C1 2012 корянов

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

25.12.2011 www.alexlarin.net

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

Уравнения, содержащие корни натуральной степени

Пример 77. Решить уравнение:

3 2sin2 x 6cos0,5x.

Решение. Данное уравнение равносильно смешанной системе:

cos0,5x 0,			(*)
	2	x 6cos2
3 2sin			0,5x.

Для решения уравнения, входящего в систему (*), воспользуемся формулами

sin x 2sin							x	cos						x			и					sin2					x	1 cos2										x	.
Получим:							2						2														2											2
Получим:										x								x												x
3 8sin2										x		xcos2						x		6cos2										x
3 8sin2									2			xcos2								6cos2
									2					x			2												2						x
											2			x					2		0,5x 6cos													2	x
3 8 1 cos																cos
3 8 1 cos																cos																			2
														2																					2
	8cos4												x		2cos2										x	3 0.
	8cos4												2		2cos2										2	3 0.
													2							x					2
Сделав замену cos2																				x			t, где										0 t 1,
Сделав замену cos2																			2				t, где										0 t 1,
																			2
получим					уравнение 8t2 2t 3 0.																															Дан-
ное уравнение имеет два корня:																																	t				3	и
ное уравнение имеет два корня:																																	t					и
																																1			4
t2	1	.		Заметим, что корень t2																																1		не
t2		.		Заметим, что корень t2																																		не
2																																			2
удовлетворяет условию																								0 t 1.									Возвра-
щаясь к исходной системе, получим:
																						x
																	cos								0,
				x													cos				2				0,
				x																	2
cos			2			0,																			x				3
			2																						x				3
			2 x						3								cos														,
																	cos							2			2				,
																								2			2

cos
			2						4																x						3
			2						4																x						3
																	cos																;
																	cos							2					2				;
																								2					2

cos x 3 x 4 n, n Z.

Ответ: 4 n , n Z. 3

Замечание. В данном примере при решении уравнения можно было бы поступить следующим образом

cosx	1	x	2 n, n Z.

2		3

Однако в этом случае пришлось бы отбирать корни, удовлетворяющие неравенст-

ву cos0,5x 0.

Пример 78. Решить уравнение

	2		2
2sin		x 2cos		x		1
2sin		x 2cos		x	4	1
					4		0.

6x x2

Решение. Данное уравнение равносильно смешанной системе

		2			2
2sin			x 2cos			x		1 0,
2sin			x 2cos			x	4	1 0,
							4
	х х		2	0.
6	х х			0.

Решим вначале уравнение этой системы.

2sin

x 2cos

1 0

2sin

x 1 cos 2x

1 0

2sin2 x sin 2x 0

sin x (sin x cosx) 0

sin x 0,

sin x cosx 0;

tgx 1;

x n,

n Z,

x 4 k, k Z.

Перейдем к решению неравенства:

6х х2 0 x (6 x) 0 0 x 6.

Среди решений уравнения отберем те, которые принадлежат интервалу (0;6).

Рассмотрим первую серию решений.

0 n 6, n Z , 0 n 6 , n Z ,

n 1.

Следовательно, интервалу (0;6) принад-

лежит x .

Рассмотрим вторую серию решений.

0 k 6,k Z

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

1 k 6 1 , k Z .

		4				4
Поскольку		1,25	6		1		6			1		6			1

		4		4				4			3		4
1,75,	то	условиям						1	k					6		1		,
								4
																	4
k Z ,	удовлетворяют						два				значения:
k 0 и	k 1. Значит,					интервалу							(0;6)

принадлежат два решения из второй се-

рии: х		и х		5	.
1	4	2	4				5
					Ответ:	, ,	5	.
					Ответ:	, ,	4	.
			4				4

Тренировочные упражнения

Решите уравнение:

129.sin x 25 x2 2 x2 25. 3

130.sin0,8x 4 x2 2 x2 3.

131.1 2sin3xsin7x cos10x .

