Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 семестр / 1 семестр. Лекции. Кленина

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

729.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Задачи

√

4.14. y =

(5x+3)

10x−1

10x+7

√

4.15. y =

6x+ 2x

√

4x2+2

√

4.16. y =

(98x +3)

49x −3

−3087

1/3

4.17. y =

3(36x2−6x+1)

−6 x+1

1/3

4.18. y = 3

−7x+1

(−7x−1)

12x+2√

4.19. y = √

16x2+2

√

4.20. y = −

(50x +3)

25x −3

1125

4.22. y =

2 p

.−

38x+1.

4.21. y = log4

arccos √1

√ √

log4 arccos 2 2x+1

4.24.y	= 3						p			10				√						125 .
			6				5							√
4.23.	y = log3								arctg							2x					− 1.
					q
						ln (arccos √													)
						ln (arccos √							2x+1						)
4 25	q	ln	1							2				+x4						−
	5								√													.			32
4.26. y =				4(1+x4)				+ ln							1+x4							.
. .					arcctg						x				1							1 .

			1				(
														)
4.27. y =								72x2+3							√		36x2				−		3	.
4.27. y =			1944										x		3									.
			− 4							2				√
4.28. y =			− 4							2				√	4								2			.
4.28. y =			(									)			3											.
				2x +20x +53											x +10x +22
										9(x2+5)
																		1/3
4.29. y = 3 (6√x+1−1)2																		.
							6√x+1+1
																						.
4.30. y = 324x2+4 + ln															81x2+1							.
			1													81x2

										3						12(18x2+1)			7(7x 3)
Ответы. 4.16.								−343x		3			.	4.17.				. 4.18.	−		.
										4√					2	2/3	2		2	2/3
										4√	2				2	2/3	2		2	2/3
		−8x2+12√									49x −3				(36x −6x+1)		(6x−1)		(7x+1)(−49x +1)
4.19.		−8x2+12√				x	+1		.	4.20.		−		3		.
				√										4√
			2					2							2
			2					2							2
	√x(8x +1)				16x +2									125x 25x −3

Задача 5. Найти производную функции.

5.1. y = x2 + 2x sh(x+1) .

5.2. y = x4 + 4x3 + 6x2 +

+ (4x + 6)ctg(x+1) .

5.3. y = (sin (x + 1))3x+3 .

5.4. y = x2 + 2x + 2 cos(x+1) .

5.5. y = 19(x+1)19 (x + 1)19 . 5.6. y = (x + 1)3x+1 2x+1. 5.7. y = x2 + 1 3x+1 · 2x3+1. 5.8. y = (sin (x + 1))52 x+ 52 .

5.9. y = x2 + 2x + 2 cos(x+1) .

5.10. y = (x + 1)ecos(x+1) . 5.11. y = (x + 1)2x+1 5x+1. 5.12. y = (3x)esin(3x) .

5.13. y = (tg (3x))14 ln(tg(3x)) . 5.14. y = 6561x8 + 1 tg(3x) . 5.15. y = 19683 (3x)e3x x9.

5.16.

y =

x2 + 1 ln(x).

5 17

= (ln ( )

. .

+ x) .

5.18.

y =

sin (x) + x2

cos(x).

5.19. y =

sin (3x) + 9

cos(3x)

5.20. y = (x + 1)2 + 1

ln(x+1)

sin

5.21.

y =

√3x + 1

5.22.y = xcos53x · (arcsin 3x)4x.

5.23.y = 3x2 + 1 sin 2x·(cos 3x)3x3 .

5.24.y = 3x4 − 1 ln x.

5.25.y = sin 65x 3x.

5.26.

y =

x3 + ln (x)

cos(3x)−x.

5.27.

y = (1 + 3 sin (x))x2 ln(x).

5.28.

y =

+ e

3x x2 tg(x)

. y

x) + sin (x))5x+√

= (

cos (3

√

5.30.y = 4x + √x + 1 e x−1 .

82	Дифференцирование

ln(x)

x2+1

)

2 ln(x)x

Ответы. 5.16.

x2 + 1

(

x2+1

x2(x1 +1)

5.17. (ln (x) + x)

2x ln (ln (x) + x) +

ln(x)+x

5.18. y ·

− sin (x) ln

sin (x) + x2

cos(x)(cos(x)+2x)

sin(x)+x2

cos(3x)(3

cos(3x)+18x)

5.19. y

3 sin (3x) ln sin (3x) + 9x2

· −

)

ln(x+1)

(x+1)2+1

sin(3x)+9x

(

ln(x+1)(2x+2)

5.20. (x + 1) + 1

x+1

(x+1)2+1

Задача 6. Найти производную функции.

