Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
ФИЗИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы
Красноярск
СФУ
2012
УДК 539.12(07)
ББК 22.382я73
Ф503
Составитель: Тегай Сергей Филиппович
Ф503 Физика фундаментальных взаимодействий: учебно-методическое пособие для практической и самостоятельной работы [Электронный ресурс] / сост. С.Ф. Тегай. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун- т, 2012. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.
Учебно-методическое пособие для практической и самостоятельной работы по дисциплине «Физика фундаментальных взаимодействий» включает краткие теоретические сведения и задачи, которые могут быть использованы для практических занятий и для самостоятельного решения студентами.
Предназначено для студентов четвертого курса направлений 010700.62 – «физика», 140800.62 – « ядерные физика и технологии» и специальности 010701.65 – «физика».
УДК 539.12(07) ББК 22.382я73
© Сибирский федеральный университет, 2012
Учебное издание
Подготовлено к публикации редакционно-издательским отделом БИК СФУ
Подписано в свет 9.11.2012 г. Заказ 8597. Тиражируется на машиночитаемых носителях.
Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391)206-21-49. E-mail rio@sfu-kras.ru http://rio.sfu-kras.ru
Содержание
Предисловие |
4 |
Задачи |
5 |
Релятивистская кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
Уравнения Эйлера – Лагранжа и теорема Нётер . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
Внутренние степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
Калибровочная инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
Теория Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
Квантовая электродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
Квантовая хромодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
Слабые взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
Литература |
27 |
3
Предисловие
Данное учебное пособие содержит задачи по физике элементарных частиц и квантовой теории поля, собранные из разных источников, таких как [1, 4, 6, 8, 15]. Задачи предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Физика фундаментальных взаимодействий», и могут быть использованы для проведения практических занятий и для самостоятельного решения. Каждый раздел начинается с краткого теоретического введения, содержащего главным образом разъяснение обозначений, используемых в задачах, а также некоторые справочные сведения по теме раздела. Это введение отнюдь не является полным или последовательным изложением материала, затрагиваемого в разделе, и для усвоения теории студенты не должны довольствоваться приведенными краткими сведениями, но параллельно с решением задач изучать литературу, указанную в конце пособия.
Одной из главных целей всего курса является приобретение слушателями навыков расчета сечений рассеяния и времен жизни частиц. Именно эти величины измеряются экспериментально и позволяют проверить наши знания о природе взаимодействий между элементарными частицами. Непосредственно этой задаче посвящены три последних раздела пособия. Первые пять разделов в этом смысле являются вспомогательными, однако они также важны для понимания физики фундаментальных взаимодействий. Кроме того, результаты некоторых задач используются при решении последующих.
Для успешного решения предлагаемых задач, а также для изучения дисциплины «Физика фундаментальных взаимодействий» в целом, студентам необходимо усвоить цикл математических дисциплин: математический анализ, теорию дифференциальных уравнений и высшую алгебру. Кроме того необходимы знания по общей физике, аналитической механике, специальной теории относительности, электродинамике и квантовой механике.
4
Задачи
Релятивистская кинематика
Согласно специальной теории относительности законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, связанных между собой преобразованиями Лоренца. Пусть aν – компоненты некоторого вектора в одной системе отсчета, а aµ′ – его же компоненты в другой системе, тогда aµ′ = Λµν ′ aν , где Λ – матрица преобразования Лоренца. Здесь применено эйнштейновское правило суммирования по повторяющимся индексам, которое будет и далее использоваться везде, где это специально не оговорено.
