Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Uchebnye_karty_Chast1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

778.78 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Магнитогорский государственный технический университет им.Г.И.Носова”

Кафедра математики

УЧЕБНЫЕ КАРТЫ

по темам

“Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.

Приложения производной” дисциплины “Математика” для студентов всех специальностей

Магнитогорск

2011

Составители: Н.И. Кимайкина В.А. Коротецкая

Учебные карты по темам “Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Введение в математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной. Приложение производной.” дисциплины “Математика” для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2011. 35 с.

Предложен комплект учебных карт к первым четырем главам программы по курсу “Математика”. Учебные карты содержат весь существующий материал, составляющий ядро курса. Во введении изложена методика проведения практических занятий, когда в основу его положено выделение структурной схемы алгоритмического построения изучаемого материала. Результатом занятия является учебная карта по изучаемой теме.

Рецензент Н.Г.Алиева

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..............................................................................................…………………………. 4

1.Обозначения, символика......................................................................………………………... 5

2.Некоторые сведения по алгебре. ................................................................…………………... 6

3.Графики элементарных функций. ............................................................…………………..... 7

4.Комплексные числа. ..............................................................................………………………. 8

5.Определители и их вычисление. Свойства определителей. Понятие матрицы........……… 9

6.Операции над матрицами. ..........................................……………………............................... 10

7.Система линейных уравнений (с.л.у.). ...................................................…………………...... 11

8.Простейшие задачи на линейные операции над векторами.........…………………………... 12

9.Скалярное произведение векторов. Типовые задачи...................................……………….... 13

10.Векторное произведение векторов. Типовые задачи..................................………………..... 14

11.Смешанное произведение векторов. Типовые задачи ........................……………................ 15

12.Нелинейные операции над векторами.................................................………………….......... 16

13.Линейное пространство, его базис..........................................................…………………....... 17

14.Линейные операторы ..............................................................................……………………… 18

15.Евклидово пространство. ..................................................................……………………......... 19

16.Прямая на плоскости………………………............................................................................... 20

17.Плоскость. ..........................................................................................………………………….. 21

18.Прямая линия в пространстве. ......................................................……………………............. 22

19.Прямая линия и плоскость в пространстве..............................………………......................... 23

20.Кривые второго порядка. ...........................................................……………………................ 24

21.Классификация поверхностей 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей…… 25

22.Системы координат. .....................................................................……………………….......... 26

23.Важнейшие кривые. ................................................................................……………………… 27

24.Понятие функции. ..............................................................................………………………..... 28

25.Предел функции....…………………………............................................................................... 29

26.Непрерывные функции. ........................................................................……………………..... 30

27.Производная функции y=f(x)................................................................……………………..... 31

28.Таблица производных и правила дифференцирования.......…............................…………… 32

29.Вектор-функция скалярного аргумента.....................................................………………....... 33

30.Полное исследование функции и построение графиков….....................…………................. 34

31.Графическое дифференцирование функции, заданной графиком ..……….……….............. 35

ВВЕДЕНИЕ

В курсе математики практическим занятиям отводится почти половина учебного времени, где студент должен: а) овладеть системой основных понятий; б) обучиться стандартному применению алгоритмов и способов решений различных классов задач; в) овладеть умением обобщить и теоретически подходить к решению задач. Упражнения обеспечивают усвоение и закрепление учебного материала, формируют умения и навыки. На упражнениях развивается одно из основных умений: работать самостоятельно — умение выделять главное в изучаемом материале.

Учебные карты — это результат многолетней работы группы преподавателей кафедры математики. Для обучения выделению главного в изучаемом материале предусматривается новая методика ведения практических занятий, которая рассчитана на самостоятельное изучение теоретического материала и составление студентами учебной карты или справочной страницы по изучаемой теме, облегчающей решение типовых задач и усвоение теоретического материала. Процесс обучения как бы делится на три этапа.

I этап. Кроме выдачи обычного домашнего задания по закреплению пройденного материала, преподаватель указывает тему следующего занятия и выдает студентам вопросы, по которым они первично обрабатывают теоретический материал. Эти вопросы ориентируют студентов на отбор основных теоретических понятий, выделение типовых задач, выработку способов их решений. Результатом этого этапа является черновик так называемой учебной карты.