√

6.1. y = (4 + 2x) (1 + 2x) + 3 ln 4 + 2x + 1 + 2x .

√

=p−8

− 6

+ 1 + 4

2 arcsin 17 (8

+ 3)

17 .

√

6.3. y = (4 + 6x) (1 + 6x) + 3 ln

4 + 6x

1 + 6x

6.4.

y =

arcsin(2x)

1 ln

1−2x .

√

1+2x

p 4x +1

−

6.5. y =

√4x

−

1 √2 ln

1 √2+√4x +2

4 x

√

= (2 + 12

)

arctg

−

− 2

6.7. y =

√1 + 4x + ln √1 + 4x + 1 .

3 x

−

√

6.8. y =

+ 1

1 ln

16x +1

4x .

−

√

−

4 x

√

16x +1+4√ x x

−

+ 1

1 + 4

+ ln 1 + 4

√

12x

144x +1

6.10.

y = √144x + 1

−

2 ln

√

−

√

144x +1+12x

√

. y

5x 1

5x 1 .

= (2 + 15

)

arctan

−

− 2

−

√

25x2+1

6.12. y = √25x2

+ 1

−

2 ln

√

−

. y

5 x

√

25x√+1+1

−

+ 1

√

1 + 5 + ln 1 + 5

ln(5x)

6.14. y = arctan

25x

− 1

−

√

25x2−1

√

225 x +1 15 x

225

+ 1

−

. y

= −

2 x

−

√−

−2

√225 x√+1+1x

+ 1 + ln −2 + 1 + 1

√

ln(−2x) .

6.17.

y = arctg

− 1

−

√

4x2−1

6.18. y = √

1 ln

√

36x2+1+6x

36x2 + 1

√

−1

36x +1+1

arcsin(3x)

3x+1

6.19. y = −

√

2 ln

−3x+1

−9x2+1

6.20. y =

arcsin(x)

+ 21 ln x1−+1x .

√

−x +1

6.21. y = 2x4−1 √

89 arcsin 2x3−1 .

2 + x − x2

Задачи

√

2 ln(31 x+ 31 )

6.22. y = −x

+ 1 −

√

31 x+ 31

x2+1

6.23. y = 2x arcsin

√

−

+ 1

x2+1

6.24. y = 4x3 arctg (3x + 1) +

3(x4

+1)2 .

−

√x−1√2−x.

1+(3x+1)

6.25. y = 3x2 arccos (5x + 1) −

5(x3+1)

√

−

(5x+1)2

√

1+7−x

−

6.26. y = (2 + 21 x)

7 x − 1 − 3/2 arctan

7 x − 1 .

6 28

= (7 3

2 3)

6.27. y = 1/3 ln

7 x

1/4 +

98 x2

−1

arctan (7 x) .

−

√

. . y

/ x

√

1 + 7 x + ln 1 + 7 x + 1 .

6.29. y = √

√

−2

ln(7 x)

441 x2

+ 1

1/2 ln

441 x +1−

21 x

√441 x2+1+1

−2x+1+2x−

−

6.30. y = arctan

49 x

− 1

−

√

49 x2−1

√

4 ln(

2x)x

Ответы. 6.16.

6.17.

. 6.18.

3(12x 36x +1

36x +1+18x 1)

√

3/2

−2x+1(

−2x+1+1)

(4x −1)

36x +1(

36x +1+1)

6.19.

9 arcsin(3x)x

6.20.

arcsin(x)x

−

(−9x2+1)3/2

(−x2+1)3/2

Задача 7. Найти производную n -го порядка.

7.1. y = sin (10x) + cos (1 + 5x) .

2x+1

7.2. y = 5xe15x.

7.18. y =

7.3. y = e35x−1

1/5

3x− 1

7.19. y = (2 x + 1) · ex.

7.4. y =

20x+7

7.20.

sin (10x)

10x+3

7.5. y =

+ cos (1 + 5x) .

4+30x

7.6. y = a15x.

7.21. y = 34−7x +

7.7. y =

ln(4+5x)

7.22.

5x −14x+9

sin (5x + 1)

−

ln(10)

7.8. y =

√

− ln 9x2−2x − 11 .

5 x.

