Решение обратных геодезических задач - 2
|
Пункты P' Ti |
XP', м |
YP', м |
tgr' |
|
|
XTi, м |
YTi, м |
r' |
β | |
|
∆X'i, м |
∆Y'i, м |
α' |
Si, м | |
|
P' |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
+ 4.199 812 |
|
|
Т1 |
+ 49 052,900 |
+ 36 940,200 |
CB: 76°36'24.93" |
0°00'00,00" |
|
|
+ 376.427 |
+ 1 580.922 |
76°36'24.93" |
1 625.119 |
|
|
|
|
|
|
|
P' |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
- 0.091 105 |
|
|
Т2 |
+ 45 587.500 |
+ 35 640.700 |
ЮВ: 5°12'20.06" |
98°11'15,00" |
|
|
- 3 088.973 |
+ 281.422 |
174°47'39.93" |
3 101.766 |
|
|
|
|
|
|
|
P' |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
- 3.137 461 |
|
|
Т3 |
+ 49 326.100 |
+ 33 321.100 |
СЗ: 72°19'17.07" |
112°53'03.00" |
|
|
+ 649.627 |
- 2 038.178 |
287°40'42.93" |
2 139,202 |
Анализ результатов вычисления в табл. 8 и 9 позволяет сделать выводы: 1) точка P' является искомой; 2) решение задачи достоверно - точкаPи точка Т3 - одна и та же.
- 25 -
Оценка точности результатов полевых измерений по определению координат точки Р из обратной однократной засечки - задачи Потенота (формула 56)
При
значении средней квадратической ошибки
измерения горизонтальных углов, равной
,
м.
Приближённые координаты точки Р:
X0 = + 48 676,473 м, Y0 = + 35 359,278 м.
2. Уравнивание обратной многократной засечки по измеренным углам параметрическим способом
Рис. 7. Сема обратной многократной геодезической засечки
Уравнительные вычисления выполняют в следующей последовательности.
Составляют параметрические уравнения поправок, которые имеют вид
;
.
(59)
Для вычисления коэффициентов Ai, Bi и свободных членовli, этих уравнений необходимо иметь приближённые дирекционные углыα0,i линий с определяемого пункта на опорные и соответствующие расстояния между нимиS0,i. Эти величины вычисляют из решения обратных геодезических задач в таблице 11. Приближённые координатыXP0, YP0 берут из решения задачи Потенота. Вычисления выполнять с округлением до 0,1" и 0,001 м.
- 26 -
Таблица 10
Исходные данные и измеренные величины
(взяты из предыдущего примера)
X0 = + 48 676,473 м, Y0 = + 35 359,278 м.
|
№ пунктов |
XT, м |
YT, м
|
Измеренные углы β' |
|
T1 |
+ 49 326.100 |
+ 33 321.100 |
0°00'00.0" |
|
T2 |
+ 51 864.400 |
+ 34 024.600 |
49 36 32.0 |
|
T3 |
+ 49 052.900 |
+ 36 940.200 |
148 56 12.0 |
|
T4 |
+ 45 587.500 |
+ 35 640.700 |
247 07 27.0 |
Таблица 11
Решение обратных геодезических задач
I. По приближённым координатамX0,y0 определяемого пункта
|
Пункты P Ti |
X0, м |
Y0, м |
tgr |
|
|
XTi, м |
YTi, м |
r |
β 0,i | |
|
∆Xi, м |
∆Yi, м |
α 0,i |
Si, м | |
|
P |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
- 3,137 459 |
|
|
Т1 |
+ 49 326,100 |
+ 33 321,100 |
CЗ: 72°19'17.0" |
0°00'00,0" |
|
|
+ 649,627 |
- 2 038,178 |
287°40'43.0" |
2 139,202 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
- 0,418 666 |
|
|
Т2 |
+ 51 864,400 |
+ 34 024,600 |
CЗ: 22°43'02.7" |
49°36'14,3" |
|
|
+ 3 187,927 |
- 1 334,678 |
337°16'57.3" |
3 456,045 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
+ 4,199 810 |
|
|
Т3 |
+ 49 052.900 |
+ 36 940.200 |
СВ: 76°36'24.9" |
148°55'41.9" |
|
|
+ 376,427 |
+ 1 580,922 |
76°36'24.9" |
1 625,119 |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
+ 48 676.473 |
+ 35 359.278 |
- 0,091 105 |
|
|
Т4 |
+ 45 587,500 |
+ 35 640,700 |
ЮЗ: 5°12'20.1" |
247°06'56.9" |
|
|
- 3 088,973 |
+ 281,422 |
174°47'39.9" |
3 101,766 |
Здесь же вычисляют приближённые значения измеренных углов
.
(60)
В таблице 12 находят свободные члены уравнений поправок
.
(61)
- 27 -
Таблица 12
Вычисление свободных членов уравнений поправок
|
№ пунк-тов
|
Прибли- женные дирекцион- ные углы α0,i |
Вычислен- ные углы β0,i = = α0,i+1 - α0,i |
Измерен- ные углы
β'i |
Свобод-ные члены li
|
lili |
|
T1 |
287°40'43.0" |
0°00'00.0" |
0°00'00.0" |
+ 0.00 |
0.00 |
|
T2 |
337 16 57.3 |
49 36 14.3 |
49 36 32.0 |
- 17.70 |
313.20 |
|
T3 |
76 36 24.9 |
148 55 41.9 |
148 56 12.0 |
- 30.06 |
903.74 |
|
T4 |
174 47 39.9 |
247 06 56.9 |
247 07 27.0 |
- 30.07 |
903.99 |
|
|
|
|
Σ |
- 77.83 |
2120.92 |
Коэффициенты для уравнения поправок AiиBiвычисляют в табл. 13. Для этого по аргументамα0,i(округлённым до1') вычисляют по формулам
;
.
