Uchebnye_karty_Chast_2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

sin px + c .

cos px + c .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

Кафедра математики

Учебные карты. Часть 2

Интегральное исчисление. Функции многих переменных. Кратные интегралы. Элементы теории поля.

Дифференциальные уравнения. Ряды.

Магнитогорск 2006

Составитель: ст. препод. Н.И. Кимайкина

Учебные карты. Часть 2. Интегральное исчисление. Функции многих переменных. Кратные интегралы. Элементы теории поля. Дифференциальные уравнения. Ряды.

Магнитогорск: МГТУ, 2006.

В настоящем издании дан комплект учебных карт к главам программы по курсу «Высшая математика», которые изучаются во втором семестре. Учебные карты содержат весь существенный материал, составляющий ядро курса. Во введении изложена методика проведения практических занятий, когда в основу его положено введение структурной схемы алгоритмического построения изучаемого материала. Результатом занятия является учебная карта или страница по изучаемой теме.

Рецензент: Алиева Н.Г. к.п.н.

Оглавление


Введение.....................................................................................................................................			3
1.	Таблица производных............................................................................................................		4
2.	Таблица интегралов...............................................................................................................		5
3.	Методы интегрирования........................................................................................................		6
4.	Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен. ...............................................		7
5.	Интегралы от некоторых рациональных функций ...............................................................		8
6.	Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные функции .......................		9
7.	Несобственные интегралы ..................................................................................................		10
8.	Функции нескольких переменных........................................................................................		11
9.	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (n=2) ......................		12
10.		Задачи о массе фигуры .....................................................................................................	13
11.Криволинейный интеграл по длине дуги ...........................................................................			13
12.		Системы координат............................................................................................................	14
13.		Двойной интеграл...............................................................................................................	15
14.		Тройной интеграл...............................................................................................................	15
15.		Приложения интегралов по фигуре в геометрии .............................................................	16
16.		Приложение интегралов по фигуре в механике...............................................................	18
17.		Скалярное поле (стационарное) .......................................................................................	19
18.		Векторное поле. Характеристики векторного поля..........................................................	20
19.		Дифференциальные уравнения первого порядка ...........................................................	22
20. Виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение
порядка .....................................................................................................................................			23

21.Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с

постоянными коэффициентами ..............................................................................................		23
22.	Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка	с
постоянными коэффициентами ..............................................................................................		25
23.	Числовые ряды. Основные понятия .................................................................................	26
24.	Числовые ряды с положительными членами...................................................................	27
25.	Знакопеременные числовые ряды....................................................................................	28
26.	Функциональные ряды. Основные понятия......................................................................	29
27.	Степенные ряды.................................................................................................................	30
28.	Разложение функции в степенной ряд .............................................................................	30
29 .Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды.........................................		31
30.	Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.................................................	32

Введение

В курсе математики практическим занятиям отводится почти половина учебного времени, где студент должен: а) овладеть системой основных понятий; б) обучиться стандартному применению алгоритмов и способов решений различных классов задач; в) овладеть умением обобщать и творчески подходить к решению задач.

Упражнения обеспечивают усвоение, углубление и закрепление учебного материала, формируют умение и навыки. На упражнениях развивается одно из основных умений работать самостоятельно – умение выделять главное в изучаемом материале.

Учебные карты есть результат многолетней работы преподавателей кафедры высшей математики. Для обучения выделению главного в изучаемом материале предусматривается новая методика проведения практических занятий, которая рассчитана на самостоятельное изучение теоретического материала и составление студентами учебной карты или справочной страницы по изучаемой теме, облегчающей решение типовых задач и усвоение теоретического материала. Процесс обучения как бы делится на три этапа.

1 этап. Кроме выдачи обычного домашнего задания по закреплению пройденного материала, преподаватель указывает тему следующего занятия и выдает студентам вопросы, по которым они первично обрабатывают теоретический материал. Эти вопросы ориентируют студентов на отбор основных теоретических понятий, выделению типовых задач, выработку способов их решений. Результатом этого этапа является черновик так называемой учебной карты.

