Поддержка инженерных решений1

Найдем коэффициент полинома .

Полином показал ошибку 1,5. Следовательно, перейдем к более мощному полиному .

Вывод:

По результатам проверки для полинома заключаем, что в краевых точках расхождения нет, а расхождение в центральной точке =3.

Если такая шибка является недопустимой переходят к факторному эксперименту 2-ого порядка для нахождения аппроксимирующих полиномов вида:

Планы дробного факторного эксперимента.

Недостатки ПФЭ 2n:

1.Позволяет определить коэффициент неполного квадратичного полинома с учетом взаимодействия факторов

2.Если для описания процесса достаточно точности линейной модели ПФЭ становиться избыточным, т. е. для построения линейной модели будет использована только часть данных

ПФЭ.

Практические задачи показывают, что обычно влияние факторов на функцию отклика больше чем влияние их взаимодействия, в связи с этим точность линейной модели часто достаточно.

Количество опытов в плане ДФЭ.

Число опытов в планах ПФЭ 2n резко возрастает при n≥6 (так при n=6 – 64 опыта). В планах ДФЭ количество опытов, по крайней мере в 2 раза меньше.

Число опытов ДФЭ можно определить по его обозначению.

Обозначение планов ДФЭ.

2n-k

2 – число уровней варьирования факторов. n- количество факторов

k – показатель дробности плана

Показатели дробности плана.

Показывает, какая часть матрицы ПФЭ будет использована в плане ДФЭ.

С увеличение k количество членов полинома описывающих взаимодействие фактора уменьшается. Максимально-допустимое значение k должно позволять найти коэффициент при факторах полинома. При k=0 ДФЭ вырождается в ПФЭ и позволяет найти коэффициент при всех взаимодействиях и факторах.

При k=1 план обозначается 2n-1, число опытов ДФЭ в 2 раза меньше числа опытов ПФЭ.

В этом случае ДФЭ представляет собой «полуреплику» ПФЭ. Из матрицы экспериментов данных остается половина.

Например, изображение ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 выглядит следующим образом:

При k=2 число опытов ДФЭ в 4 раза меньше числа опытов ПФЭ и ДФЭ представляет собой

«четверть реплику» от ПФЭ.

При k=3 число опытов в 8 раз меньше, ДФЭ представляет 1/8 реплику и т. д. В общем случае число опытов ДФЭ определяется по формуле 2n-k.

Лекция 7.

Выбор показателя дробности плана.

Величина показателя дробности плана влияет на число опытов и на возможность определения коэффициентов полинома.

Чем больше показатель дробности плана, тем меньше опытов в эксперименте и меньше количество коэффициентов полинома можно найти.

Предельное значение показателя дробности плана должно оставлять возможность определения коэффициента при всех факторах, для этого должно выполняться соотношение,

(*)

- число факторов.

которое говорит, что число опытов должно быть не меньше числа членов полинома.

Построение матрицы плана ДФЭ.

При построении матрицы плана должно соблюдаться следующие условия:

1.(*)

2.Ортогональность столбцов. Для этого n-k столбцов заполняются также как столбцы образующие план в ПФЭ, а остальные столбцы получаются как их произведение.

3.Сумма столбцов должна быть =0.

Пример построение матрицы плана ДФЭ.

23-1;

n=3;

пдп=1;

N=22=4;

Коэффициент полинома:

По возможности определимся коэффициентами полинома при нарушении условия n+1>2n-k; Рассмотрим полином:

23-1

Построим план ДФЭ 2n-1 для полинома y.

N=22=4;

Для повышения точности аппроксимации полинома используются следующие приемы:

1.Уменьшение диапазона варьируемых факторов или разбиение его на поддиапазоны, для каждого их которых строится свой план и полином.

2.Выделение фактора вносящего нелинейность и проведение факторных экспериментов для разных фиксированных уровней этого фактора.

После этого пытаются построить полином, в котором либо коэффициент при данном факторе, либо все коэффициенты являются функцией от фактора носящего нелинейность.

3.Переход к новым факторам функции связан со старым но не порождает нелинейность.

