Поддержка инженерных решений1

Задачи нелинейного программирования делят на 2 вида:

-условная оптимизация (существует система ограничений G),

-безусловная оптимизация (отсутствует система ограничений G),

Решение безусловных задач проще, поэтому существуют приемы приведения задач условной оптимизации к безусловной форме.

Метод штрафных функций.

1.

Целевую функцию задачи заменяем другой.

2.

Способы решения задач нелинейного программирования.

1. Линеаризация целевой функции и ограничений.

3.

2. Аналитические методы (дифференцирование).

4.

3.Методы поисковой оптимизации (неявный вид функции – функция сотоит из системы уравнений)

Методы поисковой оптимизации.

Для вычисления используется вычислительная техника. Такие методы называют методами спуска.

5.

Общий алгоритм методов поисковой оптимизации.

6.

Лекция №3.

Классификация алгоритмов по сходимости.

Сходимость характеризует скорость и устойчивость приближения к решению.

Выделяют:

-линейную сходимость – можно найти такое небольшое число q, при справедливости неравенства

1.

-со сверх линейной сходимостью – q является переменной величиной.

2.

-обладающих квадратичной сходимостью

3.

Классификация по порядку производной используемой для определения направления поиска.

Применяются методы:

-нулевого порядка (без вычисления производных)

-первого, второго и более высокого порядка с вычислением первой, второй и более высокой производных.

Расчет новой точки

Методы первого порядка.

Применяются том случае если функция дифференцирована, хотя бы один раз.

4.

Выбор величины шага влияет на сходимость поискового алгоритма.

Пример:

5.

Пример метода первого порядка с переменным шагом:

Переменный шаг позволяет увеличить скорость отыскания.

Метод наискорейшего спуска.

функции Ф, при этом осуществляется переход от переменной Х к переменой .

Переход от функции Ф(х) к функции Ф( ) всегда выполняется в конкретной (текущей) точке с использованием приближения (1). Тогда в выражение Ф( ) текущее х (х0) известно, градиент в этой точке известен, не известно лишь . Так как цель состоит в выборе максимально возможного шага приближающего нас к экстремуму, то выбирается из условия экстремума функции Ф( ).

7.

Пример:

Методом наискорейшего спуска будем минимизировать функцию.

8.

Методы второго порядка.

1. Метод Ньютона.

Функция аппроксимируется полиномом в точке xk с точность до второго полинома.

9.

Полином представляет собой ряд Тейлора или какой-нибудь другой. Точность аппроксимации выше, чем «глаже» исходная функция.

Отыскивается экстремум аппроксимирующего полинома. И находится новое приближение к решению.

В точке xk+1 аппроксимация повторяется.

Метод нулевого порядка не требующий поиска производной для нахождения решения.

10.

Заключается в попеременном движение по каждой оси до тех пор пока происходит улучшение функции в этом направлении. В случае ухудшения происходит смена координат.

Метод Нелдера-Мида.

11.

Размерность симплекса зависит от размерности факторного пространства. Симплексом может быть отрезок, треугольник, тетраэдр и т. д. В нашем случае симплекс – это равносторонний треугольник.

Схема работы алгоритма:

1.Симплекс «вбрасывается» в пространство варьируемых параметров произвольно, его положение соответствует точке начального положения (х0).

2.Выполняется расчет функции в вершинах симплекса и выбирается худшая вершина.

3.Худшая вершина отражается через противолежащую сторону. Таким образом, симплекс движется в сторону улучшения функции.

4.При устойчивом движение в одном направлении скорость движения увеличивают за счет увеличения геометрических размеров симплекса.

5.В том случае если при отражениях вершина опять оказалась худшей размеры симплекса уменьшают.

6.Поиск решения прекращается когда размеры симплекса станут меньше назначенной точности.

Пример решения задач нелинейного программирования с помощью Excel.

Необходимо минимизировать упругие перемещения фрезы консольного горизонтально-фрезерного станка, связанными с размерами стойки.

12.

Литература:

Каминская В. В., Левина З. М. – «Станины и корпусные детали».

Лекция №4.

Многокритериальная оптимизация.

Недостатки однокритериальной оптимизации:

1.Целевая функция не имеет физический смысл.

2.Поведение частных критериев не известно, а известно лишь то значение, которое каждый критерий принял после оптимизации. Таким образом назначить границы изменения для частных критериев возможно, но получить информацию об их изменении в полном объеме не удается.

Вмногокритериальной оптимизации эти недостатки отсутствуют.

Недостаток многокритериальной оптимизации:

…. Выполняет не формализованный алгоритм, а человек.

Технология многокритериальной оптимизации.

1.Зондирование пространства частных критериев.

Зондирование пространства частных критериев заключается в том, что в пространстве варьируемых параметров переходят от точки к точке и рассчитывают для каждой значение частных критериев. Эти значения сохраняют.

Процедура зондирования характеризуется:

1.Добротность – характеризуется подробностью (т. е. плотностью точки зондирования) и равномерностью – равномерным распределением точки зондирования.

2.Трудоемкость – затраты машинного времени.

Примеры процедуры зондирования:

1.Метод Монте-Карло.

Основан на работе генератора случайных чисел.

Например, для 2-х мерного пространства вирируемых параметров создаются два генератора случайных чисел, совместная работа которых позволяет получать точки внутри пространства варьируемых параметров. Т. е. один генератор формирует точки вдоль оси х1, а второй по оси х2, а на пересечении получаются точки в которых выполняется зондирование. Каждый генератор может реализовывать любой закон распределения случайной величины, но для

равномерного зондирования используется закон равномерного распределения. 1. Розыгрыш точки в ПВП 2. Вычисление ЧК в полученных точке

Недостатки:

1.Равномерность эксперимента наступает при большом числе циклов метода М-К.

2.Отсутствует повторяемость эксперимента.

Указанные недостатки привели к появлению «квази-случайных методов».

ЛП последовательность случайных точек зондирования.(«Наилучшие решения и где их искать»)

Достоинство:

1.Повторяемость эксперимента

2.Равномерность распределения эксперимента не зависит от количества точек. Координата точки зондирования вычисляется следующим образом.

3.

j 1 2… n

i

1 α11 α21 .

2 α12 α22 .

После выполнения зондирования пространства частных критериев любы из перечисленных методов, анализируют полученные решения.

Анализ решений.

При многокритериальной оптимизации появляется группа решений внутри которой нельзя однозначно выбрать наилучшее.

Например:

Если решение оценивается по 2 частным критериям Ф1 и Ф2 и каждый из них требует минимизации, то все возможные решения можно представить:

4.

Среди Парето - оптимальных решений не возможно выбрать наилучшее, например, решение А доминирует Б по критерию Ф1, но уступает ему по критерию Ф2. Все остальные решения не входящие в группу Парето - оптимальные заведомо хуже.

Рассмотрим случай, когда число факторов больше 2-х.

Оптимизация шпиндельной внутришлифовальной головки.

5.

Решение задачи сводится к следующим этапам:

1.Составление расчетной схемы.

2.Составление схем зондирования в пространстве варьируемого параметра, покажет при каких значениях в. п. проводить расчет.

3.Последовательный расчет вариантов конструкции (в точках зондирования) и определение значений Ф1-Ф5.

4.Обработка результатов выбор оптимального результата.

Схему зондирования удобно оформить в виде таблицы испытаний:

Ф – критерий.

i - № точки зондирования (№ расчета). 6.

… … …

…… … … …

Базовый вариант и варианты худшие отчеркиваются. Из вариантов лучше базового можно выделить: 24 – лучший по всем показателям; 32 – по 1, 2, 5 показателям занимает первое место, по 4 второе место, по 3 показателю необходим дополнительный анализ.

Решение задач оптимизации в случае, когда целевая функция не выражена формулой.

Существует класс оптимизационных задач относящихся к однокритериальным, когда целевая функция не представлена в явном виде. Тем не менее значение целевой функции для каждого конкретного решения может быть найдена в результате натурного или численного эксперимента. В этом случае проводится экспериментальные исследования, обработка которых направлена на получение недостающей функциональной связи между значениями варьируемых параметров и критериями оптимальности, которые затем объединяются в целевую функцию. Полученная зависимость используется для поиска оптимального решения.

Пример:

Необходимо обеспечить некруглость поршневых пальцев после обработки на бесцентровошлифовальном станке не более 1 мкм за счет внесения изменения в конструкцию станка.

7.

Схема образования погрешностей.

Будем считать, что геометрическая погрешность заготовки (некруглость) приводит к пропорциональному росту силы резания.

8.

На вход упругой системы станка приходят силовые возмущения а на выходе ∆N.

Передаточное отношение Wус описывает реакцию станка на входное воздействие в виде амплитуды колебания на собственных частотах. С фазовым смещением относительно входного воздействия. Так как на ∆N в первую очередь влияет амплитуда колебаний А, то Wус можно представить как:

9.

Для расчета амплитуды колебаний А составляется имитационная модель станка, например с помощью пакета ESW.

10.

После предварительного исследования базовой конструкции уточняем задачу оптимизации:

1.Ц. ф – А(f2)

2.Ограничения:

-статическая податливость не хуже чем в базовом варианте К∆ ≤ К∆0

-А (f1, f3) ≤ А0 (f1, f3)

3.Варьируемые параметры: y1, z2, y2, m1, m2, m3, m4, m5,

Кшл – учитывает степень остроты круга. Кз

Методика решения задачи:

11

4. Функциональная связь – каждому значению {Х} соответствует конкретное значение {Y}.

Коэффициент корреляции – численная связь между исследуемым явлением и входным воздействием.

(Галушко – «вероятностно статистические методы на транспорте».)

Коэффициент корреляции удобно использовать не только для анализа результатов эксперимента, но и для оценки точности вторичных математических моделей. В этом случае проверяется, на сколько хорошо коррелируют результаты расчета первичной и вторичной моделей, а величина коэффициента характеризует ошибку σ.

- отклик в i-ом опыте,

–среднее значение отклика (усредненное по всем откликам),

–значение фактора в i-ом опыте,

–значение отклика вычисляют с помощью вторичной математической модели.