к.р. математика заочно_стандарт
.pdf
Контрольная работа
Контрольные работы для заочного отделения металлургического факультета. Специальность Стандартизация и сертификация, группы зТСМб.
Вопросы к экзамену I семестр.
1.Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами.
2.Определитель. Основные понятия. Свойства определителя.
3.Невырожденная матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы.
4.Системы линейных уравнений. Основные понятия. Совместность СЛАУ. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера. Матричный метод.
5.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
6.Системы линейных однородных уравнений.
7.Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
8.Скалярное произведение векторов, его свойства. Приложения скалярного произведения в геометрии, физике.
9.Векторное произведение векторов, его свойства. Приложения векторного произведения.
10.Смешанное произведение векторов, его свойства. Приложения смешанного произведения.
11.Уравнения прямой на плоскости.
12.Уравнения плоскости в пространстве.
13.Уравнения прямой в пространстве.
14.Взаимное расположение прямых и плоскостей. Угол между ними. Расстояние от точки до прямой, плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.
15.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.
16.Полярная система координат. Кривые в полярной системе координат.
17.Функция. Способы задания. Область определения. Основные элементарные функции, их свойства, графики.
18.Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Односторонние пределы.
19.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Свойства бесконечно малых функций.
20.Теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.
2 |
Е. А. Коновальчик |
21.Замечательные пределы.
22.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них. Применение к вычислению пределов.
23.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
24.Основные теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций непрерывных на отрезке.
25.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
26.Уравнения касательной и нормали к кривой. Дифференцируемость функции в точке.
27.Производная суммы, разности, произведения, частного функций. Производная сложной и обратной функций.
28.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.
29.Производные высших порядков.
30.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Основные теоремы о дифференциалах.
31.Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления: Роля, Лагранжа и Коши.
32.Правило Лопиталя.
33.Условия монотонности функций. Экстремумы функций. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.
34.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
35.Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точек перегиба.
36.Асимптоты графика функции.
домашняя контрольная работа |
3 |
Контрольная работа №1.
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Е.А. Коновальчик
1.Вычислить определитель двумя способами.
2.Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами:
(a)матричным методом;
(b)по формулам Крамера;
(c)методом Гаусса.
3.Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений, в случае совместности решить и найти общее и какое-нибудь частное решение, сделать проверку.
4.Даны координаты вершин пирамиды A1, A2, A3, A4. Найти:
(a)длину ребра A1, A2;
(b)угол между ребрами A1, A2 и A1, A3;
(c)угол между ребром A1, A2 и гранью A2, A3, A4;
(d)угол между гранями A1, A2, A4 и A2, A3, A4;
(e)площадь грани A2, A3, A4;
(f)объем пирамиды;
(g)уравнение прямой A1, A2;
(h)уравнение плоскости A2, A3, A4;
(i)уравнение высоты, опущенной из вершины A1 на грань A2, A3, A4 ;
(j)сделать чертеж пирамиды.
5.Построить кривые, используя параллельный перенос системы координат; найти фокусы, директрисы, асимптоты, эксцентриситет.
6.Построить кривую в полярной системе координат по точкам с шагом φ = 12π .
7.Задание указано в варианте.
4 |
Е. А. Коновальчик |
Вариант№1.
Вычислить определитель, разложив a) по элементам 2 столбца,
b) по элементам 4 строки:
|
|
3 |
2 |
2 |
5 |
|
|
|
1 |
0 |
−7 |
2 |
|
|
|
|
− |
|
−2 |
|
1. |
|
3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
8 |
0 |
6 |
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6
3. 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 6x1 − x2 − x3 + 5x4 = −2
5. a) 4x2 + y2 + 24x + 2y + 33 = 0;
√
b) x = 1 − 1 − y
7. Даны две противоположные вершины квадрата A(-1;2)иC(6;1). Составить уравнения его сторон.
2x + y + 3z = 8
2. 5x + 3y + 2z = 29 x + 4y + 3z = 27
4. A1(2; −4; 5), A2(−1; −3; 4),
A3(5; 5; −1), A4(1; −2; 2).
6. ρ = 4 + 2 cos 2φ
домашняя контрольная работа |
5 |
Вариант№2.
Вычислить определитель, разложив a) по элементам 4 столбца,
b) по элементам 2 строки: |
||||||||
|
|
2 |
0 |
3 |
2 |
|
||
1. |
0 |
5 |
4 |
−2 |
||||
|
|
3 |
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
− |
|
|
5 |
0 |
|
|
|
0 |
− |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 4x2 − x3 + 2x4 = 3 |
|||||||
3. |
|
|
|
6x1 + 8x2 − 2x3 + 5x4 = 7 |
|||||||
|
|
|
x + 12x |
3x |
|
+ 10x |
|
= 13 |
|||
|
9 |
|
21 |
2 2 − |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5. a)x |
+ 4y |
+ 2x − 24y + 33 = 0; |
|||||||||
|
|
|
|
b)y = 2 + |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. В ромбе даны противоположные вершины A(6;5), C(2;-1)
и уравнение стороны 3x − y − 7 = 0 Составить уравнения всех сторон ромба.