132.sin3x 1 2sin 4xcosx .

133.	2cosx 2		0.

		2sin x 1

134.2sin x 3 0. tgx 1

135.sin3x(cosx 2) 0.

136.Сколько различных корней имеет уравнение (cos2 x sin2 x)1 x2 0?

137.Сколько различных корней имеет уравнение

x2 21 x(sin3xcos6x sinxcos8x) 0?

Решите уравнение:

				2
				2				2
138.	cosx					4x			7x 3	0.
138.	cosx					4x			7x 3	0.
		2
		2

			3
			3				2
139.	sin x				3x				7x 4	0.
139.	sin x				3x				7x 4	0.
		2
		2

140. (sin2x) 4 x2 0.

141. (cos3x 1) 6 5x x2 0. 142. sin x cosx 0.

143.(2sin x 1)( cosx 1) 0.

144.(2cosx 1)( sin x 1) 0.

145.(2cos2 x 9cosx 4) 2tgx 0.

146.(2sin2 x 9sin x 5)11tgx 0.

	x		3x

147. sin		sin x sin			sin 2x	cosx 0.
	2		2

	x			3x

148. cos		cosx cos			cos2x		sin x 0.
	2		2

149.cos2t 3sin 2t cost.

150.5sin 2t cos2t sint .

151.5cosx cos2x 2sin x 0.

152. 1	1	ctgx.

	sin x

153.cos2x sin3x 2cosx.

154.5cosx cos2x 2sin x .

155.3 4cos2x 2cosx.

156.5 2sin x 6sin x 1.

157.sin x cosx 1 2sin2 x .

158.cos2x 2sin x.

159.1 3sin x sin2 x cosx.

160.1 4cosx cos2 x sin x .

161.	2cos2	x 1	0.

	(2cosx	2) sin x

162.cos2x cosx 0.

1sin x

163.cos2x 2 3sin x 0. 1 cosx

		2				3
	2sin		x sin					x		1
	2sin		x sin				2	x		1
164.							2					0.

						sin x
						sin x
165.	6sin2 x 5sin x 1
									0.

				cosx
				cosx
166.	6cos3x cos2						x cosx				0.

					ctgx
					ctgx
167.	2sin3x 3sin2						x sin x				0.

tgx

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

168. 2cos3x 3cos2 x cosx 0. ctgx

169.tg3x tgx 0.

sin x

170.ctg3x ctgx 0.

		cosx
171.	9sin x 3
			0.

2cosx

172. 9cos x 32 0.

23tgx

173. sin 2x 2sin2 x 0.

cosx

174. sin 2x 2cos2 x 0. sin x

175.10cos2 x cosx 3 0. (5sin x 4) tgx

176.		2sin2 x 5sin x 3																0.

						x


	6
177.		2cos2 x 5cosx 3																	0.

							x


	3
178.		4sin2 x 8cosx 7																		0.

									ctgx
									ctgx
179.		4cos2 x 8sin x 7																0.

								tgx
								tgx
180.		4cos2 x 8sin x 7																	0.

							tgx
							tgx
181.		3cos2x					7cos								x 3				0.
181.																			0.
					sin x
182.		4cos		x 3							0.
182.											0.
				tgx
183.		6sin x					5			0.
183.										0.
			cosx
184.		(2y 7 )(4y 7 )(8y 7 )																			0.
184.																					0.
												cosy
185.		(2y 9 )(4y											9			)(13y 9 )						0.
185.																						0.
														cosy
186.													3											.
186.			1 cos2x										3				cos x						2	.

187.		x
	1 cosx				2 .
		cos
			2
				2

188.cos2 x2 3 . 2

189.sin 3 x2 3 . 2

Уравнения, содержащие логарифмы Пример 79. Решить уравнение

log2 (sin x) log2 ( cosx).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

sin x cosx,

sin x 0.

Из уравнения системы получаем tgx 1, x n, n Z. Неравенст-

4
ву sin x 0 удовлетворяют					числа
x	3	2 n, n Z.

