1024
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Методические указания к практическим занятиям с элементами УИРС для студентов по направлению подготовки 250400 – Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств
Воронеж 2014
УДК 674
Кантиева, Е. В. Методы и средства научных исследований [Текст] : методические указания к практическим занятиям с элементами УИРС для студентов по направлению подготовки 250400 – Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств / Е. В. Кантиева ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 56 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 9 от 30 мая 2014 г.)
Рецензент генеральный директор ООО «Интерьерный вопрос К» В.В. Мишин
3
Оглавление
Практическое занятие № 1. Исследование статистических характеристик толщины древесных материалов……………………………………………………4
Практическое занятие № 2. Корреляционный анализ и нахождение линейной регрессионной зависимости ………………………………………………………12
Практическое занятие № 3. Нахождение нелинейных регрессионных зависимостей с одной независимой переменной ………………………………..16 Практическое занятие № 4. Исследование объектов методом полного факторного эксперимента …………………………………………………………21
Практическое занятие № 5. Исследование объектов методом дробного факторного эксперимента …………………………………………………………30
Практическое занятие № 6. Получение математической модели объектов методом униформ-ротатабельного планирования ………………………………36
Библиографический список………………….…………………………………….45
Приложения ………………………………………………………………………46
4
Практическое занятие № 1
Исследование статистических характеристик толщины древесных материалов
Цель работы: Изучить методики первичной статистической обработки эмпирических данных.
Изучение статистической обработки проводится на примере толщины древесных материалов.
Чтобы получить исходные данные для выполнения работы, необходимо замерить толщину 60…70 образцов какого-либо древесного материала (шпон лущеный, шпон строганый, фанера, древесноволокнистая плита, древесностружечная плита, декоративный бумажно-слоистый пластик и т.п.).
Результат единичного измерения является случайной величиной Хi. Случайные величины объединяются в статистические совокупности
случайных величин. Различают генеральные и выборочные статистические совокупности.
Статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значе-
ния случайной величины, называется генеральной статистической совокупностью.
Выборочной статистической совокупностью называется совокупность, в
которой содержится только некоторая часть элементов генеральной совокупности. Иначе часть генеральной совокупности называется выборочной статистической совокупностью или выборкой. Число случайных величин, вошедших в нее, называется объемом выборки и обозначается через n.
По результатам экспериментов практически всегда встречаются с выборочной, а не с генеральной совокупностью.
Выборка характеризуется следующими статистическими характеристи-
ками:
|
|
|
n |
|
|
Среднее выборочное |
|
= |
∑Хi |
(1) |
|
Х |
i=1 |
||||
n |
|||||
|
|
|
|
5
Выборочная дисперсия
2 |
1 |
n |
|
2 |
|
1 |
|
n |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S = |
|
∑(Xi −X) |
= |
|
|
∑Xi |
− |
|
|
∑Xi |
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
n −1 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
n −1 i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение S = |
|
S2 |
|
(3) |
||||||||||||||||||||||
Коэффициент вариации |
V = |
|
S |
|
100% |
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ошибка среднего |
S(x)= |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
S(x) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Показатель точности среднего |
|
|
ξ = |
|
100 = |
V |
(6) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы упростить вычисления Х и S2, а также для построения гистрограммы, выборку разбивают на интервалы. Число интервалов k зависит от объема выборки и определяется по формуле
k = 1 + 3,2 lg n, |
(7) |
где n – объем выборки.
Число интервалов k необходимо округлять до целого числа.
В выборке определяют минимальное (Хmin) и максимальное (Xmax) значения случайной величины и находят зону рассеяния R
R = Xmax − Хmin. |
(8) |
Если разделить зону рассеяния на число интервалов, то можно определить длину или шаг интервала h
h = |
R |
. |
(9) |
|
|||
|
k |
|
|
Первый интервал начинается с Хmin и заканчивается прибавлением длины интервала. Второй интервал начинается с Хmin + h и заканчивается Хmin + 2h и т.д. Последний интервал заканчивается Хmax.
Необходимо определить середину интервала Хj и частоты mj – число случайных величин, попадающих в каждый интервал. Сумма частот всех интервалов равна объему выборки.
Данные удобно свести в табл. 1.
6
Таблица 1 Данные для построения гистограммы и вычисления
статистических характеристик
|
Интервал |
|
Частоты, mj |
|
|
||
№ |
|
|
Середина |
в услов- |
в |
|
mjxj2 |
инт. |
свыше |
до |
интервала, |
ных обо- |
циф- |
mjxj |
|
|
|
|
Хj |
значениях |
рах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑m j |
∑m jx j |
∑m jx 2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем в табл. 1 заполняют еще две колонки с расчетом произведений mjxj и mjxj2, суммы которых необходимы для расчета статистических характеристик.
|
|
|
= ∑mjx j |
|
|
|
|
(10) |
X |
|
|
|
|
||||
∑mj |
|
|
|
|
||||
S |
2 |
= ∑mjx2j |
|
|
2 |
. |
(11) |
|
|
||||||||
|
|
∑mj |
−X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остальные статистические характеристики вычисляют по формулам
3…6.
По экспериментальным частотам можно построить график распределения частот по интервалам – гистограмму, представляющую собой ступенчатый график.
7
Рис. 1. Характеристики экспериментального и теоретического распределения случайных величин: 1 – гистограмма;
2 – теоретическая кривая;
3 – доверительный интервал;
4 – ГОСТовский интервал.