+ e

−

7.9. y = 13+195x.

7.23. y = 7x2

5x 18

10x+5

−

7.11. y =

e7x+6

1/5 .

sin 5x sin 2x=

+ 5)

−

7.10. y = (x + 1) e3x+3.

7.24.

2n+9

7.12. y =

42x+5

− 7.25. y = sin3 x +

1 .

x+11

7.13. y = √

8x −7x−1

x + 1

7.26.y

7.14. y

sin (2x + 2) +

− sin (10x)

+ cos (5x − 1) .

+ cos (2 + x) .

7.27.y = −20x+7.

7.15. y =

2x+7

−10x+3

52+39x

7.28.y =

ln(−25x+2)

7.16.

y = ex · sin ( x) .

ln(10)

7.29.y = e−

35x 1 1/5

−

7.17.

y = ex

cos (x) .

7.30.y = −−195x+13.

10x+5

84	Дифференцирование

Ответы. 7.16. ex212 n sin x + 14 nπ .

7.17. ex221 n cos x + 14 nπ .

7.18. −5(−1)−1+nn!3−1+n . (3x−1)1+n

7.19.(2n + 2x + 1) ex.

7.20.sin 10x + 12 nπ 10n + cos 1 + 5x + 12 nπ 5n.

Задача 8. Найти производную yx′ .

8.1.

x =

1 + cos2 3t

2 ,

( y = sincos233tt.

x = ln 1

t2 ,

8.2. ( y =

√

1+− t

1 t4

−

x = arccos

t+1

8.3.

( y =

√t2 + 2t + arcsin

t+1

x =

8.4.

ln 5t

√

25t

( y = ln 1+

5−t

x = arcsin

√

8.5. ( y =

1 +

√

−

x = parcsin t3

2 ,

5.6. ( y =

√

1−t

√

+ 1,

x = 2t

8.7.

( y = ln

√

1+ 1+4t

x = arctg 5t,

8.8.

( y = ln

√

1+25t

5t+1

8.9.

x = ln −t2

− 2t ,

( y = arcsin

√

−

2t.

−

x = arctg 2t+1

8.10. ( y = arcsin2√t−

1 − 4t2

x = ln

1−sin 2t

8.11.

1+sin 2t

( y = 2 tgq2t + ln cos 2t.

Задачи

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

√

1−2t,

x =

4t2

arctg

( y =

√

−

√

−

arcsinq √2t

2t.

−

x = ln (tg 3t) ,

( y =

sin2 3t

√

9t2 ln 3t

x =

1 9t2

+ ln 1 − 9t ,

( y =

−3t

arcsin 3t + ln √

√

−

9t2.

1−9t

x = e

sec2

( y = tg 2t · ln cos 2t + tg 2t − 2t.

x = sin (2 t) ,

( y = e3 t+1.

x = ln 1 + t2

( y =

1 + t3

6 t + 1

x =

6 t − 1

y = arcsin

1 − 12 t2.

= ln (6

t) ,

y =

sin2 (6 t)

x = e2 tcos2 (t) ,

( y = e2 tsin2 (t) .

x = 2t + sin (t) ,

(y = t4 + cos (t) .

x = 2t + 6 + sin (t + 3) ,

(y = (t + 3)4 + cos (t + 3) .

x = et + sin (t) ,

(y = ln

+ cos (t) .

x = √

sin (t) ,

(y = ln

+ cos (t) .

= 3

arcsin (t) ,

−

(y = t2 + arccos (t) .

86 Дифференцирование

Найти производную от функции y(x), заданной неявно. 8.26. y + arcsin y = (2x + 1)2.

8.27. (2x−1)2 − y2 = 1.

9 16

8.28.x ln y + y ln (3x) = 1.

8.29.3xy2 + 9x2y = 4.

8.30.cos (5xy) + 5xy = 1.

	3	e	3t+1		3	t t2		+1		)		1	√		2			12t cos(6t)

Ответы. 8.16.				. 8.17.		(					. 8.18.			3(6t−1)		. 8.19.				.
	2 cos(2t)				4	√						6	√					3
							3		+1					2	+1				(6t)
							t							−12t			− sin

8.20. − sin(t)(sin(t)+cos(t)) . cos(t)(sin(t)−cos(t))

Задача 9. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

9.1. lim

cos 7x+cos 2x

9.16.

lim

xx−x

x→π

tg 10x

x→1

ln(x)−x+1

3 x

9.2. lim

cos 3x

9.17.

lim

π · arctg (3

)

−

π/6

−1)

π/6

∞

→

2 sin x)(1−cos 3x)−1 .