4			3
		Ответ: x		2 n,	n Z.

4
Пример 80. Решить уравнение:

log2 ( sin x) log2 (cosx) 2

Решение. Данное уравнение равносильно смешанной системе:

sin x 0,						sin x 0,

cosx 0,						cosx 0,

log2 ( sin xcosx) 2						sin xcosx 0,25.
Решим уравнение этой системы:
sin xcosx 0,25						sin2x 0,5

2x				2 n, n Z,
2x	6			2 n, n Z,
	6
		5
		5
2x					2 k, k Z,
2x	6				2 k, k Z,
	6

x						n,	n Z,
x						n,	n Z,
	12
			5
			5
x						k,	k Z.
x						k,	k Z.
	12
Функции sin x,	cosx и sin2x , входящие

в уравнение имеют общий наименьший положительный период 2 . Для отбора

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

корней используем тригонометрический круг (см. рис. 25).



	0

O

Рис. 25

Условиям sin x 0 и cosx 0 удовлетворяет совокупность значений x, принадлежащих четвертой координатной четверти. Тогда решения исходного уравнения можно записать следующим образом:

2 n, n Z,

2 k, k Z.

Ответ:

2 n;

2 n,

n Z .

Пример 81. Решить уравнение

(2cosx 1)log13

(3tg2 x)

log31 (2sinx)

Решение. Из данного уравнения полу-

чаем два

уравнения

cosx 0,5

или

tgx

при условии

tgx 0,

sin x 0,sin x 0,

sin x 0,5.sin x 0,5

Решая уравнения, получаем

	2
x			2 n,
x	3		2 n,	n,k Z
	3


x		k,
x	6	k,
	6

с ограничениями









		O
		O

Рис. 26

sin x 0,

x ( 1)n m,6

m Z.

Так как тригонометрические функ-

ции	(sin x , cosx,
tgx),	входящие в

данное уравнение,

имеют общий наименьший положительный период 2 , то изобразим (см. рис. 26) множество решений на числовой окружности, выделив промежуток [ ; ).

Используя рисунок, получаем ответ.

Ответ: 2 2 n, n Z. 3

Тренировочные упражнения

Решите уравнение:

190. log3 (cosx) log3 ( sin x).

191. log 3 (2sin2 x 1) log 3 sin x.

192. log 5 cosx log 5 (1 2cos2 x).

193. logcos x sin x 1.

194. logsinx 3cosx 1.

195. log3 sin x log3 cosx log3(1 cos60 ).

196. Сколько различных корней имеет уравнение (sin x 1)log0,5 (1 x2 ) 0?

Решите уравнение:

197.

(2cos2 x 7cosx 3)log41( sin x) 0.

198.(2sin2 x 7sin x 3)log14 ( cosx) 0.

199.log2 (2sin x) 0.

3cosx

200. log5( 2cosx) 0. 5tgx

201. log7(3tgx) 0. 7sin x

202.cosx(2cosx 1)(2cosx 3) 0. log6(3tgx)

203.sin x(2sin x 1)(2sin x 1) 0. lg(tgx)

204.(tgx 3)log13 (2sin2 x) 0.

log31( 2cosx)

205. (2cosx 1)log13 (3tg2 x) 0. log31 (2sinx)

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

Уравнения, содержащие модули

Пример 82. Решить уравнение

| cosx | 3sin x .

Решение. Из данного уравнения получаем равносильную систему

cosx

3sin x,

tgx

n Z,

cosx

3sin x,

sin x 0

sin x 0,

n Z

sin x 0,

Так

как

функции

tgx

и sin x

имеют

Рис. 27

общий

наимень-

ший

положитель-

ный период 2 ,

то отбор корней прове-

дем на тригонометрическом круге (см.

рис. 27).

Ответ:		2 n,	5	2 n,	n Z.
6			6

Пример 83. Решить уравнение

| cosx| cosx 2sin x.