2 этап. На занятии содержание учебной карты обсуждается, уточняется. Окончательно выработанным вариантом студент пользуется в процессе занятия. Появляется возможность составить более краткую справочную страницу по изучаемой теме.

3 этап. Работая дома по закреплению материала, окончательный вариант учебной карты студент заносит в специальную тетрадь и впоследствии по мере надобности пользуется ею.

Комплект учебных карт создается по всему курсу. В сжатой символической форме с необходимыми геометрическими иллюстрациями в них отражен математический аппарат, необходимый для решения задач. Учебная карта – алгоритмическая схема построения изучаемой темы – не обязательно должна иметь застывшую форму. Она-плод совместной работы студентов с преподавателем.

Комплект учебных карт издан к главам программы курса «Высшая математика», включающим материал второго семестра, и может быть рекомендован как наглядное пособие на 2-м этапе занятия и как методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов для преподавателей.

1. Таблица производных

Элементарные функции

Сложные функции

1. (xn )′ = nxn−1

а. x′ = 1

(U n )′= nU n−1 U′

1 ′

= −

′

Степенные функции

= −

c. (n

)′ =

nn xn−1

( U )′ =

′

d. (

)′ =

2 U

Показательные

2. (ax )′

= ax lna

(aU )′

= aU ln a U ′

функции

а. (ex )′ = ex

(eU )′

= eU U ′

3. (sin x)′

= cosx

(sinU )′

= cosU U ′

4. (cosx)′

= −sin x

(cosU )′

= −sinU U ′

Тригонометрические

5. (tgx)′ =

(tgU )′ =

U ′

функции

cos2 x

cos2 U

6. (ctgx)′ = −

(ctgU )′ = −

U ′

sin2 x

sin2

7. (log

x)′ =

x ln a

Логарифмические

′

U ′

функции

′

(lnU ) =

a. (ln x) =

8. (arcsin x)′ =

1− x2

(arcsinU )′ =

9. (arccos x)′ = −

U ′

Обратные

1− U

1− x2

тригонометрические

(arctgU )′ =

U ′

функции

10. (arctgx)′ =

1+ U 2

+ x2

11. (arcctgx)′ = −

+ x2

12. (shx)′

− e

−x

= chx

13. (chx)′

+ e−x

′

= shx

Гиперболические

′

функции

′

sh x

14. (thx)

ch x

′

ch x

′

15. (cthx)

= −

sh x

(C)′ = 0

(U ± V )′ = U ′ ± V ′

(CU )′ = C U ′

(U V )′ =U ′ V + V ′ U

Правила

′

′ V −V ′ U

′

дифференцирования

;

(U V )

= VU V −1 U

′ + U V lnV V ′

V 2

2. Таблица интегралов

Элементарные функции

Сложные функции

∫xαdx =

xα+1

+ c, α≠−1

∫U αU′dx = ∫U

αdU =

U α+1

+ c

α +1

α≠−1

а.

∫dx = x + c,

Степенные

U′dx

= −

+ c

функции

= −

+ c ,

∫U 2

∫

U 2

∫ x2

d. ∫

U′

∫

dx = 2

+ c

= 2

x + c.

2. ∫axdx =

+ c ,

2. ∫aU U′dx =

+ c

Показательны

lna

е функции

lna

∫exdx = ex + c.