→

9.3.lim (1

arcsin(2 x)

4 x2

−

9.18.

lim

2 x

)

→

ex(cos 4x

x→0

1 cos 9

9.4.lim

−

(

cos 6x−1

9.19.

lim

−

sin(x2)

→

πx2

x→0

9.5. lim

9.20.

lim

ln(sin(3 x))

esin πx3

−

x→1

ln(sin(5 x))

9.6. lim

√

cos x

−2

→

tg(23 πx)

9.21.

3x)

ln(2−cos

lim (2

−

→

2 1

x→ 31

1) .

9.7. lim (2cos 2x

−

√tg(x)

−

x→∞

9.22.

lim

1+2x

cos(2 x)

9.8. lim

−2

→

x→0

(ln(1+3x))

tg(

π2·x )

9.23.

lim (2

√

−

9.9. lim

8x +1−2

8x +3x+1

→

cos

(1/x)

x→+∞

2 sin2 πx4

9.24.

lim

2−x

x→2

9.10. lim

−1

√x .

9.25.

lim

−

→

ln(x)−x+1

242x2+9

→

)

9.11. lim

(x3−π3)5x

9.26.

lim

(−

π e1−cos 2x−1

→

2/11

sin(22πx)

→

10x

−7

9.12. lim

1−2 sin (3x/4)

9.27.

lim

x→π

ex−π

−

sin(17π/2)

x→0

arcsin(15x) 25x

−

9.13. lim

ln(cos(1/x))

x 2−x

9.28.

lim

− ·

1/x2

−

x 3−

→∞

→

− ·

√

x +2x+1

x +3x

x +x sin(x)

9.14. lim

1/x−

9.29.

lim

∞

−1

−

cos(x)

→

25x2+5x sin(5x)

. lim

9.30.

lim

1−cos(5x)

x→1 x−1 − ln(x)

x→0

Теоретические упражнения

Ответы. 9.16. -2 9.17. e−2/π. 9.18. e1/6. 9.19. 81/2. 9.20. 1.

Теоретические упражнения

1.Исходя из определения производной, доказать, что

(a)а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;

(b)б) производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;

(c)в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.

2.	Доказать, что если функция f (x) дифференцируема в точке x = 0 и
	f (0) = 0 , то		f′ (0) = lim		f(x)	.
	f (0) = 0 , то		f′ (0) = lim			.
				x→0	x
				x→0
3.	Доказать, что производная f′ (0) не существует, если
	(	0,		x = 0.
4.	f (x) =	x sin (1/x) , x 6= 0,
5.	Доказать, что производная от функции
6.	f (x) = (	0,	sin (1/	) x =60.
		x2	x	, x = 0,

7.разрывна в точке x = 0 .

8.Доказать приближенную формулу

√

(a) a2 + z ≈ a + z/ (2a), a > 0, |z| a.

9. Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x) + g (x) в точке x = x0 если, в этой точке:

10.а) функция f (x) дифференцируема, а функция g (x) не дифференцируема;

11.б) обе функции f (x) и g (x) не дифференцируемы.

12.Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0) 6= 0 , а функция g (x) не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение f (x) g (x) является недифференцируемым в точке x0 .

Графики

13. Что можно сказать о дифференцируемости произведения f (x) g (x) в предположениях задачи?

(a)	Рассмотреть примеры:
(b)	а) f (x) = x, g (x) = \|x\| ,		x0 = 0;
	(	0,	x = 0,	0
(c)	f (x) = x, g (x) =	sin (1/x) , x 6= 0,		x = 0;

(d)б) f (x) = |x| , g (x) = |x| , x0 = 0;

(e)f (x) = |x| , g (x) = |x| + 1, x0 = 0.

14.Найти f′ (0) , если f (x) = x (x + 1) ... (x + 1234567) .

15.Выразить дифференциал d3y от сложной функции y [u (x)] через производные от функции y (u) и дифференциалы от функции u (x) .

16.Пусть y (x) и x (y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить x′′ через y′ и y′′ .

§3. Графики. Задачи

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной

первого порядка6.

1.1. y = 8x3 − 6 x.

1.2. y = 16x (−x − 1)4 .

1.3. y = 8x3 + 12x2 − 2.

1.4. y = −2x3 + 9x2 − 12 x.

