ответы схемотехника

1. Правила Кирхгофа и их применение.

Ответ: Законы Кирхгофа являются вариантом формулировки постулатов о сохранении материи и энергетического потенциала для электрических энергопреобразующих цепей. Введем определения.

Узел электрической цепи

Место соединения трёх и более ветвей. В схемах электрических принципиальных обозначается точкой.

Ветвь электрической цепи

Участок электрической цепи, содержащий только последовательно включённые элементы.

Контур электрической цепи

Замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей электрической цепи.

I закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд не может ни накапливатся, ни убывать. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма токов в узлах равна нулю.

II закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

Произвольно назначают направления токов в ветвях.

Произвольно назначают направления обхода контуров.

Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У — число узлов в цепи).

Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В — число ветвей в цепи).

Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".

Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.

Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей. В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Пример

На этом рисунке для каждого проводника обозначен протекающий по нему ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми им узлами (буквой «U»

Например, для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом выполняются следующие соотношения:

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например здесь, токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения

Снова, полученная система уравнений, полностью описывает анализируемую цепь и её решение определяет все токи и все напряжения ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

2. Алгоритм расчета электрической цепи на базе уравнений Кирхгофа.

Ответ:

Расчет электрических цепей с применением законов Кирхгофа и Ома

Законы Кирхгофа наиболее общие. Они являются отдельным случаем универсальных уравнений электрического поля относительно произвольных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Закон Ома используется для расчета только линейных цепей.

Алгоритм расчета:

1. Начертить по принципиальной схеме схему замещения; упростить схему, преобразовав последовательно и параллельно соединенные резисторы в эквивалентные, пронумеровать ЭДС соответствующих ветвей, узлы; произвольно выбрать и обозначить положительные направления токов в ветвях.

2. Записать n – 1 уравнений по первому и m – (n – 1) уравнений по второму закону Кирхгофа, где n – количество узлов, m – количество ветвей в цепи. Если бы мы записывали n уравнений по первому закону Кирхгофа, то одно из них – это линейная комбинация оставшихся, что привело бы к линейной зависимости уравнений.

Источник тока J входит только в уравнение первого закона Кирхгофа (баланс тока в узлах) и переносится как известное в правую часть уравнения.

Для схемы (рис. 1) n = 3, m = 4.

Рис. 1.

Ветвь с идеальным источником тока не учитывается, поскольку ее сопротивление бесконечно велико.

Уравнение по первому закону Кирхгофа при n – 1 = 2 для узла 1: – I1 – I3 + I4 + J = 0; для узла 2: I1 + I2 – I4 = 0.

Уравнение по второму закону Кирхгофа при m – (n – 1) = 4 – 2 = 2 для контура 1 (направление обхода указано пунктиром):

I1R1 + I2R2 = E1; для контура 2 (направление обхода то же самое, но можно было взять и противоположное): I2R2 – I3R3 – I4R4 = – E2.

3. Решить систему уравнений относительно тока I:

Если среди компонент вектора I есть отрицательные, то это означает, что их направление противоположно положительному направлению, приведенному в схеме (рис. 1).

4. По закону Ома определить напряжения на элементах.

Сложность использования этого метода связана с чрезмерно большой размерностью систем уравнений.

3. Принципы преобразования электрической цепи.

Разнообразие и сложность преобразующих электрическую энергию схем мнимые. Существуют лишь четыре способа соединения электрических элементов:

последовательное соединение

параллельное соединение

соединение элементов звездой

соединение элементов треугольником

4. Принцип суперпозиции и метод наложения расчета электрической цепи.

Ответ:

Все методы расчета цепей были разработаны на базе фундаментальных принципов функционирования энергопреобразующих цепей и их общих свойств. Познакомимся с их сутью:

Принцип суперпозиции

Действие любого количества источников электрической энергии на линейную электрическую цепь независимо. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым источником в отдельности.

Метод наложения — метод расчёта электрических цепей, основанный на предположении, что ток в каждой из ветвей электрической цепи при всех включённых генераторах, равен сумме токов в этой же ветви, полученных при включении каждого из генераторов по очереди и отключении остальных генераторов(только в линейных цепях).

Метод наложения используется как для расчёта цепей постоянного тока, так и для расчёта цепей переменного тока.

5. Последовательное соединение R, L и C в цепи переменного тока.

Ответ: \

2.7. Цепь с последовательным соединением элементов

Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U. Требуется определить ток в цепи и напряжение на элементах цепи. Из свойства последовательного соединения следует, что ток во всех элементах цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд этапов.

1. Определение сопротивлений.

Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам

XL = ωL, XC = 1 / ωC, ω = 2πf.

Полное сопротивление цепи равно

угол сдвига фаз равен

(2.42)

φ = arctg((XL - XC) / R),

2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома

I = U / Z, ψi = ψu + φ.

Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.

3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам

UR = I R, ψuR = ψi ;

UL = I XL, ψuL = ψi + 90° ;

UC = I XC, ψuC = ψi - 90°.

Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.

Ú = ÚR + ÚL + ÚC.

4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С в формуле (2.42) возможны следующие варианты: XL > XC; XL < XC; XL = XC.

Для варианта XL > XC угол φ > 0, UL > UC. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.16).

Для варианта XL < XC угол φ < 0, UL < UC. Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.17).

Для варианта XL = XC угол φ = 0, UL = UC. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление z=R наименьшее из всех возможных значений XL и XC. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.18).

Этот режим называется резонанс напряжений (UL = UC). Напряжения на элементах UL и UC могут значительно превышать входное напряжение.

Пример.

U = 220 B, f = 50 Гц, R = 22 Ом, L = 350 мГн, С = 28,9 мкФ.

XL = ωL = 2πf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,35 = 110 Ом;

XC = 1 / ωC = 1 / (2πf C) = 110 Ом;

Z = R = 22 Ом, φ=0, I = U / R = 220 / 22 = 10 А, ψu = ψi;

UL = UC = I XL = 10 · 110 = 1100 В.

В приведенном примере UL и UС превышают входное напряжение в 5 раз.

6. Резонанс напряжения в цепи переменного тока.

Ответ:

Резонанс напряжений. При резонансе напряжений (рис. 196, а) индуктивное сопротивление XL равно емкостному Хс и полное сопротивление Z становится равным активному сопротивлению R:

Z = ?( R2 + [?0L - 1/(?0C)]2 ) = R

В этом случае напряжения на индуктивности UL и емкости Uc равны и находятся в противофазе (рис. 196,б), поэтому при сложении они компенсируют друг друга. Если активное сопротивление цепи R невелико, ток в цепи резко возрастает, так как реактивное сопротивление цепи X = XL—Xс становится равным нулю. При этом ток I совпадает по фазе с напряжением U и I=U/R. Резкое возрастание тока в цепи при резонансе напряжений вызывает такое же возрастание напряжений UL и Uc, причем их значения могут во много раз превышать напряжение U источника, питающего цепь.

Угловая частота ?0, при которой имеют место условия резонанса, определяется из равенства ?oL = 1/(?0С).

Рис. 196. Схема (а) и векторная диаграмма (б) электрической цепи, содержащей R, L и С, при резонансе напряжений

Отсюда имеем

?o = 1/?(LC) (74)

Если плавно изменять угловую частоту ? источника, то полное сопротивление Z сначала начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения при резонансе напряжений (при ?o), а затем увеличивается (рис. 197, а). В соответствии с этим ток I в цепи сначала возрастает, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается.

7. Параллельное соединение L и С в цепи переменного тока.

Ответ:

2.8. Цепь с параллельным соединением элементов

Проведем анализ работы электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, С. Рассмотрим следующую схему.

Положим, что заданы величины R1, R2, L, С, частота f и входное напряжение U. Требуется определить токи в ветвях и ток всей цепи.

В данной схеме две ветви. Согласно свойству параллельного соединения, напряжение на всех ветвях параллельной цепи одинаковое, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов.

Задача разбивается на ряд этапов

1. Определение сопротивлений ветвей.

Реактивные сопротивления элементов L и С определяем по формулам

XL = ωL, XC = 1 / ωC, ω = 2πf.

Полное сопротивление ветвей равны

соответствующие им углы сдвига фаз

φ1 = arctg(XL / R1), φ2 = arctg(XС / R2).

2. Нахождение токов в ветвях.

Токи в ветвях находятся по закону Ома

I1 = U / Z1, ψi1 = ψu + φ1, I2 = U / Z2, ψi2 = ψu + φ2.

3. Нахождение тока всей цепи.

Ток всей цепи может быть найден несколькими методами: графическим, методом мощностей, методом проекций и методом проводимостей.

Чаще всего используют метод проекций и метод проводимостей. В методе проекций ток I1 и I2 раскладываются по две ортогональные составляющие активную и реактивную. Ось активной составляющей совпадает с вектором напряжения U. Ось реактивной составляющей перпендикулярна вектору U (рис. 2.20).

Активные составляющие токов равны

I1а = I1 cos φ1, I2а = I2 cos φ2,

(2.43)

Iа = I1а + I2а.