Решение. Рассмотрим две области на числовой прямой, на которых cosx 0 и cosx 0.

1. Пусть cosx 0, тогда данное уравнение принимает вид:

cosx cosx 2sin x sin x 0 x n, n Z.

Условию	cosx	0 удовлетворяют
только значения x 2πn, n Z.
2. Для	условия	cosx 0 исходное
уравнение перепишем так:
cosx cosx 2sin x		sin x cosx 0

tgx 1 x k, k Z. 4

Условию cosx 0 удовлетворяют

только значения x 3 2 k, k Z. 4

Ответ: 2π n, n Z; 3 2 k, k Z. 4

Пример 84. Решите уравнение

7|cosx | 4cosx 3|sin x| 2sin x..

Решение. Рассмотрим значения синуса и косинуса по четвертям координатной окружности.

Первая четверть:

3cosx 5sin x			tgx		3
3cosx 5sin x			tgx
	3		5
x arctg	3	2 k, k Z.
x arctg		2 k, k Z.
5
Вторая четверть:						11
11cosx 5sin x			tgx			11
11cosx 5sin x			tgx
			5
x arctg		11		2 l, l Z.
x arctg				2 l, l Z.
5
Третья четверть:				tgx 11
11cosx sin x				tgx 11
x arctg11 2 m, m Z.

Четвертая четверть:

3cosx sin x tgx 3
x arctg3 2 n, n Z.

Ответ: arctg	3	2 k,	arctg	11	2 l,

5			5
arctg11 2 m,			arctg3 2 n, где
			k,l,m, n Z.

Пример 85. (ЕГЭ 2005). Решить урав-

нение

(3sin 0,25x 4)2

sin2 0,25x 6sin 0,25x 9 1 2 .

Решение. Имеем

| 4 3sin0,25x | |3 sin0,25x | 1 2 .

Так как 4 3sin0,25x 0,

3 sin0,25x 0 при всех x R, то получаем

1 2sin0,25x 1 2; sin0,25x 2 ; 2

x ( 1)n 4 n, n Z .

Ответ: ( 1)n 4 n, n Z .

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

Тренировочные упражнения

Решите уравнение:

206.|sin x| 3cos 0.

207.|sin x | sin xcosx .

208.cosx cos3x |sin 2x |.

209.sin x sin3x |cos2x|.

210.|sin 2x | cosx.

211.ctgx|sin x| 0,5.

212.|cosx| cosx 2sin x.

213.4|sin x| 2cos2x 3.

214. sin 2x 2sin x 2. |cosx|

215.Найдите все решения уравнения sin 2x cosx|cosx| из промежутка [0;2 ].

216.Решите уравнение:

sin x	2	cosx	2	.

217.Найдите все решения уравнения

cosx	1	8cos2	x	5
			2
4

на отрезке [ ; ]. Решите уравнение:

218.(3cos0,5x 4)2

cos2 0,5x 6cos0,5x 9 1.

219.(3sin x 4)2

sin2 x 6sin x 9 7 23.

220.(2sin 0,2x 3)2

sin2 0,2x 2sin0,2x 1 2.

221. 2|cosx | 3cosx 4|sin x | 5sin x 0.

222. 4|cosx | 6cosx 5|sin x | 3sin x 0.

2.6. Системы уравнений

Пример 86. (ЕГЭ 2010, С1). Решить систему уравнений

	1		tg x		1		tg x
			14				49 0,


	49			7

		y	tgx 5			2cosx 0.
3

Решение. Заметим, что левая часть первого уравнения системы представляет полный квадрат:

			1 tg x						1 tg x
						14					49
						14					49
		49					7
	1	2tg x				1 tg x						1 tg x		2
			14					49					7 .
			14					49					7 .
	7			7								7
	7			7								7
	Равенство					нулю				возможно,				если
1	tg x				т.е. 7			tg x			7.
		7 0,										Отсюда по-
		7 0,										Отсюда по-
7
лучаем			tgx 1.					Тогда x						n,
лучаем			tgx 1.					Тогда x					4	n,
													4

n Z.

