Поддержка инженерных решений1

Чем ближе значение k к единице, тем точнее математическая модель (вторичная) отражает протекающий процесс.

По своему влиянию неконтролируемые факторы можно разделить на:

-случайные

-систематические.

Действие случайных факторов проявляется в виде случайной ошибки эксперимента. Действие случайных факторов уменьшают за счет проведения параллельных опытов, т. е. опытов при одном и том же уровней факторов и последующем усреднении отклика.

Действие систематических факторов проявляется в систематическом (последовательном, однонаправленном) изменении отклика. На фоне систематического изменения входных воздействий {X} влияние систематического фактора можно принять воздействие экспериментатора. Для устранения систематического воздействия эксперимент ставят по рандомизированной схеме.

Пример рандомизированного эксперимента.

Необходимо получить зависимость давления напорной магистрали от частоты вращения насоса.

Манометр, которым измеряется давление, обладает гистерезисом или его стрелка заедает. Эксперимент проведенный по 1-ой схеме (рис. 1) - стохастический , а по 2-ой схеме рандомизированный. Уменьшить действие систематического фактора можно либо проведением эксперимента по схеме нагрузка-разгрузка, либо постановкой рандомизированного эксперимента. В последнем случае сокращается число опытов, а точность эксперимента за счет сокращения времени по крайней мере не меньше чем в первом случае.

Активный и пассивный эксперимент.

Эксперимент может проводиться по активной или пассивной схеме.

Активный эксперимент – исследователь изменяет условия проведения по своему усмотрению. Пассивный эксперимент – эксперимент, в котором исследователь в силу природы объекта исследования не может изменять условия проведения эксперимента, а лишь фиксирует в них.

Пример пассивного эксперимента:

Испытание стального образца на растяжение.

Факторный эксперимент (эффективнее классического). Проводится при числе факторов больше 1. Факторный эксперимент имеет меньшую трудоемкость при сопоставимой или более высокой точности. Меньше подвержен влиянию неконтролируемому фактору (выполняется быстрее). Результаты эксперимента (функция от многих переменных) нагляднее и удобнее в использовании. В факторном эксперименте все факторы изменяются одновременно в определенном порядке.

Лекция №6.

Функция отклика.

Функция отклика большинства реальных объектов - это гладкая непрерывная функция, которую можно аппроксимировать степенным рядом вида:

(1)

-i-ый фактор.

-взаимодействие факторов

–константа

Точность аппроксимации экспериментального процесса полинома (1) определяется числом его членов. Увеличение числа слагаемых эксперимента приводит к увеличению числа опытов в эксперименте. Поэтому для сокращения трудоемкости эксперимента стратегия его проведения заключается в постепенных наращиваниях сложности полинома (1) если точность аппроксимации оказывается недостаточной. При правильно построенном плане эксперимента экспериментальные данные, полученные для простой функции отклика сохраняются для подбора более сложной зависимости.

Полином (1) строится с использованием кодированных (нормированных) факторов X. функция отклика подобранная для кодированных факторов показывает степень влияния каждого фактора на отклик по величине коэффициента этого фактора.

Кодирование факторов выполняется в следующем порядке:

1)Изменяют масштаб фактора

-коэффициент фактора

2)Начало координат для фактора смещают в среднюю точку

сред

3) Текущее значение кодированного фактора

сред

сред

План эксперимента.

Под планом эксперимента понимается информация о числе и порядке выполнения опытов, а так же о тех значениях, которые должны принимать факторы в каждом опыте. Число опытов необходимых для определения аппроксимирующей зависимости определяется размерностью факторного пространства и степенью аппроксимирующего полинома.

Система (3) – это система уравнений связывающих значение факторов и отклика в каждом опыте с помощью аппроксимирующего полинома. Видом полинома мы задаемся, а коэффициенты полинома необходимо найти. После матричных преобразований получаем:

(4)

Рассмотрим, при каком условии возможна реализация стратегии усложнения аппроксимирующего полинома без потери экспериментальных данных.

Пример:

Пусть отыскиваются коэффициенты полинома.