4.Достраивание планов до планов более высокого порядка (чаще всего 2-го порядка).

Планы 2-го порядка.

Планы 2-го порядка позволяют различать коэффициенты полного квадратичного полинома.

Особенности планов 2-го порядка.

План должен сохранить ортогональность (произведение двух любых столбцов =0).

Матрица для плана функции Ф полученная при уровнях варьирования фактора -1 и +1 будет содержать одинаковые столбцы для В общем случае все столбцы будут одинаковыми. Т. о. независимое определение коэффициентов

станет невозможным.

Следовательно уровни варьирования квадратов факторов должны отличаться от -1 до +1. План должен оставаться центральным, т. е. уровни факторов должны быть симметричны относительно центра плана (для любого j сумма ). Такой план называется центральным.

В план полностью входит матрица ПФЭ, т. е. план 2-го порядка представляет собой композицию из ПФЭ и дополнительных точек, такой план называется композиционным.

План называется – «Ортогональный центральный композиционный план 2-го порядка».

Количество опытов ОЦКП 2-го порядка.

Для получения квадратичной зависимости каждый фактор варьируется на 3-х уровнях.

Количество точек плана ОЦКП 2-го порядка.

– число опытов ПФЭ (2n),

-число факторов,

- Ц. Т. ( ), - «звездные» точки – по две для каждого фактора, расположение имеет относительно

центральной точки.

Геометрическая интерпретация.

n=3.

Лекция 8.

Возрастает количество экспериментальных точек.

Преобразование факторов.

Для того, чтобы сумма элементов любого столбца и столбцов содержащих квадраты факторов была =0, факторы в этих столбцах преобразуют. Преобразованные факторы имеют вид:

– константа, зависящая от числа опытов в эксперименте, j – № фактора,

u - № опыта.

Получим формулу для определения «с» из условия равенства 0 суммы любого столбца.

По результатам опытов формируется полином вида:

Формула для определения коэффициентов полинома отличается от рассмотренной ранее, в связи с тем, что сумма квадратов элементов каждого столбца разные:

Зависимость параметров ОЦКП от числа факторов.

Лекция 9.

Теоретические основы метода конечных элементов.

Метод конечных элементов - расчет напряжений деформаций конструкций под действием силовых нагрузок, под действием кинематических нагрузок, расчет движения жидкости и газов, электромагнитных полей. Все эти задачи относятся к классу задач теории поля.

МКЭ в дифференциальной постановке.

Большая группа задач теории поля описывается уравнением вида:

φ– функция поля (распределение t0, q, ε, σ, δ)

–коэффициент, описывающий физические свойства объекта в правлении x, y, z

Q – объемное нагружение системы

Уравнение (*) имеет бесконечное множество решений для конкретизации решения задаются граничные условия описывающие взаимодействие объекта с окружающей средой или действие среды на его границе.

На границе объекта возможно сочетание граничных условий разного вида. Например, для задач теплопередачи:

-граничные условия 1-го рода - температура на поверхности,

-граничные условия 2-го рода – распределенный тепловой поток на поверхности,

-граничные условия 3-го рода – конвективный обмен (естественный или вынужденный),

-граничные условия 4-го рода – теплообмен излучением.

2.

Система граничных условий задается системой уравнений (**), которое однозначно определяет поле объекта и решение уравнения (*).

Вариационная постановка МКЭ.

Решение уравнения (*) с граничными условиями (**) эквивалентно нахождения минимума для

функционала (χ).

3.

Функционал χ представляет собой полную энергию системы:

-внутреннюю - в задачах теплопроводности

-или энергию упругой деформации в задачах упругости

В вариационной постановке решение (***) сводится к отысканию φ минимизирующего функционал. Аналитическое решение может быт найдено только для простейших тел. В общих случаях интегрирование не возможно.

Основные принципы МКЭ. 1. Дискретизация.

Т. к. взять интеграл для сложной функции φ и нерегулярной V и S не возможно, то в основе МКЭ лежит идея аппроксимации функции φ дискретной модели из множества кусочно-непрерывных функций φ.

4.

А геометрия объекта дискретным набором элементарных подобластей конечного размера и количества.