Рассмотрим второе уравнение систе-

мы. Запишем его в виде

Так как правая часть этого уравнения должна быть неотрицательна и, учитывая, что tgx 1,

получаем,	что
cosx 0	(см. рис.

28). Тогда из множества решений

y 52cosx . 3tgx

где

Рис. 28

n Z,

выбираем

значения, лежащие во

второй

четверти,

т.е.

2 n,

где

n Z.

cosx

этом

случае

Отсюда y

3( 1)

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

Ответ.

2 n,

, n Z.

Пример 87. Решить систему уравне-

ний

2sin

3sin x 1

y cosx 0.

Решение. Из первого уравнения сис-

темы

следует

2sin2 x 3sin x 1 0

y 0. Пусть sin x t, где

1 t 1.

Из

уравнения

2t2

3t 1 0

получаем кор-

ни t

, которые удовлетворяют

условию 1 t

а) Если sin x 1, то cosx 0

и из вто-

рого

уравнения системы

имеем

y 0.

Это значение не удовлетворяет условию y 0.

б)

Пусть sin x

, тогда из тождества

sin2 x cos2

x 1 получаем

cosx

Отсюда

или

(не

удовлетворяет

условию

y 0).

Из

уравнения

sin x

имеем

2 n,

n Z.

Таким образом,

ис-

ходная

система

имеет

решения

x 2 n, n Z, y 3.

6							2
Ответ: x								2 n,n Z,	y		3	.
Ответ: x								2 n,n Z,	y	2		.
							6			2
Тренировочные упражнения
Решите систему уравнений:
				2
				2	5x 3 cos y 0,
223.	2x				5x 3 cos y 0,
223.
				y x.
	sin			y x.
		x	2sin y 0,
224.	3		2sin y 0,
224.						2
						2	y 4cos y 3 0.

	4cos

cos y,

x2 2x 2sin y.cos2y

																							y					10 2																							y				16 0,
226.																		4										10 2																											16 0,

																																																	y 2.
																		cosx																															y 2.

																									cos x												10 4																							cos x									16 0,
227.																		16																			10 4																																16 0,

																								y 2sin x 0.
																								y 2sin x 0.

																																												Ответы																																																											5
3. а) ( 1)n																																									n, n Z; б)																																																						;								5					;
3. а) ( 1)n																																			6						n, n Z; б)																																																		6				;								6					;
																																			6																																																								6												6
в)									7								;											; г)																								;	5														;		13											;		17										.
в)									6								;				6							; г)																								;															;			6										;												.
									6												6														6																		6																	6										6
4. а)																			2						2 n, n Z; б)																																																						2							; в)																	4						;
4. а)																									2 n, n Z; б)																																																							3						; в)																							;
														3																																																																		3																							3
				2						; г)												2									;															4												;								2								;					2						;							4						;								8						.
3																							3																								3																					3												3											3												3
5. а)														2								2 n, n Z; б)																																																					2						.
5. а)														3								2 n, n Z; б)																																																											.
														3																												n																												3																																		3
6. а) ( 1)n																																										n										, n Z; б)																																				;											;					3						;
																							12												3																																													12											4												4
	11						;						17										;									19											.										7. а)																														n, n Z;
12														12																					12																																			12
б)																;											11													;																;							11										. 8. а)																							2 n,
									12																	12																					12																		12																										3
n Z ; б)																																		5								;																;								7							.						9.																	2 n,
																																			3																3																	3																							4											n
n Z 10.																								2									2 n,																											n Z.																	11. а)																									n					,
																									3																																																																		9												3
	n Z;																			б)																4								;															7								.			12.																				3						6 n,
	n Z;																			б)															9									;																9							.			12.																										6 n,
	7																																		9																									9						3																									2
	7					6 ,																		n Z.																											13.															3						. 14.																												.			15.
2																																																																				2																							3
1					19							;										19								;									11									.					16.																		7								,								3							,											3						,
30																					30														30																																			8																			4														8
						,												,											,								5								,									3								. 17.																						17									,												5								,
4									8														4												8																		4																											9																							3
		11									,								,																						5									,																		,										,									,							7							.		18.
9																																			9																														3					9										3											9
			7					,												3								,																					,								3							,						5						.				19.											0;														5								.
								,																				,																					,								3							,						5						.				19.											0;														5								.
4																					4														4																		4																	4																																	9
20.															25										,													35														.									21.																													5						2 n,
														24																					24																																													4											6
n Z .														22.																																											2 n,																						n Z .																		23. а)
n Z .														22.																																											2 n,																						n Z .																		23. а)
																																			3																4

