Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 семестр / 1 семестр. Лекции. Кленина

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

729.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Графики

2.27. y = 4x2 + 4x − 2e−2x−2, x0 = −1.

2.28. y = 4x2 − 2e−2x−1, x0 = −1/2.

2.29.

y = − sin (5x) − sh (5x) + 10x, x0 = 0.

2.30.

y = cos (5x + 1)2 + 25x2 + 10x + 1, x0 = −1/5.

Задача 3. Найти асимптоты и построить графики функций.

3.1.

y =

−3x2+7 .

3.16.

y = −4x2+21 .

−142 x+9

7x3

3.17. y =

3.2. y = 54x −27x2 −6x+1.

27x −7 .

3−

27x +1

3.3. y =

27x +9x2

−9x−1 .

3.18. y =

18x −1

18x

−

√

3.4. y = 27x −7 .

2−

3.19. y =

−

9x −8

6x+1

√ x2

3.5. y =

18x2

−

3 −

27x +9x

−

9x 1

√9x2

−

3.20. y =

−

18x

−

3.6. y =

9x +18x+9

3.21. y =

3x+4

3.7. y =

−

9x −8

( 3+x)3

√9x2

−

3.22. y =

−

2 .

3.8. y =

9x +16

√

3.23. y = x −20x.

81x2

−

5x+2

3.9.

y =

−4x +21 .

3.24.

y = x2−4x−4 .

3.10. y =

−14

2x+9

x+3

12x −7 .

3.25. y =

−

5x+6

−4

x+1

3x 1

3.11. y =

−

3.26. y =

−

25 x +21

√ x2

−

352x+9

3.12. y = 4x −12x+9.

3.27. y =

75 x

−

2 x+4

−2

10 x

3.13. y =

−2x −4 .

3.28. y =

25 x +16

√

2−1

225 x

−

2x +8

3.14.

y =

√

3.29.

y =

25 x +30 x+9.

5 x+4

− x2+6x 1

−

25 x2

−

3.15. y = −8x +42

−

3.30. y =

8x −2

√

25 x −4

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить её график.

4.1. y = e5x−3 .

5x−3

4.2. y = ln 5x+6 .

4.3. y = 2 ln 5x−1 + 1.

4 4

= (10

+ 5) −

−

10x

. . y

4 6

−

4.5. y =

3 (2 − 5x) (25x2

− 20x + 1).

4.7.y = p

(5x

3) (25x2

30x + 6).

. .y

(5x + 1) (25x2

+ 10x 2).

−

Задачи

4.8.y = 251/3 3

(3 + 5x) x2.

4 9

(5 p

− q

(5x

−

3) .

q e−x−3−

. .y

4.10.

y = −x−3 .

4.11. y = ln −

−xx+6

− 1.

= (−2

−

. y

5) e2x

4.14.y = p

(3 − x) x2.

4.13.y = 3 (x + 2) (x2 + 4x + 1).

4 15 =p

2x 3 −− x−

. y 2 ln

+ 1.

4.16. y = e2x

−3 .

−

4.17. y = (4x + 5) e−4 x−4.

4.18. y = 2 ln 1 2x−1

+ 1.

4.19. y =

(2x2 +x1) (4x2 + 4x − 2)

= p2

4 20

4.21.

y =

. . y

41/3

(2x + 3) x2.

e 3 x−3

3 x−3

2 x+6

− 1

3 x

4.22. y = ln 23

−

4.23. y = 2 ln 2 ·

+ 1.

4.24. y = x

+ 4 e

−

4.25. y =

7 x

+ 4

−

4.26. y = 7e x −3 .

e .

−x

−

4.27. y = 2 ln 7x−1

+ 1.

4 28

= (14

−

7 x

14 x

. .

5) e

(7 x + 3) x2.

4.29. y = √49 3

− q

−

(7p

Задача 5. Провести полное исследование функций и построить их графики.

5.1.				y =					1			.	5.6.	y =		1		.
5.1.				y =			sin(2x)−cos(2x)					.	5.6.	y =	sin(x+1)−cos(x+1)			.
5.2.				y = esin(2x)−cos(2x).									5.7.	y = − arctg (cos (x + 1)) .

5.3.				y =			3		sin (2x).				5.8. y = 3			sin (x + 1).
	.		. y					arctg (cos (2x)) .					5.9. y = ln			√
5	.	4	. y		=			arctg (cos (2x)) .					5.9. y = ln				2 sin (x + 1) .
5		4			=		p							p
						−			√				5.10. y = esin(x+1)−cos(x+1).
5.5.				y = ln					√	2	sin (2x) .		5.10. y = esin(x+1)−cos(x+1).

