Задача 24

Задача. Известно, что из 100 студентов живописью увлекается 28 человек, спортом - 42 человека, музыкой - 30, живописью и спортом - 10, живописью и музыкой - 8, спортом и музыкой - 5, живописью, спортом и музыкой - 3. Определите количество студентов:

А) занимающихся только спортом;

Б) ничем не увлекающихся.

Решение. Обозначим первой большой буквой множество студентов, увлекающихся тем или иным видом (например, Ж — множество студентов, увлекающихся живописью). Множество всех студентов обозначим через A.

m(А)=100

m(Ж)=28

m(С)=42

m(М)=30

m(Ж ∩ М)=10

m(Ж ∩ М)=8

m(С ∩ М)=5

m(Ж ∩ С ∩ М)=3

Нас интересует

А) m(С — (Ж ∩ М)) - занимающихся только спортом;

Б) m(A —(Ж ∩ М ∩ С)) - ничем не увлекающихся.

Из теоремы 1 и ее следствия, свойств операций над множествами имеем:

m(С — (Ж ∩ М)) = m(С — ((Ж ∩ М) U С))) = m(С) — m((Ж U С)∩(М U С)) =

= m(С) — (m(Ж U С) + m(М U С) — m(Ж U М U С)) = 42 — (10 + 5 — 3) = 30.

m(A — (Ж ∩ М ∩ С)) = m(A) — m(Ж ∩ М ∩ С)=100 — (m(Ж ∩ М) + m(С) — m((Ж ∩М) U С) =

=100 — (m(Ж) + m(М) — m(Ж U М) + 42 m((Ж U С) ∩(М U С))) =

= 100 —(28 + 30 — 8 + 42 — (m(Ж U С) + m(М U С) — m(Ж U М U С))) =

= 100 — (92 — (10 +5 — 3)) = 100 — (92 — 12) = 20.

Теорема 1: Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (A U B) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (А U В)

m (A U B U C) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).