Особый интерес среди всех преобразований Лоренца представляют бусты – преобразования, изменяющие только скорости, но не содержащие пространственных поворотов. Для штрихованной системы отсчета, движущейся со скоростью v в направлении оси x исходной системы отсчета, имеем
γ −βγ 0 0
′ |
= |
|
βγ |
γ |
0 |
0 |
|
, |
v |
, |
γ = 1 − β2 |
−1/2 |
(1) |
|
Λνµ |
−0 |
0 |
1 |
0 |
β = c |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов aµ и bµ является инвариантом относительно преобразований Лоренца и представляет собой свертку
|
|
a · b = ηµν aµbν , |
|
|
(2) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
ηµν = |
0 |
−1 |
0 |
0 |
= ηνµ. |
(3) |
||||
|
|
0 |
0 |
− |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– метрический тензор пространства Минковского. Вводя ковариантный (с нижним индексом) вектор aµ = ηµν aν , можно записать скалярное произведение в виде
a · b = aµbµ = aµbµ. |
(4) |
Исходные векторы с верхними индексами будем называть контравариантными. Частица с 4-импульсом pµ обладает полной энергией E = p0c и 3-импульсом p = pi.
Квадрат 4-импульса, одинаковый во всех системах отсчета, имеет вид
E2 |
|
pµpµ = c2 − p · p = m2c2. |
(5) |
Векторная сумма 4-импульсов всех частиц сохраняется.
Задача 1. Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино, π− → µ− + ν¯µ. Найдите скорость образовавшегося мюона. Ответ:
m2π − m2µ vµ = m2π + m2µ c.
5
Задача 2. Пион, летящий со скоростью v, распадается на мюон и мюонное антинейтрино, π− → µ− + ν¯µ. Если нейтрино вылетает перпендикулярно направлению первоначально-
го движения пиона, под каким углом вылетает мюон? Ответ: tg θ = 1 − mµ2 /mπ2 |
/(2βγ2). |
|
Задача 3. Ускоритель Беватрон, работавший в Национальной лаборатории |
им. |
Лоурен- |
са, Калифорния, проектировался в первую очередь для экспериментального наблюдения антипротонов в реакции p + p → p + p + p + p¯, в которой протон с высокой энергией налетает на покоящийся протон мишени, рождая дополнительную пару протон-антипротон. Какова минимальная энергия налетающего протона при которой данная реакция возможна? Ответ: E = 7mpc2.
Задача 4. Частица A с энергией E налетает на покоящуюся частицу B, порождая частицы C1, C2, . . ., A + B → C1 + C2 + . . . + Cn. Выразить минимально возможную для такой реакции энергию E через массы частиц. Ответ:
M2 − m2 − m2
E = A B c2,
2mB
где M = m1 + m2 + . . . mn.
Задача 5. Используя результат предыдущей задачи, вычислить для следующих реакций минимальную энергию налетающей на неподвижный протон частицы:
(а) p + p → p + p + π0,
(б) p + p → p + p + π+ + π−,
(в) π− + p → p + p¯ + n, (г) π− + p → K0 + Σ0, (д) p + p → p + Σ+ + K0.
Задача 6. Покоящаяся частица A распадается на частицы B и C (A → B + C). Выразить энергию и абсолютные величины импульсов исходящих частиц через массы. Объяснить тот факт что модули импульсов рождаемых в реакции частиц становятся мнимыми при mA < mB + mC . Ответ:
|
|
EB |
= |
mA2 + mB2 − mC2 |
c2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2mA |
|||
|
|
|
|
|
|
= |
q |
|
c, |
|
| |
pB |
= |
pC |
| |
λ(mA2 , mB2 , mC2 ) |
|||||
|
|
|||||||||
| |
| |
|
|
|
2mA |
где λ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz − 2yz.
Задача 7. Используя результат предыдущей задачи, вычислить в системе центра масс энергию продуктов распада в следующих реакциях:
(а) π− → µ− + ν¯µ (б) π0 → γ + γ,
(в) K+ → π+ + π0,
(г) Λ → p + π−, (д) Ω− → Λ + K−.
Задача 8. Покоящиеся пионы распадаются на мюоны и нейтрино π− → µ− + ν¯µ. Как далеко в среднем будут улетать образующиеся мюоны (в вакууме)? Ответ:
m2 − m2
d = π µ cτ = 186 м.
2mπmµ
6