II этап. На занятии содержание учебной карты обсуждается, уточняется. Окончательно выработанным вариантом учебной карты студент пользуется в процессе занятия. При усвоении содержания учебной карты появляется возможность свернуть и учебную карту — составить более краткую справочную страницу по изучаемой теме.

III этап. Работая дома по закреплению материала окончательный вариант учебной карты студент заносит в специальную тетрадь и впоследствии, по мере надобности, пользуется ею.

Таким образом, комплект учебных карт создается по всему курсу. В сжатой символической форме с необходимыми геометрическими иллюстрациями в них отражен математический аппарат, необходимый для решения задач.

Учебная карта - алгоритмическая схема построения изучаемой темы — не обязательно должна иметь застывшую форму. Она — плод совместной творческой работы студентов с преподавателями.

Комплект учебных карт издан к первым четырем главам программы по курсу “Математика”, включающим материал первого семестра, и может быть рекомендован как наглядный материал на 2— м этапе занятия, и как методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов для преподавателей. В издании содержится справочный материал из элементарной математики.

1. Обозначения, символика

Обозначения,	Названия
символы	Названия
символы
{x / P(x)}	множество,элементыкоторогообладают свойствомР(х)
N	множествовсехнатуральныхчисел,	N ={1,2,3,...}
Z	множествовсехцелыхчисел, Z ={...− 3,−2,−1,0,1,2,...}
Q	множествовсехрациональныхчисел,	Q = {mn , m, n Z , n ≠ 0}

Rмножествовсехдействительныхчисел,числоваяпрямая

R2	числоваяплоскость,	R	2	= {(x, y) x R, y R}
R2	числоваяплоскость,		2	/
R3	числовоепространство,			R3 ={(x,y,z)/x R,y R,z R}
	пустоемножество
	знак пересечения

	знак объединения

знакпринадлежности

знак включения

знак следования

тогда и только тогда, когда (необходимо и достаточно)

Всякий,любой (кванторвсеобщности)

Е	существует(кванторсуществования)
Е
D(f)	областьопределения функцииy=f(x)
D(f)
E(f)	множествозначенийфункцииy=f(x)
E(f)
n!	n-факториал-произведение первых nнатуральных чисел,
n!
n	n!=1.2.3.4...n
∑ai	сумма, в которой i изменяется от 1 до n
i=1
n	произведение чиселa1,a2,;,an
Пai	произведение чиселa1,a2,;,an
;i=1	и; или

Некоторые часто встречающиеся постоянные

Постоянная										Приближенное			Постоянная													Приближенное
Постоянная										значение			Постоянная													значение
		π								значение										π						значение
										3,141593										π						4,810477
										3,141593								e		2						4,810477
		π																e				1
	3									1,047198			e		−π				=			1				0,043214
	3												e						=				π			0,043214
		π																	π			e
		π								0,785398					e−				2			=			1
	4									0,785398					e−				2			=			π	0,207880
		π								0,523599			e−		1								e	2		0,207880
	6									0,523599					2 =							1				0,606531
	6														2 =								e			0,606531
		π								1,570796													e
			2							1,570796						2										1,414214
			2
0	=					π			рад.	0,017453 рад
0						π
1			180													3										1,732051
1			180																							1,732051
1 рад			=					180 0		570,295780
1 рад			=						π	570,295780						1										0,707107
			1'							0,000291 рад						2										0,707107
			1'							0,000291 рад						2
			1''							0,000005 рад						1										0,577350
			1''							0,000005 рад						3										0,577350
			1													3
			1							0,318310			ln				π
						π				0,318310			ln				π									1,144730
						π																				1,144730
							π 2			9,859604			ln			2										0,6931
							π			1,772454			ln			2										0,6931
							π			1,772454			ln			100										4,6052
													ln			100										4,6052
				2π						2,506628			M = lg									e				0,434294
							π			1,253314	1		=		1						= ln 10					2,302585
					2					1,253314	1				1
					2							M		lg e
	3 π									1,464592		M		lg e												0,841471
	3 π									1,464592			sin 1
			1										sin 1
			1							0,564190			cos1													0,540302
							π			0,564190
							π
			1							0,101321				tg					1							1,557408
				π2						0,101321				tg					1							1,557408
				π2									ctg1													0,64209
			1							0,398942			ctg1													0,64209
			1
							2 π						5!													120
							2 π

