Квантовая электродинамика

В физике элементарных частиц основными экспериментально наблюдаемыми величинами являются скорости распадов и сечения рассеяния σ. Обе эти величины пропорциональны квадрату модуля амплитуды процесса M. Так, скорость распада покоящейся частицы массы m1 на две частицы массы m2 и m3 дается соотношением

где p – импульс любой из двух образовавшихся частиц. Если продукты распада тождественны, S = 1/2, иначе S = 1. Вместо скорости распада часто используется величина ¯h , называемая шириной распада. Время жизни частицы τ обратно пропорционально скорости распада τ = 1/ . Сечение процесса 1 + 2 → 3 + 4 в системе центра масс имеет вид

Амплитуда может быть вычислена по теории возмущений методом диаграмм Фейнмана. Для построения вклада n-го порядка по ge в амплитуду M заданного процесса следует нарисовать все диаграммы, содержащие ровно n вершин, соединяющие их внутренние линии и заданный набор внешних линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматриваемого процесса. Фермионы изображаются прямыми линиями, а фотоны – волнистыми. Вершины диаграмм в квантовой электродинамике всегда являются пересечением двух фермионных и одной фотонной линий:

Далее придерживайтесь следующего алгоритма.

1.Пометьте все входящие и исходящие импульсы p1, p2, . . . , pn и соответствующие спины s1, s2, . . . , sn. Обозначьте все внутренние импульсы q1, q2, . . .. Нарисуйте стрелочки на всех линиях так, чтобы направление электронов и фотонов совпадало с направлением оси времени, а направление позитронов было противоположным.

2.Внешние линии дают следующий вклад в амплитуду:

3. Каждая вершина дает два множителя: igeγµ и

(2π)4 δ(сумма импульсов, входящих в вершину).

Импульсы, выходящие из вершины должны быть включены в аргумент δ-функции со знаком минус.

17

4. Внутренние линии дают множитель

Фермионы: i (γµqµ + mc) q2 − m2c2

Фотоны: −iηµν q2

5. Добавьте множитель

d4q

(2π)4

для каждой внутренней линии и проинтегрируйте.

6.Если в диаграмме имеется l замкнутых фермионных петель, то всё выражение должно быть умножено на (−1)l.

7.Если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-го порядка, то есть можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)−1.

8.Если в начальном или конечном состоянии имеются тождественные частицы, то следует провести соответствующую антисимметризацию.

9.Сложить амплитуды отдельных диаграмм.

10.Результат будет включать в себя множитель вида (2π)4 δ(p1 + p2 + . . . − pn), который является следствием сохранения энергии и импульса. Его нужно отбросить, то что останется будет равно −iM.

Втипичном эксперименте по рассеянию сталкиваются пучки частиц чей спин распределен случайным образом и детектируется общее количество рассеянных частиц вне зависимости от их спина. В этом случае измеряемое сечение рассеяния представляет собой среднее по всем входящим спиновым конфигурациям и сумму по всем исходящим. Поэтому представляет интерес непосредственное вычисление величины

где N – число всех возможных входящих спиновых состояний. Этого можно добиться с помощью решения задачи 60, которое позволяет избавиться от спиноров. Следы произведений матриц Дирака, входящие в итоговое выражение вычисляются по правилам

1.T r(A + B) = T r(A) + T r(B);

2.T r(αA) = αT r(A);

3.T r(AB) = T r(BA);

4.ηµν ηµν = 4;

5.γµγν + γν γµ = 2ηµν ;

6.γµγµ = 4;

7.γµγν γµ = −2γν ;

18

8.γµγνγλγµ = 4ηνλ;

9.γµγν γλγργµ = −2γργλγν ;

10.след произведения нечетного числа матриц Дирака равен нулю;

11.T r(1) = 4;

12.T r(γµγν ) = 4ηµν ;

13.T r(γµγν γλγρ) = 4 ηµν ηλρ − ηµληνρ + ηµρηνλ ;

14.T r(γ5) = 0;

15.T r(γ5γµγν ) = 0;

16.T r(γ5γµγν γλγρ) = 4iǫµνλρ.

Пример. Рассмотрим процесс аннигиляции электрон-позитронных пар в пары более тяжелых фермионов. Нарисуем диаграмму и по правилам Фейнмана запишем соответствующее ей выражение

Благодаря δ-функциям проинтегрировать это выражение несложно. Отбрасывая множитель (2π)4 δ(p1 + p2 + p3 + p4), получаем

Усредним квадрат модуля амплитуды по входящим спинам и просуммируем по исходящим.

19

где множитель 1/4 перед суммой появился из-за того, что имеется две входящих частицы, каждая из которых может иметь две ориентации спина. Используя формулы Казимира из задачи 60 и свойства матриц Дирака, перепишем это выражение в виде

Раскрывая скобки и используя правила вычисления следов γ-матриц, находим

Для того чтобы вычислить сечение рассеяния в обычных кинематических переменных – углах рассеяния и энергиях частиц, необходимо выбрать определенную систему отсчета. На практике выбор системы отсчета диктуется условиями эксперимента, однако здесь мы рассмотрим только систему центра масс, в которой выражения выглядят наиболее просто. Кроме того, далее будем считать массу электрона равной нулю, так как она много меньше массы мюона. При сделанных предположениях получаем

Задача 65. Нарисуйте диаграмму Фейнмана низшего порядка для дельбрюковского рассеяния фотонов на фотонах γ + γ → γ + γ.

Задача 66. Нарисуйте все диаграммы Фейнмана четвертого порядка для комптоновского рассеяния.

Задача 67. Определите массы виртуальных фотонов в диаграммах второго порядка для электрон-позитронного рассеяния (Баба-рассеяние).

Задача 68. Найдите амплитуду рассеяния электронов на мюонах в низшем порядке теории возмущений. Ответ:

D 2E 8g4 h

|M| = (p1 −ep3)4 (p1 · p2) (p3 · p4) + (p1 · p4) (p2 · p3) −

− (p1 · p3) (mµc)2 − (p2 · p4) (mec)2 + 2 memµc2 2i.

20