1 семестр / 1 семестр. Лекции. Кленина

эквивалентность бесконечно малых функций.

Таблица 1.1 эквивалентных бесконечно малых

Если u (x) → 0 при x → x0, то при x → x0 верны следующие соотношения:

1)sin u u,

2)tgu u,

3)arcsin u u,

4)arctg u u,

5)1 − cos u 12u2,

6)eu − 1 u,

7)au − 1 = u ln a, a > 0, a 6= 1,

8)ln(1 + u) u,

9)(1 + u)σ − 1 σ · u, σ = const.

Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят,

копеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость

62 Лекция 7

(здесь можно применить теоремы сравнения), а затем − условную сходимость.

Например, рассмотрим интеграл R2+∞ sin2 x dx . Здесь подынтеграль-

xln x

ная функция изменяет знак на полуинтервале [2, +∞) , поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный”

интеграл I = R +∞ sin x dx. Здесь подынтегральная функция неот-

2xln2 x

рицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1:

Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним, что любая точка M (x, y) на плоскости вполне однозначно опре-

−−→

деляется своим полярным радиусом OM = ρ и полярным углом

−−→ −→

θ = OM, Ox , 0 ≤ θ < 2π (считаем, что началу координат O соответствует радиус ρ = 0 и любой фиксированный полярный угол θ [0, 2π) ). Поэтому любую кривую на плоскости можно задать уравнением ρ = ρ (θ) , α ≤ θ ≤ β. Переход от декартовых координат точки M (x, y) к полярным осуществляется формулами

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

ρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ) , α ≤ θ ≤ β,

причем функции ρ1 (θ) , ρ2 (θ) непрерывны на отрезке [α, β] , то её площадь вычисляется по формуле SD = 12 Rαβ ρ21 (θ) − ρ22 (θ) dθ.

Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, если граница задана в параметрической форме.

Теорема 7.3. Пусть фигура D имеет границу , заданную параметрически уравнениями

x = x (t) , y = y (t) , α ≤ t ≤ β,

причем при возрастании параметра t от α к β обход границы совершается так, что сама область D остается слева от наблюдателя. Если при этом функции x′ (t) , y (t) непрерывны на отрезке, то

< xn = b отрезка [a, b] на частичные отрезки [xi, xi+1] . Это разбие-

ние порождает разбиение (Δ) дуги на частичные дуги MiMi+1. По

Z b q

= 1 + (f′ (x))2dx.

a

и “гипотенузой” dl. Теперь формулу (7.1) для вычисления длины дуги можно записать кратко так: l = ab dl. Эта форма записи длины дуги задана параметрически или в полярной

R

особенно удобна, если дуга форме. Из нее можно получить следующие утверждения.

Теорема 7.5. Если дуга задана параметрически уравнениями x = x (t) , y = y (t) , t [α, β] , где функции x (t) , y (t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [α, β] , то ее длина вычисляется по формуле

Z β

p

l = x˙ 2 (t) + y˙2 (t) dt.

α

Если дуга задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (θ) , ϕ1 ≤ θ ≤ ϕ2, где функция ρ (θ) непрерывно дифференцируема на отрезке [ϕ1, ϕ2] , то её длина вычисляется по формуле

Z ϕ2

p

l = ρ2 (θ) + ρ′2 (θ) dθ.

ϕ1

Действительно, если задана в параметрической форме, то

p p p

dl = dx2 + dy2 = x˙ 2 (t) dt2 + y˙2 (t) dt2 = x˙ 2 (t) + y˙2 (t) dt

Z β

p

l = x˙ 2 (t) + y˙2 (t) dt.

α

Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.

Например, если дуга задана уравнением ρ = 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ ≤ π/6, то её длина равна

7.4.Вычисление объёмов тел

Спомощью определенного интеграла можно вычислять объемы тел. Дадим соответствующие формулы.

Теорема 7.6. Пусть тело W заключено между плоскостями x = a и x = b, а S = S (x) − площадь его поперечного сечения плоскостью x = const. Если функция S (x) непрерывна на отрезке

[a, b] , то объём тела W вычисляется по формуле

Z b

V = S (x) dx.

a

ции

Рис. 7.5

D = {0 ≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤ b}

вокруг оси Ox , то объём этого тела вычисляется по формуле

Z b

V = π f2 (x) dx.

a

Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса R = f (x) , поэтому S (x) = π·f2 (x) . Аналогично вычисляет-

ся объём тела, полученного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции D = {0 ≤ x ≤ g (y) , c ≤ y ≤ d} : V = π Rcd g2 (y) dy (конечно, в выписанных формулах для V предполагается, что функции

f (x) и g (y) непрерывны на соответствующих отрезках). Рекомендуем выполнить задачи на приложения определённого ин-

теграла в типовом расчете “Интегралы,” помещённом в конце пособия.

2n3− (−1+n)(−2+n)(−4+n)

6(2n+6) +5)(4+2n)(2+2n)− (2n

8(8+2n) n+6)(4+2n)− (2n+7)(2