			2							0,797885
						π				0,797885					6!											720
						π									6!											720
						e				2,718282			7!													5040
													7!													5040
						e2				7,389056					8!											40320

							e			1,648721
							e			1,648721			10!													3628800
			1										10!													3628800
			1							0,367879
						e				0,367879			27													128
						e
					1
					1					0,606531
					e 2					0,606531					29											512
						eπ				23,140693			210													1024

2. Некоторые сведения по алгебре

Формулы сокращенного умножения

1.( a ± b )2 = a 2 ± 2 ab + b 2

4. a3 ± b 3 = (a ± b )( a 2

ab + b 2 )

2. (a2 − b2 ) = ( a + b )( a − b )

5.(a + b

± c)2 = a2 + b2 + c2 ±

2 ab ± 2ac

2bc

6. Бином Ньютона(a + b)

n−1

n(n − 1)

n−2 2

3.(a ± b)

3 ab

= a

+ na

b +

± 3a b

± b

n(n − 1)( n − 2)

n−3

n−1 2!

+ ...

+ nab

+ b

Действиянадстепенями

1. ( a b )n = a n b n

5. a

n + m

a n

(b ≠ 0)

a n

n − m

6 .

b n

3. a 0 = 1; а ≠ 0

7 .( a m )n = am n

4. a −n =

; а ≠ 0

8 . a n

a m

Уравнения

Вид

Разложение

Корни

+ bx

+ c

= 0

a ( x − x )( x − x ) = 0

x1, 2 =

− b ±

b 2

− 4 ac

1. ax

2 a

2. x 3 − a 3 = 0

( x − a)( x 2 + ax + a 2 ) = 0

x = a ; x2 ,3 =

− a ±

3. x 3 + a 3 = 0

( x + a )( x 2 − ax + a 2 ) = 0

x1 = − a ; x

a ± 3ai

2 ,3

( x 2 − a 2 )( x2 + a 2 ) = 0

4. x 4 − a 4 = 0

x = a ;

= − a;

x = ai ; x4 = −ai

Теоремы о логарифмах

alog aN = N

(a > 0)

4. log( N n )

= n log a N ; N > 0

log a ( N1 N2 ) = log a

N1 + log

a N 2; N1,N2 > 0

5. log

log

6 .

log

, в частности

3. log

log

−

log

; N ,N > 0

log

N 2

1 2

log

Прогрессии

1.Арифметическая

= a

+ d ( n − 1)

S n =

( a1

+ a n ) n

2.Геометрическая

= b

qn −1

S n

− bn q

− q

3. Бесконечно убывающая

< 1

S =

геометрическаяпрогрессия

1 − q

Некоторые сведения по тригонометрии

	Значениятригонометр.функций
	ϕ	0	π	π	π	π	π	3 π	2π
	ϕ	0	π	4	3	2	π	3 π	2π
			6	4	3	2		2
f ( x)		00	300	450	600	900	1800	2700	3600
		0	1	2	3	1	0	−1	0
sin	α	0	2	2	3	1	0	−1	0
			2	2	2
cos α		1	3	2	1	0	−1	0	1
cos α		1	2	2	2	0	−1	0	1
			2	2	2
	α	0	3	1	3	−	0	−	0
tg	α	0	3	1	3	−	0	−	0
			3
ctg	α	−	3	1	3	0	−	0	−
					3

Определение главныхзначений обратныхтригонометрических функций

			π		π
arcsin m		−	2		2	m [− 1,1 ]
			2		2	m [− 1,1 ]
	m) = m
sin (arc sin	m) = m
arccos m [0, π ]						m [− 1,1]
	m) = m
cos (arccos	m) = m
	(−	π		π
arctg m			,		(	m (− ∞, + ∞ )
arctg m			,
		2 2

tg (arctg m) = m
arcctg m (0, π )						m (− ∞ ,+ ∞ )
	m ) = m
ctg ( arcctg	m ) = m

