Metod_adaptivnoy_iskusstvennoy_vyazkosti_1D

Эти же тесты использовались для исследования качества предложенной в данной статье методики. Все они были просчитаны, и результаты приводятся на рисунках с соответствующими названиями тестов.

Дадим сравнение полученных результатов расчетов с расчетами по десяти схемам из [7]. В тестах 1, 3а, 4, 6 и «Peak» предложенная нами схема АИВ (AAV) уступает схемам WAFT, WAFC, PPM и иногда схеме CLAW. В тесте «Noh» схема АИВ уступает CFLF, CFLFh, JT, находится на уровне схем WENO5, LL и лучше и точнее схем WAFT, WAFC. В тесте «Blast wave» (при граничных условиях на скорость v(0)=v(1)=0)) схема АИВ при h=1/400 находится на уровне схем CFLF, CFLFh, JT, CWENO3, а при h=1/2000 − на уровне всех прочих схем. Тест «Blast wave» был просчитан также на адаптивных сетках в [8]. Для теста 5 схема АИВ находится на уровне шести лучших схем.

Можно сделать вывод по всем тестам, что схема АИВ находится на уровне схемы WENO5. Ошибки в расчетах по схеме АИВ в норме С близки к расчетным ошибкам по схеме WENO5, имеют тот же порядок.

Так же был проведен расчет с неподвижной УВ (D=0), УВ в расчете оставалась неподвижной.

Помимо теста 1-tvj по двумерной программе был просчитан тест об отражении косой ударной волны от жесткой стенки [9], эти и другие расчеты двумерных задач будут приведены в последующих работах.

Заключение

1.Предложена новая явная разностная схема и алгоритм решения сеточных уравнений газовой динамики, допускающий распараллеливание вычислений.

2.Схема имеет порядок аппроксимации O(τ2+h2) на гладких участках решения задачи и вне волн сжатия.

3.Схема является однородной и не требует выделения разрывов.

4.Алгоритм решения сеточной задачи прост. Решение задачи состоит из двух этапов «предиктора» и «корректора», разностные уравнения просчитываются один раз. В промежутке между ними по «предиктору» определяется область введения искусственной вязкости. Искусственная вязкость находится из условия принципа максимума.

5.Искусственная вязкость не вводится на ВР и КР, в связи с чем повышается точность и уменьшается размывание области КР. Искусственная вязкость вводится в области УВ, волн сжатия и осцилляций «предикторного» этапа решения. В результате разностная схема оказывается практически монотонной.

6.Схема построена на трехточечном шаблоне и может быть обобщена на случай 2-x и 3-х измерений.

7.Результаты расчётов модельных задач показывают, что предложенный метод АИВ способен конкурировать с современными методами расчетов задач газовой динамики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Учебн. пособие для Вузов, изд. 3-е доп. − М.: Наука, 1992.

2.Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Физ.-Мат. Лит. − М.: Наука, 1978.

3.Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Прокопов Г.П. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. − М.: Наука, 1976.

4.Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. − М.: Макс-

Пресс, 2004.

5.Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семёнов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических уравнений. − М.: Физматлит, 2001.

6.Бондаренко Ю.А., Башуров В.В., Янилкин Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы: препринт 88-2003, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 53 с.

7.Liska Richard, Wendroff Burton. Comparison of several difference schemes on 1D and 2D test problems for the Euler equations. November 22, 2001, p. 1-57

http://www.math.ntnu.no/conservation

8.Breslavsky P.V., Mazhukin V.I. Simulation of integrating discontinuous solutions on dynamically adaptive grids // Computational methods in applied mathematics, 2007, v.7, № 2, p.103-107.

9.Василевский В.Ф., Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности на адаптивных сетках нерегулярной структуры. − М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990, препринт №124.

Поступила в редакцию 16.10.07