1.5. y = (2x + 1)2 (2x + 3)2 .

1.6. y = 1 − x2 − 2x

1/3 .

1.7. y =

4x + 8

( x + 2)2

1/3 .

−

−1/3

−

1.8. y = (x (x + 2)) .

1.9. y =

361/3((−x−1)2)1/3

2x2−4 x+18

1/3

1 11

+ 2x − 8.

1.10. y = 3 (−x + 4)

. y

−

216x3

+ 18x.

1.12. y = 54x3 + 81x2 + 36x.

1.13. y = 1 − 9x2 + 6x

1/3 .

1.14. y =

216x

+ 108

−

1/3

1.16. y = 216x

1.15. y = 12x + 8 − 6 (3x + 2) .

−

1.17. y = (−6x − 1)2(−6x − 3)2.

1.18. y = 1 − √

9 x2 − 6 x.

1.19. y = −2x3 + 9x2 − 12 x.

1 21

= p

−

1.20. y = 3 −x (−x − 2).

. . y

8 x3

24x2 + 18x 2.

1.22. y = −2 x3 + 15x2 − 36 x + 23.

1.23. y = (2x − 1)2(2x + 1)2.

1.24. y = √

− 1

1.25. y = 8x3 − 12x2 + 2.

1.26. y = 2 x − 278 x3.

6Здесь и всюду далее ответы к последним пяти номерам см. в конце расчета.

90				Задачи
1.27. y = 4/3 x2 −			8	x3 − 2.
			27
1.28. y =	2	x3 + x2 + 4 x.

27
1.29. y =	2	x3 + x2 + 4 x.

27

1.30. y = 1 − 3 1/9 x2 + 2/3 x.

Задача 2. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.

2.1. y = 6 e2x − 8x3 − 12x2 − 12x − 5, x0 = 0. 2.2. y = 4 x2 − 4x − 2e2x−2, x0 = 1.

2.3. y = cos (2x − 1)2 + 4x2 − 4x, x0 = 12 .

2.4. y = 6 e2x+1 − 8x3 − 24x2 − 30x − 16, x0 = −12 .

2.5. y = 4 x2 − 2e2x−1, x0 = 21 .

2.6.

y = sin (2x) + sh (2x) − 4x, x0 = 0.

2.7. y = 4 x2 − 4x − 2e2x−2, x0 = 1.

2.8. y = 4 x2 − 8x + cos (2x − 2)2 , x0 = 1.

2.9. y = 6e−x + x3 − 3x2 + 6x − 5, x0 = 0.

2.10. y = x2 + 2x − 2e−x−2, x0 = −2.

2.11. y = cos (x + 1)2 + x2 + 2x, x0 = −1.

2.12. y = x2 − 2e−x−1, x0 = −1.

2.13. y = x2 + 2x − 2e−x−2, x0 = −2.

2.14. y = x2 + 4x + cos (x + 2)2 , x0 = −2.

. y

= −

sin (x)

−

sh (x) + 2x, x

= 0.

2.16. y = 6e2 x − 81 x3 −143 x2 − 3 x − 5, x0 = 0.

2.17. y = 41 x2 − x − 2e2 x−2, x0 = 4.

2.18. y = sin

1 x

+ sh 1 x

x = 0.

2 19

= 4

− 2

−

. .

1 x 1

, x

= 2.

−

8 x3

− 9 x − 5, x0

= 0.

2.21. y = 6e

2 x

− 3 4 x2

2.20. y =

4 x

− 2x + cos

2 x − 2

x0 = 4.

2.22. y = 49 x2 − 3x − 2e2 x−2, x0 = 34 .

2.23.

y = cos

3 x

2 + 9 x2

3 x, x0 = 2 .

2.24. y = 49 x2

2 x−1, x0 = 32 .

−

2.25. y = 49 x2 − 3x − 2e2 x−2, x0 = 34 .

2.26. y = 6e−2x + 8x3 − 12x2 + 12x − 5, x0 = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1 семестр

#
26.02.2023729.38 Кб31 семестр. Лекции. Кленина.pdf
#
26.02.20238.08 Mб1Мои шпоры.docx
#
26.02.20232.6 Mб2Мои шпоры.pdf
#
26.02.20232.81 Mб3Определённые интегралы. Кленина.pdf
#
26.02.20236.61 Mб0Практика из ЭП (1).jpg
#
26.02.20236.94 Mб0Практика из ЭП (10).jpg