1024

31

где р – количество генерирующих соотношений.

На основании генерирующих соотношений находят определяющий контраст или обобщенный определяющий контраст, который позволяет установить, какие эффекты взаимодействия исключаются из математической модели.

Поясним сказанное примером.

Построим план ДФЭ вида 25-2. В этом эксперименте имеем 5 факторов (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5), и требуется получить 1/4-реплику. Пусть нам заданы следующие генерирующие соотношения

Х4 = Х1Х2Х3; Х5 = Х2Х3.

Примем во внимание, что

Хi2 = 1 (Хi = ± 1); Хi × 1 = Хi.

Умножив генерирующие соотношения на Х4 и Х5 соответственно, получаем определяющие контрасты

1 = Х1Х2Х3Х4; 1 = Х2Х3Х5.

Перемножив их почленно, получаем обобщенный определяющий контраст (ООК) в виде

1 = Х1Х2Х3Х4 = Х2Х3Х5 = Х1Х4Х5 Умножая поочередно ООК на Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, находим

Х1 = Х2Х3Х4 = Х1Х2Х3Х5 = Х4Х5; Х2 = Х1Х3Х4 = Х3Х5 = Х1Х2Х4Х5; Х3 = Х1Х2Х4 = Х2Х5 = Х1Х3Х4Х5; Х4 = Х1Х2Х3 = Х2Х3Х4Х5 = Х1Х5; Х5 = Х1Х2Х3Х4Х5 = Х2Х3 = Х1Х4.

Из этих равенств следует, что коэффициенты регрессии при линейных членах оцениваются совместно с коэффициентами при парных, тройных и более взаимодействиях. Пренебрегая эффектами взаимодействия выше парных, получим оценки смешивания

b1 → β1 + β45,

32

b2 → β2 + β35, b3 → β3 + β25, b4 → β4 + β15,

b5 → β5 + β14 + β23

У пяти факторов могут быть следующие парные взаимодействия Х1Х2; Х1Х3; Х1Х4; Х1Х5;

Х2Х3; Х2Х4; Х2Х5; Х3Х4; Х3Х5; Х4Х5.

В оценки смешивания не вошли взаимодействия Х1Х2, Х1Х3, Х2Х4, Х3Х4. Поэтому ООК умножим на эти взаимодействия

Х1Х2 = Х3Х4 = Х1Х3Х5 = Х2Х4Х5, Х1Х3 = Х2Х4 = Х1Х2Х5 = Х3Х4Х5, Х2Х4 = Х1Х3 = Х3Х4Х5 = Х1Х2Х5, Х3Х4 = Х1Х2 = Х2Х4Х5 = Х1Х3Х5.

Пренебрегая тройными взаимодействиями, получаем оценки

b12 → β12 + β34, b13 → β13 + β24, b24 → β24 + β13, b34 → β34 + β12.

Так как b12 = b34 , а b13= b24, то математическая модель в этом эксперименте может быть получена в виде

У=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b5X5+b12X1X2+b13X1X3

или в виде

У=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b5X5+b24X2X4+b34X3X4.

Матрица планирования будет содержать N = 25-2 опытов, приведенных в табл. 12.

Правила построения матрицы ДФЭ: вначале проставляют уровни варьирования факторов, которые не являются генераторами плана, по правилам ПФЭ. Затем проставляют уровни варьирования оставшихся факторов в соответствии с произведениями, указанными в генерирующих соотношениях.

33

Если будут заданы другие генерирующие соотношения, получим другие матрицы планирования и, соответственно, математические модели с другими эффектами взаимодействия.

В данной работе объектом исследования является процесс продольного пиления древесины на круглопильном станке ЦДК4-3. Исходные данные содержат в себе постоянные (порода древесины, тип пилы и ее толщина) и пять варьируемых факторов (диаметр пилы, скорость подачи, число зубьев пилы, толщина материала и продолжительность работы пилы). Результатом исследования является мощность резания.

Значения постоянных и варьируемых факторов, а также генерирующие соотношения приведены в табл. 13.

С учетом генерирующих соотношений Вашего варианта построить ООК и написать вид математической модели, а также составить матрицу планирования ДФЭ (табл. 12).

Пользуясь формулами 44-46 для заданных значений варьируемых факторов, определить основные уровни, интервалы варьирования и написать формулы пересчета от натуральных значений факторов к кодированным. Полученные данные занести в табл. 14.

34

Таблица 13

Продольное пиление на круглопильном станке ЦДК4-3 Компьютерный эксперимент (DFPP1)

35

Таблица 14

Значения и уровни факторов ДФЭ

1.Натуральные значения факторов:

-нижний уровень (-1);

-основной уровень

(0);

-верхний уровень

(+1)

2.Интервал варьирования

3.Формулы пересчета

Реализовать компьютерный эксперимент DFPP1 с использованием заданных генерирующих соотношений и значений постоянных и варьируемых факторов.