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

							n		,		n Z ; б)													7		;							;				5			;
24					4																	24								24						24
	11			. 24. 0;									;			2			; . 25.									;			2				;		7				;
24											3						3										6			3						6
	5	.			26.					;		7		;				13			. 27. 2 ;													4				; 0;
3					12						12						12													3
	2		;																2 ;																		8		.
			;																2 ;																	3			.
3																																				3
28.						3		;							;					;			11		;				5			;				23						.
					2						6						2					6					2									6

29. ( 1)n 2 n, n Z.

						3
30. ( 1)n 1							n,											n Z.
30. ( 1)n 1							n,											n Z.
						6							1
31.		( 1)n 1 arcsin											1							n, n Z.
31.		( 1)n 1 arcsin																		n, n Z.
								5										2					1
32.		arctg2 n; arctg																					1	k,					n,k Z.
32.		arctg2 n; arctg																						k,					n,k Z.
																						3
33.				n, arctg3 k,																				n,k Z.
33.		4		n, arctg3 k,																				n,k Z.
		4
34.					n, arctg3 k, n,k Z.
34.					n, arctg3 k, n,k Z.
		4
35.				n, arctg											2	k,								n,k Z.
35.		4		n, arctg												k,								n,k Z.
		4						3
36.				n, arctg													3		k, n, k Z.
36.				n, arctg													4		k, n, k Z.
		4															4
37.				2 k, 2arctg2 2 n,																									k,n Z.
37.		2		2 k, 2arctg2 2 n,																									k,n Z.
		2																													2
38.						2 n, n Z.																		39.							2				2 k,
38.						2 n, n Z.																		39.							3				2 k,
		4																													3
	2		2 n,						k, n Z.															Отрезку								[ ;2 ]
			2 n,						k, n Z.															Отрезку								[ ;2 ]
		3																							2					2							4
принадлежат										корни:															2		,			2			,				4		.
принадлежат										корни:																	,						,			3			.
										5														3							3					3
40.				2 k,						5				2 n,										k, n Z. Отрезку
40.		6		2 k,				6						2 n,										k, n Z. Отрезку
		6						6																													5
[ ;2 ]						принадлежат																		корни:										,			5			.
[ ;2 ]						принадлежат																		корни:							6			,		6				.
											2															4					6					6
41. а) 2 k,											2						2 n,									4		2 m,								k, n,
								3																3
m Z; б)						,			4			,					8				,		. 42.						а)							k,
								3										3													4
arctg3 n,								k, n Z;														б) arctg3 ,																,
arctg3 n,								k, n Z;														б) arctg3 ,																,
																																				4

arctg3. 43. а)	arctg2 k,	arctg3 n,
k, n Z; б)	arctg2,	arctg3.