a. ∫eU U′dx = eU + c

∫cosxdx = sin x + c

∫U′cosU dx = sinU + c

Тригонометри

∫sin xdx = −cos x + c

∫U′sinU dx = −cosU + c

U′

ческие

∫

= tg x + c

5. ∫

dx = tgU + c

функции

cos

∫

= −ctg x + c

∫

U′

dx = −ctgU + c

sin2 x

sin2 U

Логарифмичес

∫

= ln

+ c

7a. ∫

U′

= ln

+ c

кие функции

∫

= arcsin x + c

∫

U′

dx = arcsin

+ c

1− x2

a2 −U 2

9. ∫

= arcsin

+ c = −arccos

+ c

Обратные

a2 − x2

тригонометрич

U′

еские функции

10. ∫

= arctg x + c = −arcctg x + c

10. ∫

dx =

arctg

+ c

+ x

11. ∫

arctg

+ c

+ x

12. ∫ch xdx = sh x + c

18. ∫

= ln

x +

x2 ± k

+ c

13. ∫sh xdx = ch x + c

x2 ± k

a + x

Гиперболичес

14. ∫

= th x + c

19. ∫a2 − x2 =

2a ln

a − x

+ c

кие функции

ch x

20. ∫

= ln

+ c

15.

= −cth x + c

sin x

∫sh2x

21. ∫

16. ∫tg xdx = −ln

= ln

+ c

Правила

cos x

+ c

дифференцир

17. ∫ctg xdx = ln

cos x

sin x

+ c

ования

∫ f (x)dx = F(x)+ c, где F′(x)= f (x)

3. Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

2. Замена переменной (подстановка)

3. Интегрирование по частям

Выполняется:

Применяется:

∫UdV = UV − ∫VdU

1. По таблице интегралов и свойствам:

1. При интегрировании некоторых классов функций:

а)

∫

(

x dx =

∫

(

)

= F

)

+ c

f (x)dx =

x = ϕ(t)

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt .

eBx

Pn (x)=U

dU = Pn′(x)dx

)

(

∫

∫Pn (x)

dx = ϕ′(t)dt

cosBx

eBxdx = dV

V =

∫

eBx dx

∫[αf (x)± βϕ(x)]dx = α∫ f (x)dx ± β∫ϕ(x)dx

б)

2. При наличии дифференциальной связи:

sin Bx

∫ f (ax + b)dx =

F(ax + b)+ c

U(x)

= t

ln x

dU = U

′dx

в)

∫ f (U )U ′dx =

= ∫ f (t)dt

∫Pn (x)

ln x

U =

arctg x

V =

∫

(x)dx

2. С использованием преобразований:

U ′dx

= dt

arctg x

dx =

arcsin x

(за новую переменную принимают функцию, от которой в

а) почленное деление; б) выделение целой части;

dV = Pn (x)dx

подинтегральном выражении есть дифференциал)

в) применение тригонометрических тождеств г) выделение полного квадрата

4. Стандартные приемы и подстановки при интегрировании некоторых классов функций

а) рациональные дроби

б) тригонометрические выражения

в) иррациональные выражения

1. Простейшие дроби

(x + a)−k+1

Универсальная подстановка

1. Линейная иррациональность

2dt

∫

= ln

+ a

+ c .

II.

∫

+ c .

= t,

dx =

∫R x,

(ax + b)

,...,

(ax + b)

+ a

1− k

1+ t

+ a)

Ax + B

∫R(sin x,cos x)dx =

1− t

ax + b = t p

Ax + B

III.

∫

+ px

dx .

IV.

∫

dx , D = p

− 4q < 0 .

sin x =

+ t

, cos x =

1+ t

- наименьший общий

+ q

(x2 + px + q)

p−1

, где

Частные случаи:

Алгоритм преобразования дробей вида III и IV:

1.1. ∫R(sin x,cos x)dx =

cos x = t, − sin xdx = dt

+ px + q =

+ a

x =1− t

знаменатель

1) Выделить полный квадрат:

sin

,...,

R(−sin x,cos x) = −R(sin xcos x) - нечетная относительно « sin x »

2. Квадратичные иррациональности.

2) Применить подстановку: x +

= t x = t −

dx = dt.

1.2. ∫R(sin x,cos x)dx =

sin x = t, cos xdx = dt

2.1.

cos2

x =1− t2

3) Разложить на два интеграла вида: 7а, 11 (табличные).

x = asint

R(sin x,−cos x) = −R(sin xcos x)

4) Для дроби вида IV применить формулу:

∫R x,

− x

= dx = acost dt

= ∫r(t)dt

∫

2k − 3

нечетная относительно « cos x »

Ik−1 .