Каждый опыт в компьютерном эксперименте выполняется один раз (n=1). Для нахождения дисперсии воспроизводимости в эксперименте выполняется дополнительная серия из шести опытов при нулевых значениях факторов.

Дисперсию воспроизводимости вычисляют по формуле

где n0 – число опытов при нулевых значениях факторов (n0=6); Уi – результаты опыта при нулевых значениях факторов;

Уi - среднее значение результатов опытов при нулевых значениях факто-

ров.

∑n 0 Уi

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости fу = n0 – 1.

36

Поскольку матрицы ДФЭ обладают теми же свойствами, что и матрица ПФЭ, расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности уравнения регрессии, полученного по результатам ДФЭ, проводится с применением тех же формул и по тем же правилам, что и для ПФЭ (4951, 59-65).

Чтобы получить уравнение регрессии в натуральных значениях факторов, необходимо в найденную модель вместо кодированных значений Хi подставить формулы пересчета для каждого значимого фактора.

Для контроля вычислений выполняются компьютерные расчеты по программе DFP2.

Практическое занятие № 6

Получение математической модели объектов методом униформ–ротатабельного планирования

Цель работы – построение математической модели зависимости мощности резания от трех варьируемых факторов в виде уравнения регрессии второго порядка методом униформ–ротатабельного планирования (УРП).

Если математическое описание изучаемых объектов в виде линейного уравнения регрессии, найденного по планам ПФЭ или ДФЭ, не удовлетворяет исследователя, то переходят к планам второго порядка.

Планами второго порядка называют такие планы многофакторного эксперимента, с помощью которых можно получить математическое описание объектов в виде полинома второй степени:

где k – количество варьируемых факторов. При двух факторах уравнение 69 имеет вид:

37

При трех факторах

Такая модель дает более детальное описание объекта, поэтому планы второго порядка часто используют на заключительном этапе эксперимента.

Из планов второго порядка находят применение планы: ортогональный, ротатабельный, В-план, униформ-ротатабельный, план Хартли и др.

Рассмотрим более подробно униформ-ротатабельный план (УРП). Свойство ротатабельности плана означает, что точность уравнения регрессии, полученного по результатам его реализации, одинакова во всех точках факторного пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от центра эксперимента. С увеличением этого расстояния точность модели уменьшается. Свойство униформности означает постоянство дисперсии воспроизводимости S2у в окрестности центра эксперимента. Таким образом, униформ-ротатабельный план с хорошей точностью описывает объект вблизи центра эксперимента и со значительно меньшей точностью – на границах факторного пространства.

Факторы в УРП варьируются на 5-ти уровнях: -α, -1, 0, +1, +α. Здесь α - звездное плечо, которое зависит от числа варьируемых факторов (k). Значения α для k = 2…5 приведены в табл. 15.

УРП является композиционным планом, который состоит из трех частей

исодержит:

1)точки ПФЭ или ДФЭ (при количестве варьируемых факторов k ≥ 5) – ортогональная часть плана 2k или 2k-1;

2)звездные точки в количестве 2k;

3)центральные точки n0 , число которых выбирается в зависимости от количества варьируемых факторов, исходя из требования униформности плана.

Таким образом, общее количество опытов УРП

Характеристика УРП приведена в табл.15.

38

Звездными точками называются условия опытов, в которых один из факторов принимает кодированное значение ±α, а остальные фиксируются на основном уровне (0).

Пример построения матрицы планирования УРП для трех варьируемых факторов приведен в табл. 16.

В данной работе объектом исследования является процесс продольного пиления древесины на круглопильном станке ЦДК4-3. Постоянными факторами являются порода древесины, ее влажность, тип пилы, ее диаметр, число зубьев и толщина пилы. Варьируемые факторы – толщина материала, скорость подачи и продолжительность работы пилы. Результатом исследования является мощность резания.

Исходные данные для выполнения работы приведены в табл. 17.

39

Таблица 16

Униформ-ротатабельный план для k=3

40

Таблица 17

Продольное пиление на круглопильном станке ЦДК4-3 Компьютерный эксперимент (URPP1)

Условные обозначения

Р – порода древесины (1 – ель, 2 – сосна, 3 – береза, 4 – лиственница, 5 – бук, 6 – дуб); ТР – тип пилы (1 – плоская с разведенными зубьями, 2 – плоская с плющенными зубьями, 3 – дисковая с твердосплавными пластинками);