Затем проводят проверку однородности наблюдений, которая заключается в выявлении грубых ошибок (или промахов экспериментатора). Это значения случайных величин, которые резко выделяются из выборки. На грубые ошибки проверяют минимальное и максимальное значения случайных величин выборки по формулам:
|
Xmax |
− |
|
|
|
|
|
||
X |
> τ1−q (n) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xmin |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
> τ1−q (n) , |
(12) |
|||
|
|
|
S |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
8
где τ1-q(n) – квантиль распределения максимального относительного отклонения, зависящий от объема выборки n и уровня значимости q. Принимаем q равным 0,05. Значения квантилей τ1-q(n) приведены в прил. 1.
Если условие 12 выполняется, проверяемое значение случайной величины является грубоошибочным и его следует исключить из выборки. В этом случае объем выборки уменьшается на число грубоошибочных величин. После отбрасывания грубоошибочных значений случайных величин необходимо заново определить максимальное и минимальное значения толщины в выборке, заново разбить ее на интервалы и определить статистические характеристики, снова проверить выборку на наличие грубоошибочных наблюдений.
Как уже было сказано выше, все значения толщины материала в выборке являются случайными, и случайными также будут выборочные статистические характеристики. Они отличаются от истинных значений − генерального среднего или математического ожидания, генеральной дисперсии и др.
Определить истинное значение статистической характеристики по выборке невозможно, но можно определить интервал, в котором оно лежит.
Истинное значение среднего ах отличается от выборочного среднего Х на какую-то погрешность ε
|
−ε ≤ ax ≤ |
|
+ε |
(13) |
X |
X |
Погрешность рассчитывается как
ε = |
S |
t1−q (f ) , |
(14) |
|
n |
||||
|
|
|
где t1-q(f) – квантиль t-распределения Стьюдента, который зависит от принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f = n - 1. Значения t1-q(f) приведены в прил. 2.
Числом степеней свободы f выборки объемом n называется разность между объемом выборки и числом связей, наложенных на эту выборку.
Подставив выражение ε в формулу 13, получаем
|
− |
S |
t1−q (f ) ≤ ax ≤ |
|
+ |
S |
t1−q (f ) , |
(15) |
|
X |
X |
||||||||
n |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9
Границы интервала (формула 15) определяются доверительной вероятностью р.
Доверительной вероятностью или уровнем достоверности является возможность совершения какого-либо события. В данном случае это вероятность нахождения истинного результата в указанных границах. Соответствующие доверительной вероятности пределы называются доверительными границами, а образуемый ими интервал – доверительным интервалом. На практике в качестве доверительной вероятности берут значения p, равные 0,95; 0,99; 0,999.
Наибольшее значение вероятности, несовместимой со случайностью события, называется уровнем значимости q. Другими словами, уровень значимости есть максимум таких вероятностей, при которых событие можно считать практически невозможным. Наиболее употребительны уровни значимости q,
равные 0,05; 0,01; 0,001.
Очевидно, что сумма доверительной вероятности и уровня значимости p + q = 1.
При одной и той же доверительной вероятности границы доверительного интервала будут зависеть и от объема выборки, и от рассеяния значений случайной величины относительно среднего. А именно, с ростом объема выборки и уменьшением среднего квадратического отклонения среднее выборочное приближается к истинному значению.
Доверительный интервал следует нанести на график.
Далее необходимо определить, подчиняется ли исследуемая нами выборка закону нормального распределения Гаусса.
Для этого вычисляют теоретические значения частот mj по формулам:
|
m/j = |
nh |
ϕ(t j ), |
|
||
|
S |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
где |
t j = |
x j − x |
|
, |
||
|
||||||
|
|
|
S |
|
|
|
а ϕ(tj) приведены в прил. 3.
Вычисления удобно производить в табл. 2.
(16)
(17)
10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
Построение кривой нормального распределения Гаусса |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Середина |
Эмпири- |
|
|
|
t j = |
x j − X |
|
|
|
h |
ϕ(t j ) |
|
Теоретиче- |
|||
инт. |
интерва- |
ческие |
|
|
|
|
ϕ(t ) |
|
|
ские часто- |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
xj - Х |
S |
||||||||||||||||
S |
|||||||||||||||||
|
ла, xj |
частоты, |
|
|
j |
|
|
|
ты, m/j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
mj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоретические частоты также наносят на график и получают теоретическую кривую распределения (рис. 1, кривая 2).
Далее проверяют согласованность теоретической и экспериментальной кривых по критерию Пирсона. Критерий Пирсона среди различных критериев согласия является наиболее строгим и надежным для оценки степени различия эмпирического и теоретического распределений. Он рассчитывается по формуле
χ2 = ∑k |
(mj −m |
/j )2 |
, |
(18) |
/ |
|
|||
j=1 |
mj |
|
|
|
где k – число интервалов, на которые разбиты опытные данные. Расчеты удобно свести в табл. 3.
При вычислениях необходимо объединить интервалы с частотами, встречаемость которых менее 5.
Затем по прил. 4 находят критическое (табличное) значение критерия Пирсона χq2(f). Оно определяется в зависимости от уровня значимости q и от числа степеней свободы f = k – r – 1, где k – число интервалов после объединения, а r – число параметров теоретической функции распределения Гаусса
(r = 2).