44. а)																		k,						n arctg5,														k, n Z;									б)
44. а)																		k,						n arctg5,														k, n Z;									б)
	9										4															13
	9				,						3 arctg5,															13				.				45. а)											k,
4																											4												4
arctg											1		n,										k, n Z;											б)			arctg						1		2 ,
											3																												3
	11								,					arctg								1	3 .				46.											;						;				.
4																			3															2					2							6
47.																	2 n;																2 n ,											n Z.
47.											3						2 n;																2 n ,											n Z.
											3																6
48.																				n			,		3						n					,	n Z.									49.
48.											32												,		8											,	n Z.									49.
											32								8						8							4
										n					,					n Z .							50.							405 .					51. 390 .
10															,					n Z .							50.							405 .					51. 390 .
10											5
52.																	2 n, n Z.																	53.								2 n,
52.																	2 n, n Z.																	53.								2 n,
											4																												4
			2							2 k,													k, n Z.											54.						5		2 n,
3																												2											6
n Z. 55.																					2 n,							2	2 k,									k, n Z.
n Z. 55.																			3		2 n,						3		2 k,									k, n Z.
												5							3								3
56.												5				2 k, k Z.																		57.								2 n,
56.											4					2 k, k Z.																		57.								2 n,
		7									4																												6
		7						2 k,															k,n Z.											58.							2 n,
								2 k,															k,n Z.											58.							2 n,
6
		3					2 k,																k,n Z.											59.								2 n,
							2 k,																k,n Z.											59.								2 n,
4																																							2
				5						2 k;													k,n Z.											60.							2 n,
										2 k;													k,n Z.											60.							2 n,
6
	4					2 k,														k,n Z. 61.															n,				n Z.
3																																	2

62. n, n Z. 63. 2 n, n Z. 3

64. k , k Z. 65. k , k Z.

66.		10		5										5
66.		1,25 ,						,					0,75 ,				0,	0,75 ,							,
1,25 .				67.			0;						2.	68.			–2;				0,5;			2.
69.			а)				2 k,											1					2 n,
														arccos
				2										arccos
				2															4
k, n Z; б)								, arccos							1	, arccos									1	.
							2		2					4						2				4
70.		а)		arcsin					2		2 k ;			arcsin						2			2 k ;
70.		а)		arcsin							2 k ;			arcsin									2 k ;
							3											3
	2		2 k ;							2			2 k, k Z.						б)					2			;
		3					3																	3
arcsin					2	;		4				.	71.	а) 2 k,								2 n,
				3			3											6

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

		5			2 m, k,n,m Z.																										б)						2 ,									5			.
6																												n																			6
72. а) k,														k Z;														n				,				n Z ; б)															;
72. а) k,														k Z;								10						5				,				n Z ; б)											2				;
																						10						5																			2
	7		;				9					;			.			73.					а)						k				,					n		, k, n Z;
10				10																								6								2
б)								; 0;									;				;				.	74.													n			, n Z.
				6										6				3				2									14					7
75.						n, n Z.																76. а)									2 n						, n Z; б) 0;
75.				2		n, n Z.																76. а)									3						, n Z; б) 0;
				2																				2 n							3
	2		;		4						;		2 .					77. а)						2 n						, n Z; б) 0;																	2					;
																																															2
3				3
3				3																						9																					9
	4		;		2					;			8			.		78.					7				.		79.									7		.
9				3									9									6														3
80.					2 k, k Z.																					81.									2 k, k Z.
80.					2 k, k Z.																					81.					2				2 k, k Z.
																															2
82. 0. 83. 0. 84. 3. 85. –2. 86. 2 .																																											87.										.
82. 0. 83. 0. 84. 3. 85. –2. 86. 2 .																																											87.				2						.
																																															2
88. 3. 89. –2. 90. 2. 91. . 92.																																									. 93. 0; 1.
88. 3. 89. –2. 90. 2. 91. . 92.																																									. 93. 0; 1.
																																				2
94. 0. 95. –0,5; 0,9. 96. 2. 97. –2. 98.																																															2 .
99. 3 . 100.																			1	. 101. –1.																102.							2							;
																			1																													7
																																																7
																		4
2					7				; 1; 3. 103.																	2								7		; 2								7	;		1;

3. 104. t, t Z. 105. 4. 106. 6 n,

5 6 n, n Z. 107.							( 1)n		n, n Z.