− x2

= acost

2a2 (k −1)

k−1

2k − 2

+ a

)

+ a

)

tg x

= t,

dx =

2.2.

+ t

Pm (x)

1.3. ∫R(sin x,cos x)dx =

2. Рациональные дроби вида

x = atg t,

dx =

Qn (x)

x =

sin

cos

cos2 t

1+ t

∫R x,

+ x

= ∫r(t)dt

Алгоритм интегрирования:

R(−sin x,−cos x)= R(sin xcos x)

- четная в совокупности.

a2 + x2

1. Если дробь неправильная (m > n) , то выделить целую часть.

cost

2. ∫sinm x cosn xdx , где m и n четные, m,n Z

2. Разложить знаменатель Qn (x)

на простые множители:

2.3.

Применить формулы понижения:

asint

Qn (x) = (x − x1 )(x − x2 ) ...(x

+ px

+ q).

x =

dx =

cos t

cos

− cos2x), cos

(1+ cos2x),

∫r(t)dt

3. Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей

sin

x =

sin x cos x =

sin2x

∫R x,

− a

asint

f (x)

Cx + D

− a

(x − x1 )(x − x2 )k ...(x2 + px + q)

x − x1

x − x2

(x − x2 )2

+ ...+

(x − x2 )k

+ ...+

x2 + px + q

(*)

∫sin mx cosnxdx =

∫[sin(m − n)x + sin(m + n)x] dx

Ax + B

cost

Привести

правую

часть

равенства

(*)

к общему

знаменателю

и уравнять

3. ∫

∫[cos(m − n)x − cos(m + n)x]dx

числители левой и полученной правой частей

∫sinmx sinnxdx =

x2 + px + q

Смотри алгоритм интегрирования дроби вида III.

5. Найти коэффициенты A, B, B

,...,C, D , применив к целому выражению:

Сводится к интегралам 1, 9, 18 таблицы №2

а) метод частных значений (x = x1, x = x2 ,...) ;

∫cosmx cosnx dx =

∫[cos(m − n)x + cos(m + n)x] dx

4. ∫

б) метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях;

(x − a)

4. ∫tgn xdx , ∫ctgn xdx

+ px + q

6. Проинтегрировать простейшие дроби.

Применяется: tg2x =

− 1, ctg2x =

−1

x − a =

- обратная подстановка.

cos2 t

sin2 x

4. Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

Обозначение: X = ax2 + bx + c,

= 4ac − b2

arctg

2ax

+ c, для

> 0

1. ∫

2ax + b −

−

+ c, для

< 0

−

2ax + b +

−

2. ∫

2ax + b

∫

+ c (см. 1).

3. ∫

xdx

−

∫

+ c (см. 1).

4. ∫

xdx

= −

bx + 2c

−

∫

+ c (см. 1).

5. ∫

x2dx

−

− 2ac

∫

+ c (см. 1).

6. ∫

x2dx

= (b2 − 2ac)x + bc +

∫

+ c (см. 1).

7. ∫

−

∫

+ c (см. 1).

x X

+ c, для a > 0.

+ 2ax + b

8. ∫

2ax + b

arcsin

+ c, для a < 0,

< 0.

−

− a

−

dx = (2ax + b)

9. ∫

∫

+ c (см. 8).

b (2ax + b)

10. ∫x

∫

X dx =

−

X −

+ c (см. 8).

16a

11. ∫x2

5b2 − 4ac

∫

X dx =

x −

X dx + c (см. 9).

16a

12. ∫

dx =

−

∫

+ c (см. 8).

13. ∫

3b2

− 4ac

∫

dx =

−

X +

+ c (см. 8).

∫

± a

dx =

± a

x +

± a

+ c.

14.

15.

∫x

± a

dx =

± a

)

± a

x +

± a

+ c.

∫

a2 − x2 dx =

− x2

+ a2 arcsin

+ c .

16.

17.

∫x2

− x2 dx = −

(a2

− x2 )

− x2

+ a2

arcsin

+ c .