Форму лы преобразования алгебраических су мм

тригонометрических фу нкций в произведения и произведений в су мму

sin

α +

sin

β = 2

sin

α + β

cos

α − β

sin (α ± β )

tg α ± tg β =

ϕ ≠ ( 2 π + 1)

cos α

cos β

sin

α −

sin

β = 2

cos

α + β

sin

α − β

sin α sin β =

[cos (α − β ) − cos ( α + β ) ]

α +2β

α − 2β

[cos (α − β) + cos (α + β) ]

cos α +

cos β = 2 cos

cos α cos β =

cos

cos α − cos β = − 2 sin

α + β

sin

α − β

sin α cos β =

[sin (α − β ) + sin (α + β) ]

Тригонометрические теоремы сложения и следствия из них

sin( α ± β ) = sin α cos β ± cos

α sin β

sin 2 α =

1 − cos 2 α

cos( α ± β ) = cos

α cos

β ±

sin α sin β

α2

cos

α =

1 + cos 2 α

; tgα =

2tg

( α ± β )

α ± tg

1 − tg

tg α

tg β

2 tg

sin α =

α ≠ ( 2

π + 1)

sin

2 α = 2 sin

α cos

+ tg

1 − tg

α2

cos 2α =cos

α − sin

α = 2 cos

α −1 =1 − 2 sin

cos α =

2 α

α ≠ (2π + 1) π

1 + tg

Простейшие тригонометрические уравнения (n=0, 1, ±2, ...± )

Уравнение		Решение уравнения
	в общем виде	m=-1	m=0	m=1

sin

x =

m,m [− 1,1]

x = ( − 1) n arcsin

x + n π

x = (4 n

− 1 )

= n π

x = (4 n + 1)

cos

x =

m, m [− 1,1]

= ± arccos m

+ 2 n π

x = (2 n + 1 )π

x = (2n +1) 2π

x = 2 n π

m, m (− ∞,∞)

= arctg m + n π

x = (4 n

− 1 )

x = n π

x = (4n + 1)

ctg

m, m (−∞,∞)

x = arcctg m + n π

x = (2 n

+ 3 )

x =

(2n +1)

x = (4 n + 1)

3. Графики элементарных функций

Степень функции у=xa

Тригонометрические

Обратныетригономе-

Показательные

Логарифмические

функции

трическиефункции

функции

K=2

K=1

2π

2 π

-1

1 x

-1

− 2

K=3

K=2

y=ex

y=lgx

y=lnx

-1

y=10x

y=x2k-1

y=sinx

y=arcsinx

y=x2k

y=10-x

y=e-x

y = log 1

= log 1 x

K=2

Гиперболические функции

K=1

3πx

K=1

-1

y = 1

y =

y=cosx

y=arccosx

= sh x =

ex − e−x

y = ch x =

ex + e− x

x2k

x2k−1

K=1

K=2

-1

−π -

0 π

π x

-1

- 2

−x

y = cth x = e x + e−x

y=arctgx

y = th x = ex

− e−x

y = ± x 2k

= ±2k

y = x2k −1 = 2k−1 x

y=tgx

+ e

e x − e−x

Преобразованияграфикафункцииy=f(x)

вверх при b > 0

1. y=f(x)+b - сдвиг y=f(x) по оси OY на «b»

при b < 0

- π

π x

вниз

-1

2. y=a.f(x) - растяжение (сжатие) y=f(x) по оси OY в «a» раз

y = ± x2

вправо

а > 0

y = x

( y

= x

)

3. y=f(x-a) - сдвиг y=f(x) по оси OX на «а»

при

< 0

или

x= t3

= x )

y=arcctgx

влево

при а

= t

y=ctgx

y = t2

или

= t3

4. y=f(kx) - сжатие (растяжение) y=f(x) по OXв «k»раз

мнимая ось

5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ

Определитель 2 порядка

Определитель 3 порядка

Определитель n порядка

Минор, алгебраическое дополнение элемента aij

a11

a12

a11a12 ... a1n

..a

j .