По результатам N-опытов имеем:

Для простоты рассматриваемого случая:

Этот случай соответствует матрице В:

И матрица x состоящая из 1-ых двух столбцов транспонированной матрицы xt:

(4)

Вместо уравнения (4) рассмотрим уравнение (c*b), полученное из (4) умножением на c.

( )

Из системы ( ) видно что коэффициенты b зависимы друг от друга. Это значит, что при наращивании полинома в каждое уравнение системы ( ) будут добавлены новые коэффициенты. Следовательно, их придется заново пересчитывать.

В том случае, если матрица С имеет диагональную структуру, матрица (с*b) будет тоже диагональной, т. е. в каждое уравнение системы ( ) войдет только один коэффициент. Т. о., возможно независимое определение коэффициентов и пересчет при усложнении полинома не нужен.

Для того, чтобы матрица С была диагональной необходимо, чтобы сумма была равна 0:

Это значит, что уровни факторов в опытах должны быть симметрично относительно 0-ой точки. Матрица С должна удовлетворять условиям:

1. Иметь диагональную структуру для того, чтобы система (4) распадалась на независимые уравнения. Это обеспечивает независимое определение коэффициентов полинома b и возможность наращивать сложность аппроксимирующего полинома без пересчета матрицы С.

2. Для того чтобы система (4) имела решение матрица С должна быть невырожденной, т. е. все столбцы ее линейно независимы.

Для выполнения этих условий необходимо выполнять эксперимент в таком порядке, чтобы произведение любых 2-х столбцов матрицы X равнялась 0.

- i, j столбцы матрицы X. Выполняется для всех столбцов.

Учитывая, что 1-ый столбец единичный, необходимо чтобы сумма элементов любого столбца матрица X должна быть = 0.

(6)

Это означает, что при четном числе опытов значения факторов должно располагаться симметрично относительно 0-ой точки, а при нечетном должна использоваться 0-ая точка.

План

эксперимента

Планы, построенные в соответствие с выводом (6) называются ортогональными (т. к. столбцы матрицы X ортогональны).

В экспериментах, проведенных по ортогональным планам, коэффициент полинома вычисляют по формуле:

К таким планам относят планы полного и дробного факторного эксперимента.

План полного факторного эксперимента.

По схеме 2n.

n - число факторов.

2 – число уровней варьирования ПФЭ 22 – 2 фактора (X1, X2).

ПФЭ позволяет определить коэффициенты полинома для линейных членов и их взаимодействий.

Поэтому ПФЭ 2n – это планы 1-го порядка.

1.

С точки зрения уменьшения погрешности при подборе аппроксимирующего полинома уровни варьирования фактора выгоднее выбирать на границах диапазона (-1 и +1).

Количество опытов плана 2n = 2n.

Примеры ПФЭ 22.

Покажем на примере, что ПФЭ 2n не позволяет найти коэффициент полинома при квадратичных членах.

Попытаемся найти коэффициент полинома:

Составим таблицу плана эксперимента:

Методика заполнения столбцов плана ПФЭ 2n состоит в чередовании уровней факторов с последующем удвоением интервалов чередования от столбца к столбцу. Это правило действует для столбцов образующих план эксперимента (см. пример). Остальные столбцы получаются как результат произведения столбцов плана.

Особенности ПФЭ 22:

1. План содержит 4-е независимых столбца – это значит, что для того чтобы система имела решение столбцы и надо отбросить.

Для нахождения коэффициента при и исползуют планы 2-го порядка.

2.ПФЭ 2n позволяет определить коэффициент свободного члена, факторов образующих план и взаимодействия факторов.

Формула для определения коэффициентов:

3.Общее число определяемых коэффициентов полинома равно 2n.

Пример ПФЭ 23.

Факторов - , , . Опытов – 23= 8.

2 уровня варьирования. Максимально возможный полином.

Геометрическая интерпретация ПФЭ 23.

Пример применения ПФЭ 22.

Пусть в результате проведения эксперимента по плану из примера (1) были получены следующие экспериментальные данные.

Необходимо подобрать полином аппроксимации экспериментальных данных.

План 22.