5. Интегралы от некоторых рациональных функций

Обозначение:

= b f − a q .

1. ∫

ax + b

dx =

fx + q

+ c .

fx + q

2. ∫

fx + q

+ c, ( ≠ 0).

(ax + b)(fx + q)

ax + b

xdx

3. ∫

ax + b

−

fx + q

+ c ,

( ≠ 0).

(ax + b)(fx + q)

fx + q

4. ∫

+ c, ( ≠ 0).

(ax + b) (fx + q)

ax + b

5. ∫

−

a + x

+ c , (a ≠ b).

(a − b)(b + x)

b + x

+ x)(b + x)

(a − b)

6. ∫

−1

a + x

+ c , (a ≠ b).

+ x

b + x

+ x) (b + x)

− b)

(a − b)

7. ∫

xdx

a + b

a + x

+ c , (a ≠ b).

+ x

b + x

+ x) (b + x)

− b)

(a − b)

x2dx

−1

2ab

a + x

8. ∫

+ c , (a ≠ b).

+ x) (b + x)

− b)

+ x

(a − b)

b + x

9. ∫

= ±

(a ± x)2

arctg

2x M

+ c.

3 3

± x

M ax + x

a 3

10.

∫

xdx

= ±

a2 M ax + x2

arctg

2x M a

+ c.

± x

a 3

(a ± x)

a 3

∫

+ c .

11.

x(a3 ± x3 )

3a3

a3 ± x3

∫

xdx

12.

x2(a3 ± x3)= −

+ c.

a3x

a3 ± x3

∫

xdx

13.

arctg

+ c.

+ x

14.

∫

x2 + ax

+ a2

arctg

ax 2

+ c .

+ x

− ax 2 + a

− x

∫

a + x

+ c .

15.

arctg

− x

a − x

16.

∫

xdx

a2 + x2

+ c .

− x

17.

∫

x2 dx

a + x

−

arctg

+ c .

− x

6. Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные функции

1.∫xcos pxdx =

2.∫xsin pxdx =

2	2x		x2		2
3. ∫x cos pxdx =
					−
	p	2	cos px +	p	−		3	sin px + c.
	p			p		p

∫x

sin pxdx =

2 sin px +

−

cos px + c.

3x2

∫x

cos pxdx =

−

4 cos px +

sin px + c .

3x2

∫x

sin pxdx =

−

sin px

3 cos px + c .

∫eax cos pxdx =

eax

(acos px − psin px)+ c

+ p

∫eax sin pxdx =

eax

(asin px − pcos px)+ c .

+ p

∫shaxcos pxdx =

(achaxcos px + p shaxsin px)+ c .

+ p

10.

∫shaxsin pxdx =

(achaxsin px − p shaxcos px)+ c .

+ p

11.

∫chaxcos pxdx =

(ashaxcos px + pchaxsin px)+ c .

+ p

12.

∫chaxsin pxdx =

(a shaxsin px − pchaxcos px)+ c .

+ p

∫xe

13.

−

+ c .

dx =

∫x

14.

dx =

−

+ c.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2019190.46 Кб2Tx_3_Dec_Zan.doc
#
16.11.2019250.37 Кб3Tx_5_ Dec_Zan.doc
#
31.07.20192.3 Mб16TYeHNOLOGIChYeSKIJ_PROTsYeSS_PROIZVODSTVA_SLYaB....doc
#
20.11.20191.81 Mб217Uchebnoe_posobie_po_okhrane_truda.doc
#
11.02.2015778.78 Кб28Uchebnye_karty_Chast1.pdf
#
11.02.20151.24 Mб27Uchebnye_karty_Chast_2.pdf
#
27.11.2019482.3 Кб30UMK_GMU.doc
#
11.02.20156.48 Mб34Untitled.FR11.doc
#
16.12.2018149.5 Кб53upravlenie_personalom_kursovaya_rabota_2011.doc
#
21.08.2019307.71 Кб28Upravlenie_ZhKKh.doc
#
27.11.201948.13 Кб25US GEOGRAPHY.doc