a31.

2.19.∂Φ

1 ∂Φ

∂Φ

1 ∂Φ

∂Φ

a) (

á) (

), ρ = x1, φ = x2, z =

∂ρ

ρ ∂φ

∂z

∂r

∂θ

r sin θ

∂φ

x3.

Aρρ

ρ−1Aρφ

Aρz

A¯rs

= ρ−1Aφρ

ρ−2Aφφ ρ−1Aφz

á)

Azρ

ρ−1Azφ

Azz

A¯rs =

Arr

r−1Arθ

(r sin θ)−1Arφ

r−1Aθr

r−2Aθθ

(r2 sin θ)−1Aθφ

2.20.

(r sin θ)−1Aφr

(r2 sin θ)−1Aφθ

(r2 sin2 θ)−1Aφφ

λ1 = −1,

(

√

−

√

, 0);

λ2 = 0,

(0, 0, 1);

λ3 = 1,

(

√

, 0).

3. Ковариантное дифференцирование

3.1. Отличные от нуля символы Кpистоффеля есть:

a) Γ2,21 = Γ2,12 = x1, Γ1,22 = −x1, Γ122 = −x1, Γ221 = Γ212 = 1/x1;

Ответы

á) Γ2,21 = −Γ1,22

= x1 ,

Γ3,13

= −Γ1,33

= x1(sin x2)2 , Γ3,23 =,

−Γ2,33 = (x1)2 sin x2 cos x2,

Γ221

= −x1,

Γ212

= Γ122 =

;Γ133 = 1/x1

Γ332 = − sin x2 cos x2,

Γ233 = ctg x2,

Γ331 = −x1(sin x2)2

3.8

∆Φ =

[∂x1 (

∂x1 )

+ ∂x1 ( h2

∂x2 ) + ∂x3

( h3 2 ∂x3 )]

h1h2h3

∂ h2h3 ∂Φ

∂ h1h3

∂Φ

∂ h1h ∂Φ

3.9.

1 ∂2Φ ∂2Φ

1 ∂

∂Φ

∆Φ =

(ρ

) +

;

∂ρ

ρ2

∂φ2

∂z2

á)

1 ∂

∂Φ

1 ∂

∂Φ

1 ∂2Φ

∆Φ =

(r2

) +

(sin θ

) +

∂r

r2 sin θ

∂θ

r2 sin2 θ

∂φ2

3.11.

∂

div A =

[

(h2h3A¯1)

(h1h3A¯2) +

(h1h2A¯3)].

h1h2h3

∂x1

∂x2

∂x3

3.12.

1 ∂

1 ∂Aφ

∂Az

div A =

(ρAρ) +

;

∂ρ

∂φ

∂z

á)

div A =

3.14.

¯	1
R1	=	h2h3

∂

[

(r2 sin θ A¯r) +

(r sin θ A¯θ) +

(rA¯φ)].

r2 sin θ

∂r

∂θ

∂φ

∂(h3A3) ∂(h2A2)

∂(h1A1) ∂(h3A3)

[

−

], R¯2 =

[

−

∂x2

∂x3

h1h3

∂x3

∂x1

∂(h2A2)

∂(h1A1)

R¯3 =

[

−

h1h2

∂x1

∂x2

]

Литература	15

Ëèòåpàòópà

1. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

2. Мак-Коннел À.Ä. Введение в тензорный анализ. М.: Физматгиз, 1963.

3.Сокольников И Тензоpный анализ. М.: Hаука, 1971.

4.Кочин H.Е.Вектоpное исчисление и начало тензоpного исчис-

ления. М.: Hаука, 1965.

5. Акивис М.А., Гольдбеpг В.В. ЗТензоpное исчисление. М.: Hаука, 1969.

6. Мэтьюз Дж., Уокеp Р. Математические методы физики. М.: Hаука, 1974.

Учебное издание

ЗАДАЧИ ПО ТЕНЗОРНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ Бухбиндер

Геннадий Львович

Санитарно-гигиенический сертификат •

Редактор ???

Технический редактор Н.С. Серопян Дизайн обложки ???

Подписано в печать ???	Формат 60 × 84 1/16.
Ïå÷. ë. ???. Óñë. ïå÷. ë. ??. Ó÷.-èçä. ë. ??.	Тираж ??экз. Заказ

Издательство Омского государственного университета 644077, Омск-77, пр. Мира, 55а

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016183.3 Кб75Задачи по Римскому праву.doc
#
03.05.2015290.3 Кб4задачи страховое тема 6.doc
#
12.02.201569.63 Кб22Задачи Тема 3.doc
#
24.11.201984.48 Кб3задачи тема 5.doc
#
12.02.2015145.41 Кб42Задачи Финансовое 3 тема.doc
#
12.02.2015200.71 Кб27Задачник - Тензора.pdf
#
12.02.2015787.32 Кб121Задачник - Теор. механика.pdf
#
13.08.201966.96 Кб5Задачник ФП.docx
#
05.09.201962.98 Кб2Законность, правопорядок. Рыбаков.doc
#
28.03.2015183.81 Кб9залоговое 4.doc
#
12.02.201532.26 Кб18Занятие фонетика.doc