Теоретические упражнения

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

y =	1	.
	sin(21 x)−cos(21 x)

y= sin1/3 12 x .

y= esin(12 x)−cos(12 x).


	= ln		2 sin 2
y = − arctg					cos		21 x
y			√		1 x .
y =				1		.
		sin(3x)		cos(3x)

−

y = esin(3x)−cos(3x).

y = 3 sin (3x).

y= − arctg (cos (3x))

y = ln 2 sin (3x) .

5 22		=
5.21.	y = arctg sin								3 x .
									2
. .	y esin(23 x)−cos(23 x).
				−23 √				cos x .
5.23.	y = ln						2
5.25.	y = ln				2 sin					3 x .
									2 x
5.24.	y =		−	arctg cos						2
5 26				√					3

		= arctg (sin (5
											.
.	y								x)) .
5.27.	y = esin(5 x)−cos(5 x).
5.28.	y = arctg (sin (7 x)) .
5.29.	y = − arctg (cos (7 x)) .
5.30.	y = ln			√		sin (7 x) .
					2

				Теоретические упражнения
1.	Доказать, что функция				f (x) = x − sin x монотонно возрастает на отрез-
	h	i	h	i
ке: а)	0,	2π	; б)	0, 4π	Следует ли из монотонности дифференцируемой
функции монотонность ее производной?
2.	Доказать теорему: если функции ϕ (x) и					ψ (x) дифференцируемы на от-
резке	h a,	b i и ϕ′ (x) > ψ′ (x) x a, b ,				а ϕ (a) = ψ (a) , то ϕ (x) > ψ (x)

x a, b .

Дать геометрическую интерпретацию теоремы.

У к а з а н и е. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции f (x) = ϕ (x) − ψ (x) .

3. Доказать неравенство 2x/π < sin x для трех случаев:

а) x 0, arccos π2 ;

б) x arccos π2 , π2

;

в) x 0, π2 .

Дать геометрическую интерпретацию неравенства.

4. Исходя из определений минимума и максимума, доказать, что функция

(	0,	x = 0
f (x) =	e−1/x2	, x 6= 0,

имеет в точке x = 0 минимум, а функция

(	0,	x = 0
f (x) =	xe−1/x2	, x 6= 0,

не имеет в точке x = 0 экстремума.

94	Теоретические упражнения

5. Исследовать на экстремум в точке x0 функцию f (x) = (x − x0)n ϕ (x) , считая, что производная ϕ′ (x) не существует, но функция ϕ (x) непрерывна в точке x0 и ϕ (x0) =6 0 , n . натуральное число.

6.Исследовать знаки максимума и минимума функции x3 − 3x + q и выяснить условия, при которых уравнение x3 − 3x + q = 0 имеет а) три различных действительных корня; б) один действительный корень.

7.Определить ¾отклонение от нуля¿ многочлена p (x) = 6x3 − 27x2 + 36x − 14

на отрезке 0, 3 , т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции

|p (x)| .

8. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функ-

ции.

§4. Интегрирование. Задачи

Задача 1. Вычислить интегралы.

1.1.

(15x

2) e9x dx.

1.16.

(

25x

2) e−15 x dx.

1.2.

ln 9x2

+ 4 dx.

1.17.

ln 25x2

+ 4 dx.

−

dx.

(

1.4. R

ln 36x2 + 1

1.19. R

cos2 (5x) dx.

cos (25x) dx.

1.3.

−

12x) sin (6x) dx.

1.18.

−

1.5. R

1.20. R

cos2(3x) dx.

arctg

√

20x

dx.

1.6. R

arctg

√12x − 1

dx.

1.21. R (3x − 2) e

5 x

−9

−

1 7

(9x − 2) cos (15

) d

1.22. R

25 x

+ 4

dx.

1.8. R

1.23. R

sin

3x sin2 (3x) dx.

2 − 125 x

56 x

dx.

. .

(5x + 3) e3x+3dx.

1.9.

1.24.

ln 36 x2 + 1 dx.

1.10.R

x2 + 2x + 5

1.25.

arctg

51 √

60x −2

1.11.

x+1

15x

− 2 e

(3x + 1) cos (5x + 5) dx.

ln 9

1.13.

cos (x+1)

dx.

arctg

√4x + 3

1.28. R

3x3sin2

3x2

dx.

1.12.

dx.