2 =

a21

a22

3 =

a21

a22

a23

a21 a22 ... a2n

= a

+ a

+ ...

+ a

..a

2 j

..a

a31

a32

a33

.......... .......

21 21

...

= a11a22

− a21a12

an1an 2 ... a nn

ai1 ai2

aij

ain

= a11

a22

a23

− a21

a12

a13

+ a31

a12 a13

где A

i1- определитель (n-1)порядка, который

..a

..a n

n1 n2 .

nj .

получаетсявычеркиванием

Минор M - определитель (n-1) порядка, который

первого столбца иi-й строки

получается вычеркиванием i-й строки

= a11a22 a33 + a21 a32 a13 + a31a12 a23 −

и умножением на (-1)i+1

j - го столбца.

A = (−1)i+ j M

− a

(алгебраическое дополнение элементаa i1)

Алгебраическое дополнение

Сумма произведений элементов двух и более строк определителя нанекоторые числа называется линейной комбинациейэтих строк

определителй

а) одна из строк (или один из столбцов) состоит из нулей;

1. Определитель равен нулю, если:

б)элементынекоторойстроки(столбца)пропорциональнысоответствующимэлементамдругойстроки(столбца);

(Вчастности,приравныхсоответствующихэлементахв двухстроках(столбцах));

в) однаиз строк (столбцов)есть линейнаякомбинация других строк(столбцов);

2. Определитель не изменится, если

а)заменитьстрокистолбцами;

б)кэлементамнекоторойстроки(столбца)прибавитьсоответствующиеэлементы

Свойства

другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число

3. Общиймножитель всех элементов строки (столбца) можно выноситьза знак определителя

4.Определитель изменит знакпри перестановкеместамидвух строк(столбцов)определителя

МАТРИЦЫ, ИХ РАЗНОВИДНОСТИ

Определение

a11 a12 ...a1n

Таблица чисел, расположенных в mстроках и в n столбцах называется матрицей

A =

a21

22...a2n

= (aij )m n

aij - элемент матрицы,расположенный в i-й строке и j-мстолбце;

aij

R или aij С.

.........

.......

При

m = n матрица A= (aij )n

называется квадратной размера n

am1.am2...amn

При m ≠ n матрица A= (aij )m n называется прямоугольной размера mxn (m на n)

Строка: ( a ij )1×n

Столбец: ( a ij )m×1

Ну левая: ( a ij )m×n

Невырожденная: ( a ij ) n

Диагональная: ( a ij )n

Единичная: ( a ij ) n

Сту пенчатая: ( a ij

) r × n

A = (a , a ,...,a )

0 ...

a11 a12 ... a1 n

12...

a1n

0 ...

a ...

...

матриц

...

1 ...

...

21 a 22...

21 a 22 ...

a2 n

A =

2 r

0 ...

A =

........................

.........................................

...................

...............

A =

........................

0 ...

...

0 ... 1

Виды

...

...............

λ n

n 1

n 2

0 ...

- определитель матрицы А

= diag

(

, λ

)

= 1

0 ...

.........................................

(или det A)

≠ 0

= λ1 λ 2 ... λ n

≠

0 ...

где

aij

0 , i (1, 2 ,...,

i )

6. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Вид операции

Определение и обозначение

Свойства. Вычисление

Равенство

A = (aij

) mxn ,

B = (b )

mxn

= B+A

A= B a

= b

1. A+B

2ο. (A+ B) + C = A+ (B + C)

A+ B = C = (cij

)mxn , если

Сложение

3ο. A + 0 = 0 + A= A

cij = aij

+ bij

число

A = (aij

)mxn , α ≠ 0 , α R

1ο. A 1= 1 A= A

2ο. (−1)A = −A: A+ (− A) = 0

αA = B

= (b )

3.α(A+B)=αA+αB, (α+β)A=αA+βB

β R

Умножение на

ij m n , если

, α R

bij = αaij

4ο. α(βA) = (αβ)A,, α R, β R

= (aij )m n

= A

+ βB

= B =

, если

b = a

1 . (A )

2 . (αA+ βB)

= αA

Транспортиро-ва

(bji ) n ×m

ние

т.е. i-я строкаматрицы А совпада

3 .

