14 Задача двух тел. Движение в центральном поле

Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении замкнутой системы из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел). Решение этой задачи используется в небесной механике, при изучении столкновений частиц, в статистической физике и т. д. Задача двух тел существенно упрощается при разложении движения системы на движение ее центра инерции и движение частиц относительно центра инерции.

Итак, рассмотрим консервативную систему двух частиц. Потенциальная энергия их взаимодействия зависит от расстояния между частицами (и, естественно, от масс, зарядов и т. д.). Введем вектор относительно расстояния (радиус-вектор первой частицы относительно второй):

(4.2.1)

Тогда потенциальная энергия и функция Лагранжа

(4.2.2)

В системе центра инерции(4.2.3)

что совместно с (4.2.1) дает:

(4.2.4) и

(4.2.5)

где –приведенная масса: (4.2.6)

(4.2.5) формально совпадает с функцией Лагранжа для одной частицы массой , движущейся в поле. По решениюэтой задачи уравненияидля каждой из частиц с массамиив отдельности (в системе их общего центра инерции) получаются по формулам (4.2.4).

Таким образом, уравнение (4.2.5) описывает движение изображающей точки массой в поле, зависящем от расстоянияэтой точки до центра инерции рассматриваемой системы тел;– радиус-вектор этой изображающей точки. Векторыивсегда в одной плоскости. Из (4.2.4) следует, что траектории частиц системы и изображающей точки – подобные относительно центра инерции кривые (см. подробнее [4, с. 145]).

Поскольку начало координат связано с центром инерции, – радиус-вектор изображающей точки относительно центра инерции, то и действующая на эту точку сила

(4.2.7)

центральная, причем равная по модулю силе взаимодействия между частицами системы (других сил здесь нет). По третьему закону Ньютона

(4.2.8)

Итак, задача о движении двух тел сводится к задаче о движении одной частицы в центральном поле, в котором потенциальная энергия этой частицы зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки (полюса). Сила, действующая на такую частицу, по модулю зависит только оти направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора.

Момент центральной силы относительно полюса равен нулю, поэтому момент импульса рассматриваемой частицы сохраняется. Из сохранения направления вектораследует, что движение частицы происходит в одной плоскости, т. е. ее траектория – плоская кривая. Далее сохраним обычное обозначениемассы рассматриваемой частицы. Для плоского движения целесообразно применять полярные координаты. Тогда функция Лагранжа запишется в виде:

(4.2.9)

Лагранжиан не зависит явно от координаты , т. е. эта координата циклическая. Для такой координаты

(4.2.10)

т. е. соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом движения, что существенно упрощает задачу интегрирования уравнений движения. В нашем случае обобщенный импульссовпадает с моментом импульса, и мы возвращаемся к уже упомянутому закону сохранения

(4.2.11)

Для плоского движения одной частицы в центральном поле закон сохранения момента импульса допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории. Обозначив ее как, запишем выражение для момента импульса частицы в виде

(4.2.12)

где –секториальная скорость. Сохранение момента импульса означает постоянство секториальной скорости: за любые равные промежутки времени радиус-вектор частицы описывает равные площади (закон площадей Кеплера). Закон сохранения момента импульса частицы в центральном поле связан, таким образом, с так называемым интегралом площадей.

Имеется еще один интеграл движения – в поле консервативных сил сохраняется механическая энергия частицы:

(4.2.13)

Подставляя (4.2.11) в (4.2.13), находим:

(4.2.14)

Отсюда

(4.2.15)

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

(4.2.16)

Вычислив интеграл (4.2.16), можно получить первое уравнение движения (к сожалению, далеко не всегда в явном виде). Используя далее (4.2.11), имеем:(4.2.17)

(4.2.18)

что дает (при условии возможности взять интеграл) уравнение траектории , а из (4.2.17) при известномполучаем второе уравнение движения.

Итак, в зависимости от вида задача решается (аналитически или численно). Заметим, что уголвсегда изменяется со временем монотонно (из (4.2.11) видно, чтоникогда не меняет знак).

(4.2.14) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией

(4.2.19)

Второе слагаемое в (4.2.19) иногда называют центробежной энергией. Вполне понятно, что .

Значения , при которых, определяют границы области движения по расстоянию от центра. При выполнении этого равенства радиальная скоростьобращается в нуль, что не означает остановки частицы (как при истинно одномерном движении), поскольку угловая скоростьне обращается в нуль при этом. Равенствосоответствует «точке поворота» траектории, в которой функцияпереходит от увеличения к уменьшению или наоборот. Если область движения имеет одну границу– движение инфинитное, если две границы– движение финитное (траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного радиусамии). За время, в течение которогоизменяется отдои снова до, радиус-вектор частицы повернется на угол (см. (4.2.18))

(4.2.20)

Условие замкнутости траектории заключается в том, что угол равен рациональной части от, т. е.

(4.2.21)

где и– целые числа. Тогда, сделавполных оборотов и повторив эту операциюраз, радиус-вектор частицы совпадает с первоначальным значением, и траектория замкнется. Существуют только два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты:и. Первый будет рассмотрен в следующем подразделе (задача Кеплера).

При движении с наличие центробежной энергии, обращающейся в бесконечность при, обычно приводит к невозможности проникновения частицы к центру поля, даже если последнее имеет характер притяжения. «Падение» в центр возможно, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится кпри. Поскольку

(4.2.22) или

(4.2.23)

то может принимать сколь угодно малые значения лишь при условии

(4.2.24)

т. е. функция должна стремиться клибо какс, либо пропорционально, где.

Рассмотрим этот вопрос на качественном уровне. В большинстве случаев , где(определяется характеристиками поля и частицы);для поля притяжения идля поля отталкивания. Пусть. Рассмотрим частные случаи:

1) (слабо сингулярное поле притяжения).

(4.2.25)

Легко видеть, что при отрицательных значениях энергии Е движение происходит в области (причастица движется по окружности с радиусом) по траекториям эллиптического типа; притраектории параболического или гиперболического типа, т. е. частица не может попасть на силовой центр (), но может удалиться от силового центра на бесконечно большое расстояние. Притраектория незамкнутая, например, траектория Меркурия, для которого наблюдается заметное смещение перигелия.

Если при , то. Тогда при любых начальных условиях движение частицы чисто радиальное (одномерное), причем при любыхвозможен захват частицы силовым центром (рисунок 4.2.2), если. Приипроисходит уход частицы на бесконечность. Приичастица уходит от центра, а затем приповорачивает и начинает падение на центр.

Рисунок 4.2.2

Чисто эллиптические (параболические, гиперболические) траектории имеют место при , т. е.. Это утверждение носит наименованиетеорема Бертрана (часть теоремы, т. к. эллиптические траектории имеют место и при ).

2)(4.2.26)

В этом случае имеет место ситуация, очевидная из рисунка 4.2.3.

Рисунок 4.2.3

3) (сильно сингулярное поле притяжения)

(4.2.27)

Этот случай иллюстрирует рисунок 4.2.4.

Рисунок 4.2.4