Поддержка инженерных решений1

представляют собой простые аппроксимирующие зависимости (обычно полиномы 1-ой и 2-ой степени). Элементарная подобласть (конечный элемент) - простейшая геометрическая фигура сколь угодно малого, но конечного размера.

В результате аппроксимации объемные и поверхностные интегралы раскладываются в интегралы по конечным подобластям. Вид подынтегрального выражения зависит от вида конечного элемента.

2.Виды конечных элементов.

2.1.Геометрическая классификация.

1)Стержневой КЭ.

Имеет единственный размер (длина), два узла для присоединения к другим конечным элементам.

Применяется если допустимо пренебречь изменением поля в радиальном направлении.

Лекция 10.

Стержневые элементы применяются если допустимо пренебречь изменением поля в радиальном направлении.

Плоские КЭ.

1.

Имеют два измерения и количество узлов = количеству вершин.

Аппроксимирующая функция плоских элементов отражает изменение поля в плоскости элемента. Т. о. данный вид элемента применяется, если допустимо пренебречь изменением поля по толщине. Применяются для сокращения размерности системы.

Стержневые и плоские элементы применяются для сокращения размерности задачи, экономии вычислительных ресурсов и времени счета.

Объемные КЭ.

Наиболее распространены тетраэдр и куб.

Их аппроксимирующая функция отражает изменение поля в объеме.

Классификация конечных элементов по виду аппроксимирующей зависимости.

Так же как конечные элементы моделируют реальный объект, их аппроксимирующие зависимости моделируют поле этого объекта. Аппроксимирующая зависимость конечного элемента моделирует поле внутри этого конечного элемента. Используя аппроксимирующую зависимость можно вычислить значение поля в любой точке элемента. Если известны значении в его узлах. В качестве аппроксимирующей функции обычно используют полиномы 1-ой 2-ой или более высокой степени. Точность аппроксимации поля зависит:

1.От числа КЭ

2.От степени аппроксимирующего полинома КЭ (см. рис.)

2.

Точность аппроксимации КЭ с полиномом 2-го порядка выше, поэтому таких элементов требуется меньше. Однако возрастает сложность вычислений.

КЭ с полиномом 1-го порядка называются – симплекс элементы, и описываются полиномами вида:

3.

КЭ с полиномами 2-го порядка называются – комплекс элемент. 4.

Комплекс - элементы имеют большее количество узлов, их число определяется степенью аппроксимирующего полинома. Так для КЭ 2-го порядка:

1.Стержневой элемент имеет 3 узла

2.Плоский

3.Объемный (тетраэдр с дополнительными узлами)

Вдополнительных узлах также осуществляется связь с другими конечными элементами.

Функция формы КЭ.

Коэффициенты полинома аi находятся из геометрических размеров конечного элемента. Например, для стержневого элемента 1-го порядка.

5.

Таким образом для стержневого элемента 1-го порядка аппроксимирующий полином имеет общий вид (****). Множители зависят от формы элемента (геометрии) и называются функциями формы. Их вид зависит от вида элемента (стержневой, плоский, объемный) и его порядка (1 или 2).

Множитель при значении поля в узле i

6.

Схема минимизации функционала χ в методе КЭ.

7.

Лекция 11.