Если АТ=А, тоА - симметрическаяматрица

ет с j-мстолбцом AT

= B

A= (aij )m s , B = (bij ) s n

1ο. A B ≠ B A

2ο. A θ = θ A = θ

b1j

Умножение матр

A B=C= (cij )m n

, если

ицы А на

= a b

+ a

+ ...a b

b2j

3. A

E =

E A =

4 .( A B) C = A ( B C )

матрицу В

i1 1i

i2 2 j

is sj

5ο. (A + B) C = A C + B C; A (B+C) = A B + A C

...

6ο.

( A B)T

= B T

7ο.

A B

ai1

ai2 ... ais

bsj

В-обратная по отношению к А,

... a

A11

A21 ... An1

если B A = A B =

a21

a22

... a2 n

;A −1 =

... An 2

Обращение

≠ 0

В-обозначает A

−1

... ... ...

...

... ...

...

матрицы А

an1

a n 2

... a nn

2 n

... A

где Аij - алгебраическое дополнение элемента a

−1

−

−1

1 .

;

2 . ( A ) =

A = (aij )m n

Пример

b ;

M K =

K -определитель,

M 2

;

c 2

Минор Мк

элементыкоторогостоятна

пересечении выделенныхК

A =

b 2

b 3

Можно оставить 4

порядка К

строки К столбцов,

минора 3-го порядка

1≤ k ≤ min

d 1

d 2

d 3

(m, n)

d 2

A = (aij )m n

= n

A = (aij )n,

≠ 0

= r

- число, если:

1. rA

Ранг матрицы rA

≠ 0;

2.ο

= r

T ;

1) у матрицыА есть

2)все Mr + 1 = 0 ,

= 0,...

3ο.

= rA Mr - базисный минор

Mr + 2

К ним относятся:

1о. Перестановка двух строк

(столбов) матрицы;

2о. Умножение всех элементов

некоторой строки (столбца) на

Элементарные

некоторое число

α ≠ 0 ,

α R

Преобразования, не

преобразования

3о. Прибавление к элементам некоторой

матрицы

строки (столбца) соответственных

меняющие ранга матрицы

элементов другой строки (столбца),

умноженных на одно и то же число

α ≠ 0 , α R

Обычно преобразования применяют к

строкам

матрицы

A= (aij )m n, B = (bij )s n ,

ПутемэлементарныхпреобразованийматрицыА

может быть приведенак ступенчатомувиду,т.е.

s ≤ m , A B

a11

a12 ...a1r ...a1n

если В получена из А путем

a22 ...a2r ...a2n

элементарныхпреобразований

A∞B =

... ... ... ... ...

≠ 0

Эквивалентные

...

, где aii

матрицы

... arr ... arn

i (1, 2 ,...,

r )

... ... ... ... ...

...

0 ...

Тогда ранг матрицы равен числу ненулевых

строкэтой матрицы,т.е.rA=r

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2019246.27 Кб4Tx_1_Dec_Zan.doc
#
16.11.2019190.46 Кб2Tx_3_Dec_Zan.doc
#
16.11.2019250.37 Кб3Tx_5_ Dec_Zan.doc
#
31.07.20192.3 Mб16TYeHNOLOGIChYeSKIJ_PROTsYeSS_PROIZVODSTVA_SLYaB....doc
#
20.11.20191.81 Mб217Uchebnoe_posobie_po_okhrane_truda.doc
#
11.02.2015778.78 Кб28Uchebnye_karty_Chast1.pdf
#
11.02.20151.24 Mб27Uchebnye_karty_Chast_2.pdf
#
27.11.2019482.3 Кб30UMK_GMU.doc
#
11.02.20156.48 Mб34Untitled.FR11.doc
#
16.12.2018149.5 Кб53upravlenie_personalom_kursovaya_rabota_2011.doc
#
21.08.2019307.71 Кб29Upravlenie_ZhKKh.doc