Локальные экстремумы функции

Теорема Ферма(необходимое условие экстремума)

Доказательство:

Условие монотонности функции на промежутке

Достаточные условия экстремума

Выпуклость (вогнутость) функции и точки перегиба

y=f(x)

a=x₁ b=x₂ Х

Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпукла) на интервале (a,b), если для любых точек х₁,х₂ из интервала (a,b), причем выполняется соотношение ах₁х₂b и для любой точки х₀ выполняется неравенство l(x₀)f(x₀)

Функция y=f(x) выпукла вниз (вогнута) на (a,b)  х₁,х₂  (a,b) a<x₁<x₂<b  x₀  (a,b)

L(x₀)f(x₀)

y=x²

Теорема о достаточном условии выпуклости функции

Доказательство:

Х₀- называется точкой перегиба функции y=f(x), если она является одновременно концом промежутка выпуклости и концом промежутка вогнутости.

Теорема о необходимых условиях перегиба

Теорема о достаточном условии точек перегиба