- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
Как отмечалось выше, задача о движении механической системы из частиц сголономными связями сводится к системескалярных уравнений снеизвестными, дополняя которуюнезависимыми соотношениями между координатами частиц и реакциями связей, можно получить решаемую системууравнений Лагранжа первого рода.
Метод обобщенных координат позволяет заменить систему скалярных уравнений вида (2.1.10) системойдифференциальных уравнений в независимых обобщенных координатах, не содержащих явно сил реакцийи называемыхуравнениями Лагранжа второго рода (или просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения позволяют найти закон движения системы частиц, а затем с помощью (2.1.10) можно определить неизвестные реакции связей. Уравнения Лагранжа имеют инвариантную скалярную форму во всех СК, что позволяет составлять уравнения в наиболее удобной СК, не пользуясь громоздкими формулами перехода.
Для механической системы с идеальными связями задача математически заключается в преобразовании к обобщенным координатам общего уравнения механики
(2.4.1)
Используя соотношения (2.3.1), выражающие декартовы координаты частиц системы через обобщенные координаты, а также понятие обобщенной силы (2.3.6), из (2.4.1) с помощью довольно громоздких преобразований (см. подробнее в [4, с. 181–182]) получим
(2.4.2)
где – кинетическая энергия отдельной частицы,–обобщенные скорости. Кинетическая энергия системы частиц , тогда
(2.4.3) и
, . (2.4.4)
Это и есть искомые уравнения Лагранжа. Для их составления необходимо знать выражение для кинетической энергии системы частиц в выбранных обобщенных координатах и значения обобщенных сил. Каждой обобщенной координате соответствует свое уравнение Лагранжа.
Особый интерес представляют уравнения Лагранжа, описывающие движение системы частиц с обобщенно-потенциальными силами. Сила называется обобщенно-потенциальной, если она зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей, времени и удовлетворяет условию:
,, (2.4.5)
где –обобщенно-потенциальная функция (обобщенный потенциал). Подставляя (2.4.5) в (2.4.4), находим:
, , (2.4.6)
где –функция Лагранжа (лагранжиан). Уравнения (2.4.6) справедливы также, если – потенциальная функция, или если– потенциальная энергия (частный случай консервативных сил).
Итак, для составления уравнений Лагранжа в случае обобщенно-потен-циальных сил достаточно знать выражение для лагранжиана системы частиц. При этом уравнения (2.4.6) инвариантны по отношению к выбору системы отсчета. Лагранжиан задается неоднозначно: добавление к нему любой величины, не зависящей явно от , не изменяет уравнений (2.4.6).
При наличии диссипативных сил уравнения Лагранжа принимают вид:
, . (2.4.7)
Заметим, что если диссипативные силы линейно зависят от скоростей частиц, то они могут быть выражены (см. подробнее в []) через скалярную функцию:
(2.4.8)
где –диссипативная функция Рэлея.