(62)
величины (α)iи(b)i , затем по формулам
;
(63)
Вычисляют величины aiиbi, а по последним, из выражений
(64)
получают коэффициенты уравнений поправок. Здесь же вычисляют контрольные суммы
(65)
и составляют контрольные равенства по столбцу
и по строке
.
- 28 -
2.2. Составляют и решают нормальные уравнения. Два нормальных уравнения при уравнивании обратной многократной засечки имеют вид
.
(66)
Коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений вычисляют в таблице 13, контролируя их с помощью равенств
(67)
и
(68)
Таблица 13
Вычисление коэффициентов поправок и нормальных уравнений
|
№ пунк-та |
|
(a) |
(b) |
S,км |
a |
b |
A |
B |
l | |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
|
1 |
287°40' |
+19.65 |
+ 6.26 |
2.14 |
- 9.19 |
- 2.93 |
0.00 |
0.00 |
0.00 | |
|
2 |
337 16 |
+ 7.97 |
+19.03 |
3.46 |
- 2.30 |
- 5.51 |
+ 6.88 |
-2.58 |
-17.70 | |
|
3 |
76 36 |
- 20.07 |
+ 4.78 |
1.63 |
+12.35 |
- 2.94 |
+21.53 |
-0.01 |
-30.06 | |
|
4 |
174° 48' |
- 1.87 |
-20.54 |
3.10 |
+ 0.60 |
+ 6.62 |
+ 9.79 |
+9.55 |
-30.07 | |
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
+38.21 |
+6.96 |
-77.83 | |
(продолжение таблицы 13)
Вычисление коэффициентов поправок и нормальных уравнений
|
№ пунк-та |
s |
AA |
AB |
Al |
As |
BB |
Bl |
Bs |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
2 |
-13.39 |
+ 47.36 |
-17.74 |
- 121.79 |
- 92.17 |
+6.64 |
+45.61 |
+34.51 |
|
3 |
- 8.54 |
+463.71 |
- 0.25 |
- 647.36 |
-183.90 |
0.00 |
+ 0 .36 |
+ 0.10 |
|
4 |
-10.73 |
+95.85 |
+93.50 |
-294.35 |
-105.01 |
+91.21 |
-287.15 |
- 102.44 |
|
Σ |
-32.66 |
+606.92 |
+75.51 |
-1063.50 |
-381.07 |
+97.86 |
-241.19 |
- 67.82 |
- 29 -
В таблице 14 решают нормальные уравнения по методу определителей (детерминантов). Из выражений
(69)
Находят (с округлением до 0,001 м) поправки δxиδyк приближённым координатам X0и Y0, а из выражений
;
(70)
веса
уравненных координат; последние имеют
размерность
.
Правильность решения контролируется подстановкой полученных значений δxиδyв нормальные уравнения (66).
Таблица 14
Решение нормальных уравнений
|
[AA] [BB] |
+ 59 390.3 |
[AB] [Bl] |
- 18 212.5 |
[AB] [Al] |
- 80 306.7 |
|
- [AB] [AB] |
+ 5 702.0 |
- [BB] [Al] |
- 104069.8 |
-[AA] Bl] |
- 146 381.2 |
|
D |
+ 53 688.3 |
Dx |
+ 85 857.3 |
Dy |
+ 66 074.5 |
|
δx = + 1.599 δy = + 1.231 |
Px = + 548.6 Py = + 88.5 | ||||
Контроль решения нормальных уравнений
I. [AA] δx + [AB] δy + [Al] = 0, I. + 606.92 δx + 75.51 δy - 1063.50 = 0,
II. [AB] δx + [BB] δy + [Bl] = 0, II. + 75.51 δx + 96.87 δy - 241.19 = 0.
2.3. Вычисляют уравненные значения координат и углов. Поправки δxиδy(с учётом размерности) прибавляют к приближённым значениямX0иY0и получают окончательные (уравненные) координатыX иY пунктаР
.
(71)
- 30 -
В таблице 15 вычисляют по (59) поправки к измеренным значениям углов с округлением до 0,01" и контролируют их вторичным получением суммы [υυ] по формуле
(72)
в таблице 16. Расхождение допускается в пределах 2% от величины[υυ].
Таблица 15
Вычисление поправок и их контроль
|
№ пункта |
В ы ч и с л е н и е υ, υυ | ||||
|
|
|
|
|
| |
|
1 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
2 |
+ 11.01 |
- 3.17 |
- 17.70 |
- 9.86 |
97.29 |
|
3 |
+ 34.44 |
- 0.01 |
- 30.06 |
+ 4.36 |
19.01 |
|
4 |
+ 15.66 |
+ 1.75 |
- 30.07 |
- 2.66 |
7.06 |
|
|
|
|
|
[υυ] |
123.36 |
Таблица 16
Контроль вычисления поправок
|
[ll] |
[Al] δx |
[Bl] δy |
[υυ] |
|
2120.92 |
-1700.74 |
- 296.83 |
+ 123.36 |
Уравненные
(исправленные) углы получают путём
прибавления поправок υiк измеренным значениям углов
.
(73)
2.4. Выполняют заключительный контроль решения всей задачи, который состоит во вторичном получении уравненных (окончательных) измеренных углов βiпо формуле
.
(74)
Окончательные значения дирекционных углов αiдля вычислений по формуле (74) получают из решения обратных геодезических задач по уравненным координатамX иYв таблице 17. Вычисляют их по формулам (48) и (49), контролируя вычисления расстояний по формулам (50). Расхождения в значениях угловβi, полученных по формулам (73) и (74), допускаются не более±0,3".
- 31 -
Таблица 17
Решение обратных геодезических задач