5x + 3y + 2z = 15
2. 3x + 2y − z = 0 4x − y − z = 5
4. A1(0; 0; 1), A2(2; 3; 5), A3(6; 2; 3), A4(3; 7; 2).
6. ρ = |
10 |
5 3 cos φ |
6 |
Е. А. Коновальчик |
Вычислить определитель, разложив a) по элементам 4 столбца,
b) по элементам 1 строки:
|
|
3 |
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
3 |
−2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
−1 |
− |
|
|
−2 |
|
1. |
|
−3 3 |
; |
||||
|
|
2 |
0 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 5x2 − 2x3 + 4x4 = 2
3. 7x1 + 4x2 − x3 + 3x4 = 5 x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 1
5. 4x2 + y2 − 24x − 2y + 33 = 0; |
||
y = 5 + √ |
|
|
y. |
||
|
− |
|
7.Через точку пересечения прямых
3x-y=0 и x+4y-2=0 провести прямую, перпендикулярную к прямой 2x+7y-5=0
Вариант№3.
5x + 3y + 2z = 10
2. 3x + 2y − z = 4 4x − y − z = 2
4. A1(2; 1; −1), A2(3; 0; 1),
A3(2; −1; 3), A4(0; 8; 0).
6. ρ = 4 + 4 cos 2φ.
домашняя контрольная работа |
7 |
Вариант№4.
Вычислить определитель, разложив a) по элементам 3 столбца,
b) по элементам 3 строки:
|
|
3 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
−2 |
|
1. |
|
1 |
5 |
0 |
|
||
|
|
3 |
0 |
− |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 4x2 − x3 + 2x4 = 1
3. 2x1 + 8x2 − 2x3 + 4x4 = 2 3x1 + 12x2 − 3x3 + 6x4 = 3
5. x2 − 9y2 + 6x +√18y − 9 = 0; y = 1 + x.
7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2x-y-3=0 и 2x-y+5=0
иуравнение одной из его диагоналей 6x-y-7=0. Составить уравнения
двух других сторон прямоугольника.
|
|
2x + y − z = 2 |
2. |
|
4x + y − 3z = 2 |
|
|
3x − 3y − z = −1 |
4. A1(−5; −4; 8), A2(2; 3; 1),
A3(4; 1; −2), A4(6; 3; 7).
6. ρ = |
10 |
5+3 sin φ |
8 |
Е. А. Коновальчик |
Вариант№5.
Вычислить определитель, разложив a) по элементам 3 столбца,
b) по элементам 2 строки:
|
|
−2 |
1 |
3 |
−3 |
|
||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
1. |
|
1 |
4 |
3 |
0 |
|
||
|
|
3 |
−2 |
2 |
5 |
|
||
|
|
− |
5 |
1 |
2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2
3. 3x1 − 2x2 − 2x3 + 3x4 = 5 4x1 − 5x3 + 7x4 = 7
5. 25x2 − 16y2 − 200x − 96y − 144 = 0;
√
x = 4 − 1 − 2y.
7. Точка A(-3,5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7x-y+1=0. Составить уравнения сторон этого квадрата.
|
|
x + 2y − 3z = 1 |
2. |
|
3x − 3y + 5z = 8 |
|
|
−4x + 3y − z = −6 |
4. A1(1; 2; 3), A2(−2; 4; 1),
A3(7; 6; 3), A4(4; −3; −1).
6. ρ = 4 + 2 cos 4φ
домашняя контрольная работа |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант№6. |
Вычислить определитель, разложив |
|||||||||
|
a) по элементам 1 столбца, |
||||||||
|
b) по элементам 2 строки: |
||||||||
|
|
1. |
1 |
2 |
−3 |
20 |
; |
||
|
|
2 |
−5 1 −4 |
||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
2 |
5 |
|
||
|
|
|
1 |
1 |
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − 4x2 + x3 − 2x4 = 5 |
|||||||
3. |
x1 + 3x2 |
5x3 + 3x4 = 3 |
|||||||
|
|
−x1 |
− |
x2 |
|
−4x3 + x4 = 8 |
|||
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
5. 25x2 − 16y2 + 200x − 96y − 144 = 0;
√
x = 2 2 − y2.
7. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная вершину прямого угла C(3,-2)и уравнение гипотенузы x-2y+2=0.
2x − 3y + z = −8
2. x − 2y − z = −6 x + 2y + 2z = 1
4. A1(1; 2; 0), A2(3; 0; −3),
A3(5; 2; 6), A4(8; 4; −9).
6. ρ = |
10 |
5 4 sin φ |
10 |
Е. А. Коновальчик |
Вариант№7.
Вычислить определитель, разложив
|
a) по элементам 2 столбца, |
||||||||
|
b) по элементам 3 строки: |
||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
− |
|
−2 |
|
|
|
1. |
|
5 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
5 |
|
6 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
1 + 4x2 − 7x3 + x4 = |
10 |
|||||
|
|
|
− |
|
|
+ 4x4 = 2 |
|||
3. |
|
3x1 |
5x2 + 2x3 |
||||||
|
|
7x1− |
|
4x2 + x3 + 3x4 = 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6x4 = 3 |
||
|
5x1 + 7x2 − 4x3 |
||||||||
5. 25x2 − 16y2 − 200x + 96y − 144 = 0;
√
x = 2 1 − y2.
7. Найти точку пересечения высот треугольника, вершины которого имеют координаты A(-4;3), B(2;-4), C(5;1).
2x + 2y + 2z = 6
2. 3x + 2y − z = 6 4x − y − z = 12
4. A1(−2; 0; −4), A2(−1; 7; 1),
A3(4; −8; −4), A4(1; −4; 6).
6. ρ = |
2 |
1 2 sin φ |