Реактивные составляющие токов равны

I1р = I1 sin φ1, I2р = I2 sin φ2,

(2.44)

Iр = I1р - I2р.

В последнем уравнении взят знак минус, поскольку составляющие I1р (индуктивная) и I2р (емкостная) направлены в разные стороны от оси U.

Полный ток находится из уравнений

(2.45)

(2.46)

φ = arctg(Iр / Iа).

В методе проводимостей также используется разложение на активные и реактивные составляющие. Используя уравнение (2.30) активные составляющие токов записываются в виде

(2.47)

где через g1 = R1 / Z12 обозначена величина названная активной проводимостью первой ветви. Аналогичным образом получим

, (2.48)

где g2 = R2 / Z22; а величину g = g1 + g2 называют активной проводимостью всей цепи.

Используя уравнение (2.31) запишем реактивные составляющие токов

где b1 и b2 – реактивные проводимости ветвей b1 = XL / Z12, b2 = XC / Z22. Для реактивной проводимости всей цепи имеем

(2.50)

b = b1 - b2.

В этом уравнении взят знак минус, из тех же соображений, как и в уравнении (2.44). Величина тока I и угол φ находятся из соотношений (2.45) и (2.46).

4. Анализ расчетных данных.

В зависимости от соотношения реактивных проводимостей b1 и b2 возможны три варианта: b1 > b2; b1 < b2; b1 = b2.

Для варианта b1 > b2 имеем I1р > I2р, φ > 0. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.21.

При b1 < b2 токи I1р < I2р, φ < 0. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.22.

Если b1 = b2, то I1р = I2р, φ = 0. Цепь имеет чисто активное сопротивление. Ток потребляемый цепью от источника наименьший. Этот режим называется резонанс токов. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.23.

8. Резонанс токов в цепи переменного тока.

Ответ:

Резонанс токов. Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении индуктивности и емкости (рис. 198, а). В идеальном случае, когда в параллельных ветвях отсутствует активное сопротивление (R1=R2 = 0), условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость, т. е. ?oL = 1/(?oC). Так как в рассматриваемом случае активная проводимость G = 0, ток в неразветвленной части

цепи при резонансе I=U?(G2+(BL-BC)2)= 0. Значения токов в ветвях I1 и I2 будут равны (рис. 198,б), но токи будут сдвинуты по фазе на 180° (ток IL в индуктивности отстает по фазе от напряжения U на 90°, а ток в емкости I с опережает напряжение U на 90°). Следовательно, такой резонансный контур представляет собой для тока I бесконечно большое сопротивление и электрическая энергия в контур от источника не поступает. В то же время внутри контура протекают токи IL и Iс, т. е. имеет место процесс непрерывного обмена энергией внутри контура. Эта энергия переходит из индуктивности в емкость и обратно.

Как следует из формулы (74), изменяя значения емкости С или индуктивности L, можно изменять частоту колебаний ?0 электрической энергии и тока в контуре, т. е. осуществлять настройку контура на требуемую частоту. Если бы в ветвях, в которых включены индуктивность и емкость, не было активного сопротивления, этот процесс колебания энергии продолжался бы бесконечно долго, т. е. в контуре возникли бы незатухающие колебания энергии и токов IL и Iс. Однако реальные катушки индуктивности и конденсаторы всегда поглощают электрическую энергию (из-за наличия в катушках активного сопротивления проводов и возникновения

Рис. 197. Зависимость тока I и полного сопротивления Z от ? для последовательной (а) и параллельной (б) цепей переменного тока

Рис. 198. Электрическая схема (а) и векторные диаграммы (б и в) при резонансе токов

в конденсаторах токов смещения, нагревающих диэлектрик), поэтому в реальный контур при резонансе токов поступает от источника некоторая электрическая энергия и по неразветвленной части цепи протекает некоторый ток I.

Условием резонанса в реальном резонансном контуре, содержащем активные сопротивления R1 и R2, будет равенство реактивных проводимостей BL = BC ветвей, в которые включены индуктивность и емкость.

Из рис. 198, в следует, что ток I в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением U, так как реактивные токи 1L и Iс равны, но противоположны по фазе, вследствие чего их векторная сумма равна нулю.

Если в рассматриваемой параллельной цепи изменять частоту ?о источника переменного тока, то полное сопротивление цепи начинает увеличиваться, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается (см. рис. 197,б). В соответствии с этим ток I начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения Imin = Ia при резонансе, а затем увеличивается.

9. Мощность цепи переменного тока, содержащей R и L.

Ответ: