Вопрос 19. Условие коллинеарности двух векторов

Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.

Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Вопрос 20. Направляющие косинусы произвольного вектора и орта

Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Вопрос 21. Скалярное произведение векторов и его свойства, скалярное произведение в координатной форме

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов  и  обозначается

где  — величина угла между векторами  и .

Скалярное произведение вектора самого на себя  называется скалярным квадратам.

 Свойства скалярного произведения:       

Вопрос 22. Ортогональные векторы, условие ортогональности двух векторов

Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны ( угол между ними равен П/2 ) или если хотя бы один из них равен нулю.

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Вопрос 23. Правая тройка векторов

Тройка векторов ,  и  называется левой, если поворот от вектора  к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки рис. 1

Тройка векторов ,  и  называется правой, если поворот от вектора  к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки рис. 2

Вопрос 24. Векторное произведение и его свойства, векторное произведение в координатной форме

Вектор  называется векторным произведением неколлинеарных векторов  и , если:

1) его длина равна произведению длин векторов  и  на синус угла между ними:  (рис.1.42);

2) вектор  ортогонален векторам  и ;

3) векторы , ,  (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение обозначается (или ).

Векторное произведение в координатной форме

Вопрос 25. Направляющий и нормальный векторы данной прямой

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Вопрос 26. Виды уравнений прямой на плоскости

1) векторное:

2) параметрическое:

3) каноническое:

4) параллельной оси у («вертикальной»): x=a

5) параллельной оси х («горизонтальной»): y=b

6) уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту:или

7)  уравнение прямой по двум точкам:

8) проходящей через данную точку данным нормальным вектором: А(х-х₀)+(у-у₀)=0

9) общее: Ах+Ву+С=0