1.27.

dx.

1.14.

ln 4x

+ 8x +

5 dx.

15x2

(

cos

(

1.29.

cos

dx.

+ 1)

cos (3x )

−

3x3

−

15x

1.15.

x + 1)

1 dx. 1.30.

2 dx.

Ответы. 1.16.

e−

(75x + 11) + C.

1.17.

x ln

25x2 + 4 − 2x + 54 arctan 25 x + C.

1.18.−1253 cos (25x) − 35 sin (25x) x − 252 sin (25x) + C.

1.19.x tg (5x) + 1 ln (cos (5x)) + C.

√5 1 √−20x − 1 + C.

Задача 2. Вычислить интегралы.

2.1.

√

dx.

2(41 x2+ln(41 x2))

2.2.

9x2+ln(9x2)

dx.

2.8.

dx.

(25x2+1)

x 9x +1

2.7.

2.3.

sin(3x)−cos(3x)

dx.

2(arccos3(21 x) 1)

2.10.R

2.4.

tg (3x) ln (cos (3x)) dx.

4−x +4

tg(3x+1)

x− x

dx.

−

dx.

(cos(3x)+sin(3x))

2.9.

√

2.5. R

dx.

√

x2+4

cos2(3x+1)

2.6.

dx.

2.11.

dx.

1 x2+1

)

(9x +1)

Задачи

sin(21 x)−cos(21 x)

x2+ln(

x2)

dx.

2.12.

dx.

2.22.

2.23.

tg2(5 2

) dx.

(cos(2 x)+sin(

2 x))

2 x+1

2.14.

x x

2.24.

dx.

√ 2

2+4 dx.

2.13.

√

cos

(5 x+1)

2.15. R

x(x−2)

dx.

5 x

x −2x+2(x−1)

(

x +1)

2.16. R

2.26.

4(161 x2

+ln(161 x2))dx.

25x2+ln(25x2) dx.

√

−

(x−1) 2x+2

√4x2+25dx.

2.17. R

(π−

−

dx.

2.27.

(

(4 )− )

dx.

√

25x

√

2.18.

arccos(5x))3 1

2.28

arccos3

1 x

5 dx.

Rtg (5x)

cos2 (5x) dx.

sin(4 x)−cos(4 x)

−

1 −x +16

(cos(5x)−sin(5x))

2.29.

2 dx.

− sin(5x)−cos(5x)5

(cos(41 x)+sin(

41 x))

2.20.

−5 x+1

dx.

(

x2+1)

2.21.

+25

dx.

2.30.

41 x

x4 )

dx.

√4x2

√x2+16−

√25 x+1

Ответы. 2.16.

2 x

+ 2 ln (5) ln (x) + 4 ln

+ C.

2.17.

(π − arccos (5x))4 + 51 arccos (5x) + C.

2.18. −

cos2 (5x) + C.

2.19. −

+ C.

20(cos(5x)

−

sin(5x))4

2.20. −

√

+ C.

(25 x − 17)

25 x + 1

375

Задача 3. Вычислить определённые интегралы.

3.1.

dx.

16x4+1

√

−2x−21x

3.2.

√

4x +1

√

arctg(2x)+2 x

3.3.

dx.

4x2+1

− 23

√

3.4.

√ 1− −2x dx.

−2x(−2x+1)

−1

3.5. R 8x3 dx.

4x2+1

−1

3.6. R 1+ln(−2x) dx. x

−e

tg(2x−1)

3.7.

dx.

cos2(2x−1)

8 x3+2 x

dx.

3.8.

16x4+1

√2

x+ 16

3.9.

dx.

256

√

dx.

3.10.

√

x +16

2(1−21 √

)

dx.

3.11.

√

(41 x+1)

Интегрирование

3.12.

3.13.

1	arctg(41 x)+ 41 x
R
R		1	x2+1

016

e 4(1+ln(1 x))

dx.

3.19.

3.20.

R	1+ln(7 x) dx.

1	x

R tg(4x+1) dx. cos2 (4x+1)

3.14.

tg(41 x+1)

dx.

−1

cos2(

41 x+1)

3.15. R

x + 4 x

dx.

x4+1

256

1−2√

3.16.

√x(4x+1) dx.

3.17.

−

4+4 ln(−45 x)

dx.

−21R

√

−1

3.18.

√2−4 −2x dx.

−21

−2x(8x−1)

Вычислить значения выражений.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

dx.

x4+1

√

x+ 9

√ 2

√

x +9

√

arctg(31 x)+ 31 x

dx.

