- •Экономико-математические методы и модели (курс лекций)
- •Isbn 5-7369-0373-3 © Векленко в.И., 2006 введение
- •Часть I. Экономико-математические
- •Классификация экономико-математических методов
- •1. Методы классической математики
- •Леция 2. Основы линейного программирования
- •1. Общие сведения о линейном программировании
- •2. Задача линейного программирования
- •3. Постановка задачи линейного программирования
- •Лекция 3. Решение и анализ задачи линейного программирования
- •Графический способ решения задачи
- •Симплексный метод и его алгоритм
- •Решение задачи симплексным методом
- •4. Симплекс-метод с искусственным базисом или м-метод
- •Оптимальных решений задач линейного программирования
- •Двойственная задача линейного программирования
- •2. Экономические свойства двойственных оценок
- •3. Анализ оптимального решения по последней симплексной таблице
- •Лекция 5. Распределительный метод решения задачи линейного программирования
- •Постановка и экономико-математическая модель распределительной (транспортной) задачи
- •2. Общая характеристика метода потенциалов
- •3. Решение транспортной задачи
- •Особые случаи решения транспортной задачи
- •Дополнительные ограничения в транспортной задаче
- •Лекция 6. Методы теории игр
- •Основные понятия теории игр
- •Матричные игры
- •Критерии оптимизации в играх с природой. Принятие решений в условиях неопределенности
- •Лекция 7. Методы управления запасами
- •Системы регулирования товарных запасов
- •Модель Уилсона
- •Задача 1
- •Решение
- •Модель планирования экономичного размера партии
- •Формулы модели экономичного размера партии:
- •Задача 2
- •Решение
- •Лекция 8. Балансовые методы и модели
- •Балансовый метод. Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •3. Расчеты по модели межотраслевого баланса
- •Определение обратной матрицы Еn-а методом Жордана-Гаусса:
- •Задача 1.
- •Задача 2
- •Лекция 9. Сетевое планирование
- •Основные понятия сетевых методов
- •Методы построения сетевых моделей
- •Основные понятия сетевых методов
- •Методы построения сетевых моделей
- •Задача 1
- •Решение
- •Анализ сетевых моделей
- •Задача 2
- •Решение
- •4. График взаимосвязи работ во времени
- •Задача 3
- •Лекция 10. Методы и модели теории массового обслуживания
- •1. Общие понятия, определения и классификация методов и моделей в системах массового обслуживания
- •2. Модели разомкнутых систем
- •Часть II. Экономико-математические
- •2. Экономическая система
- •Моделирование экономических процессов
- •4. Экономико-математические модели
- •1. Законы спроса и предложения
- •2. Рыночная цена
- •3. Эластичность
- •Закон убывающей предельной полезности. Потребительское поведение
- •2. Эффект дохода и эффект замещения
- •3. Кривые безразличия
- •4. Бюджетные линии
- •Лекция 14. Модели издержек фирмы
- •2. Предельные издержки фирмы
- •Модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •2 Способ:
- •1 Подход:
- •2 Подход:
- •2. Модели поведения монополии
- •Лекция 16. Оптимальное распределение ресурсов фирмой
- •1. Предельная доходность ресурса
- •2. Предельные издержки ресурса
- •3. Выбор варианта сочетания ресурсов
- •Проектирования
- •1. Принципы анализа инвестиционного проекта
- •2. Стоимость денег во времени. Сложный процент и дисконтирование
- •3. Показатели эффективности в проектном анализе
- •1. Способы представления производственных функций
- •2. Экономико-статистическое моделирование
- •3. Экономические характеристики производственных функций
- •Лекция 19. Модель общего рыночного равновесия эрроу-гурвица
- •1. Алгоритм построения модели
- •2. Проведение модельных расчетов
- •Р. Солоу
- •1. Накопление капитала
- •2. Рост народонаселения
- •3. Научно-технический прогресс
- •Содержание
2. Модели разомкнутых систем
Если число требований на обслуживание бесконечно, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемые формулы Эрланга).
Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.
При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.
Введем в рассмотрение параметр . Если< 1, то очередь не может расти безгранично. Условие< 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.
Важнейшие характеристики работы СМО:
1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
(4)
2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих каналов:
Pk=при 1k (5)
3. Вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
Pk=Po при k (6)
4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
Pk=Po; ( / n<1) (7)
5. Средняя длина очереди:
оч=;( / n<1) (8)
6. Среднее число свободных от обслуживания каналов:
(9)
7. Коэффициент простоя каналов:
Kпр= (10)
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
(11)
9. Коэффициент загрузки каналов:
К3= (12)
Пример. МТС имеет n = 5 бригад по ремонту тракторов. В среднем в течение рабочего дня от сельскохозяйственных предприятий поступает в ремонт =10 тракторов. Поток заявок на ремонт тракторов является случайным, пуассоновским. Каждый трактор в зависимости от характера неисправности также требует различного случайного времени на ремонт. Время ремонта подчиняется экспоненциальному закону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждая из бригад успевает отремонтировать = 2,5трактора. Требуется оценить работу МТС, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.
За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).
Определим параметр
так как <n, то очередь не может расти безгранично.
2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта тракторов согласно (4).
P0=
3. Вероятность того, что все бригады заняты ремонтом согласно (7):
Это означает, что 55,4% времени бригады полностью загружены работой.
4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного трактора согласно (3):
(при условии семичасового рабочего дня).
5. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения тракторов, требующих ремонта; находим ее по (8):
трактора
6. Определим среднее число бригад, свободных от работы, по (9):
Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре бригады из пяти.