Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Основы теории поля

Методические указания

к выполнению самостоятельной работы под контролем преподавателя

по дисциплине "Математика"

для студентов Энергетического факультета

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов – 2010

Введение

Методические указания предназначены для студентов Энергетического факультета и содержат краткие теоретические сведения и практические рекомендации к выполнению самостоятельной работы по разделу "Теория поля" дисциплины “Математика”.

Цель работы – оказание помощи студентам в изучении математического аппарата теории поля и применении его к задачам прикладного характера.

В методических указаниях приведены задания для самостоятельной работы выполняемой в третьем семестре. Задание выдается каждому студенту индивидуально.

1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент.

Говорят, что в области V пространства задано скалярное поле, если каждой точке М области V поставлено в соответствие некоторое число u=u(M). В реальном трехмерном пространстве точка имеет координаты x, y, z и u=u(x,y,z) Примерами скалярных полей являются поле температур, давления, влажности.

В некоторых науках, например, в метеорологии возникает вопрос о наглядном графическом представлении поля. Для этого в плоском случае используют линии уровня, а в пространственном – поверхности уровня. Поверхностью уровня скалярного поля u называется геометрическое место точек, в которых u принимает постоянное значение C. Уравнение поверхности уровня имеет вид

u(x,y,z) = C.

Поверхности уровня еще называют изоповерхностями. Придавая различные значения постоянной С, мы получим набор (семейство) поверхностей уровня. Это семейство наглядно характеризует скалярное поле. Места сближения изоповерхностей указывают на быстрое изменение поля. В случае плоского поля изоповерхности представляют собой линии уровня u(x,y)=C. Например, изобары и изотермы (линии одинаковых давлений и температур) в метеорологии.

Наиболее существенными характеристиками скалярного поля являются его дифференциальные характеристики - производная по направлению и градиент.

Пусть в пространстве, где задано скалярное поле u=u(x,y,z), имеется вектор с началом в точке М и направляющими косинусами cosα, cosβ и cosγ. Выберем на оси , вдоль которой направлен вектор , произвольную точку М₁ отстоящую от точки М в направлении вектора . Тогда производной скалярного поля u(M) в направлении называется предел

,

где все частные производные вычисляются в точке М.

Производная по направлению характеризует скорость изменения поля u(M) в точке М в направлении вектора .

Градиентом скалярного поля u(x,y,z) называют вектор

,

где все частные производные вычисляются в точке М.

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля в точке М в сторону возрастания функции u(x,y,z) и длина его равна .