(1−31 √3√x)√3

91 x2

ER3

dx.

√

(31 x+1)

√

3+3 ln(31 x) dx .

3.26.	1	(5x − 7) e3x−3dx + 119 .
3.26.	0	(5x − 7) e3x−3dx + 119 .
	R
	3												21
3.27.	1													+ 2.
3.27.	2	ln	(x − 1)2 + 4							dx − π + 4 arctg				+ 2.
	R
	R	x	1
3.28.	0	(6 − 4x) sin (2x − 2) dx + sin (2) − 3												cos (2) .
	2		−
3.29.	R	2		dx		−		ln (cos (1)) .
3.29.		2		dx				ln (cos (1)) .
	1	cos	(x−1)
	4	ln 4(x − 1)2 + 1 dx + 2 + arctg (4) − arctg (6) .
3.30.	3	ln 4(x − 1)2 + 1 dx + 2 + arctg (4) − arctg (6) .
	R			1				5						√
	R			1				5						√
Ответы. 3.16.				2 ln					− arctg (2) + arctg				2 3 .
Ответы. 3.16.				2 ln			13		− arctg (2) + arctg				2 3 .
3.17.	4 ln (5) ln (2)							6ln2		(2) + 4 ln (2) . 3.18. 0.
	4 ln (5) ln (2)				−					1 cos2(59 )−cos2(37 )
			3		−					1 cos2(59 )−cos2(37 )
3.19. ln (7) + 2 .				3.20. −						8		.
3.19. ln (7) + 2 .				3.20. −						8	cos2(59 )cos2(37 )	.

Задача 4. Вычислить неопределенные интегралы.

Задачи

3x3

+9x2+9x+1

12x3+1

4.2.

+4x−+3

− −

dx.

4.17.

dx.

4.1.

x+2)

dx.

4.16.

x(4x2

−

1) dx.

x5(x +34

21x

4.3.

3x +15x +18x

4x +12x +13x+3

(x+1)(−x 2)(−x+3)

dx.

(4x −8x +3x−1)

(x−1)(x+1)

x +4x

14x 4x+13

4.4.

x −3x +4x+23 dx.

4.19.

96x5−96x3+7

dx.

(x+3)(x−1)

x(−x

−

4.18.

(2x 1)2(4x2+1)

dx.

4.5.

3 dx.

4.20.

24x3

−

24x2+10x+1

dx.

(x+3)(x+1)

x3+3x2

+4x+4

−

4.6.

dx.

4.21.

1 24x3+36x2+18x+1

dx.

(x+2)(x+1)

x(2x2+3x+1)

2x3

+6x2

+7x+4

(2x−1) (2x +1)

4.7.

dx.

4.22.

32x +64x

56x

8x+13

dx .

(x+2) (x +2x+2)

2(2x+1)(−x 1)(2−x+3)

+7x2

+14x+10

4.8.

dx.

4.23.

2(4x −6x +4x+1)

dx.

(x+2) (x +2x+3)

−

3x3

+15x2+26x+13

4.9.

−2

−

dx.

4.24.

8x3+12x2+7x+2

dx.

x(x

3x+2)

4.10. R

3x3

9x2

+9x 5

(2x+3)(2x−1)

−6x(x 4)(x2

−

dx.

4.25.

24x3+60x2+52x+13

dx.

2 −

(x+1)2

(4x2

+4x+3)

−4

+8x3+2x2+4x 3

(x+1)(2x+1)

4 11

−

4.26.

3x +27x +81x+79

dx.

(x+1)(x−3)

x3+9x2+26x+24

. .

9x +28x

x3+3x2+4x+6

x(x2−3x+4)

4.12.

dx.

4.27.

(x+5)(x+1)3

dx.

+1)(x 1)3

4.13.

2x −6x +73x−2 dx.

4.28.

x +9x +28x

dx.

(x3

2−

+32

4.14.

−

dx.

4.29.

(x+4)2(x2+6x+10)

dx.

x(2x−1)

(x+5)(x+3)

4.15.

−

dx.

4.30.

x3+13x2+54x+74

dx.

−

2x+2

x (x

2x+3)

(x+4)(x+3)

2x+2)

− 2

2x3+18x2+55x+58

−

3x +2x

Ответы. 4.16. 3x − ln (x) + 45 ln (2x − 1) − 41 ln (2x + 1) + C.

4.17.

4 ln (x − 1) −

+ C.

2(x+1)2

4.19. 24x−4

+ 32x3 + 7 ln (x

7 ln (x) + C.

4.18.

4(2x

+ 8

+ 1

− 4 arctg (2x) + C.

−

x√

4.20. −

+ 23 ln

2x2 + 1 − 21

√

arctg

+ C.

2x−1

Задача 5. Вычислить определённые интегралы.

arctg(3)

5.1.

dx.

π/4

sin2(2x)(1−cos(2x))

cos(2x)

5.2. arctg(2)

dx.

(1−cos(2x))3

arctg(2)R

5.3.

R(2 )

dx.

sin(2x)·(1+sin(2x))

arctg

Интегрирование

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

π
4		cos(2x)
R		cos(2x)
R	0
0		5+4 cos(2x) dx.
0
−		R(√3 )		3 tg2(2x)−50	dx.
−		R(√3 )		−2 tg(2x)+7
	arctg		1	−2 tg(2x)+7

π/8

R	1	dx.

π/12	(6+ tg(2x)) sin(4x)

R sin2 (2x) cos6 (2x) dx.

21 x

5.8. cos8

dx.

2 π

cos(2 x)

5.9.

R π

4 π (1−cos(21 x))3 dx.

5.10.

dx.

(

−

))

1 x

sin(x)

4 π

sin2

21 x cos6

21 x dx.

5.11.

4Rπ

5.12.

cos8

81 x dx.

√

arctg(

)

cos(3x)

5.13.

6 π

5+4 cos(3x) dx.

5.14.

sin2 (3x) cos6 (3x) dx.

5.15.

5.16.

5.17.

0
6 π			43 x dx.
	cos8		43 x dx.
0
−3
R1 arctg(3)
	−Rπ		1
	−Rπ		sin2(6x)(−1+cos(6x)) dx.
		π	sin2(6x)(−1+cos(6x)) dx.
	12
	−
	−	20		cos(10x)
	R			cos(10x)
−5	R			(−1+cos(10x))3 dx.
1	arc tg(2)			(−1+cos(10x))3 dx.
	arc tg(2)

− 34π

5.18.

cos(2 x)

− 3 dx.

15+12 cos(23 x)

100

Задачи

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

3 π

R	1
3 π (6+tg(32 x)) sin(34 x) dx.
12
3π	32 x cos6	32 x
R sin2	32 x cos6	32 x	dx.
0

4 arctg(2)

dx.

2 sin2 (21 x)(−1+cos(21 x))

−

6 arctg 1

−

3 (−1+cos(31 x))3

dx.

23 π

(2 )

cos(31 x)

−R

cos(21 x)

dx.

−π

10+8 cos(21 x)

2Rarccos(

√

)

−

dx.

4 tg(21 x)−14

3 tg2 (21 x)−50

Rsin2 (x − 1) cos6 (x − 1) dx.

−2π+1

14 arctg(2)

−

dt.

7 sin2 (

)( 1+cos(

))

6 arctg(3)

−

dt.

sin2 (12t)( 1+cos(12t))

−4 π

1280

cos(52 t)

dt.

5 arctg(2) −

(−1+cos(52 t))3

−3 arctg(2)R

−

(−

(

3 ))

6400

dt.

1+cos

10 t

3π

	0
	R
5.30.				1024 cos8 (4t) dt.
	− π8												−
	−	16			8				49				−			5	arctg 31					1
Ответы. 5.16.						37	. 5.17.		49		.		5.18. −			5			+			1	π.
Ответы. 5.16.						243	. 5.17.		6400		.		5.18. −			12			+			16	π.
5.19.		1			ln (3) + 1 ln 18 +					√		3		1 ln (7) .			5.20.			15	π.
5.19.					ln (3) + 1 ln 18 +					√		3		1 ln (7) .			5.20.		128		π.
								интегралы.						8					128
Задача 6. Вычислить
	5														5
6.1.	5		3x−−6 dx.											6.2.	5		q x−−6 dx.
6.1.	1		3x−−6 dx.											6.2.	3		q x−−6 dx.
	3																	2 x
R q					3x										R
		2			3x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1 семестр

#
26.02.2023729.38 Кб31 семестр. Лекции. Кленина.pdf
#
26.02.20238.08 Mб1Мои шпоры.docx
#
26.02.20232.6 Mб2Мои шпоры.pdf
#
26.02.20232.81 Mб3Определённые интегралы. Кленина.pdf
#
26.02.20236.61 Mб0Практика из ЭП (1).jpg
#
26.02.20236.94 Mб0Практика из ЭП (10).jpg