					2		6
108.			k,			2 n, k, n Z. 109. k ,
2				3
	5	2 n;		k, n Z.			110. k,			2	2 k,
6							3
k Z. 111.					k,			2 n, k, n Z.

112.k, 2 2 k, k Z. 3


113.		5		2 k,		2 k,			5				2 k, k Z.
	6					k		3
114.	( 1)k					k	, k Z.					115.		k,
	n				12	2		n				6
	n		, k,n Z. 116.					n		,			n Z , где
8	4							6
n 3 6k,					k Z. 117.						n, n Z.
n 3 6k,					k Z. 117.						n, n Z.
								3

118. 2 n, n Z. 119. 2 n, 3 3

n Z. 120. 2 n, n Z. 121. n,

	n		4
n Z, n 0. 122.		,	n Z .

123.arctg3 2 n, n Z. 4

124.arcctg4 2 n, n Z. 3

125.n, n Z.

12		2	1
				2 n, n Z.
126.	arccos

127.( 1)n n, n Z. 128. 8. 129. 0 . 6

130.			5	. 131.		k; k Z. 132.	3	2 k,
			8				10
	7				3
		2 n,				2 m, n,k,m Z.
10
			2

133. 2 n, n Z . 134. 2 n, n Z .

135.n, 2 n , n Z. 136. 4. 3

137. 127. 138. 3, 1, 2 k, 2 n,

				4	4									4
n,k Z,				n 0. 139. 1,			4			,	2				2 k,
							3
											3
		2 n,		n,k Z,	n		0.				140. 2; 2;							;
3																	2
								2						4
			; 0. 141. 1;		6; 0;							;				. 142.	k,
														3
2							3
	2 n,			k,n Z.	143.				5				2 n, n Z .
2					2		6
144.				2 k,		2 n;									k,n Z.

145.k, 2 n, k,n Z. 146. k,

	5		2 n,				k,n Z. 147.			k, 2 m,
									2
6
		2		2 (2n 1),				k,m,n Z.

5					2				4
148.						4 k,		m,			2 (2n 1),
5									5
k,m,n Z.							149.	2 n, arctg6 2 k,

n,k Z. 150. 2 n, arctg0,1 2 k, 2

25.12.2011 www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

n,k Z. 151. 2 n, n Z. 3

152. 2 n, 2 n, n Z.

2		6
153.	2 k,	3	2 n,	k,n Z.

154.2 n, n Z. 3

155. arccos	6	2 n, n Z.
	6

156.( 1)n n, n Z. 6

157.2 k, n, k,n Z. 4

158.( 1)n 1 n, n Z. 159. 6

2 n, n Z.

160. 2 n, n Z. 161. 3 2 n, n Z.

162.2 k, 2 n, k,n Z. 3

163.2 k, 2 n, k,n Z.

164.2 2 n, n Z. 165. 5 2 n,

arcsin 1 2 n; n Z . 166. 2 2 n,

arccos1 2 n, n Z. 167. 5 2 n,


3		2					6
n Z. 168.		2	2 n,			n Z.
n Z. 168.			2 n,			n Z.
3
169.	2 k,			3	2 n,		k,n Z.
169.	2 k,				2 n,		k,n Z.

170.2 k, k Z. 171. 5 2 k,

k Z. 172. 2 k, k Z.

					4
173.	2 k,				3		2 n, k,n Z.
					4

174.			2 k,			2 n,		k,n Z.
	2				4

175.		2		2 k, arccos				3	2 n,	k,n Z.

176.2 k, 5 2 k, k N. 6 6

177. 2 k, 2 k, k N.

178.2 2 k, k Z. 179. 5 2 k,

3	6
k Z. 180.	5	2 k, k Z. 181.
	6

2 n, n Z . 182.

arccos3 2 n, n Z . 4

183.arcsin 5 2 n, n Z. 6

184.7 . 185. 9 . 186. 2 2 n;

4 4 3

n Z. 187.					( 1)n 1			2 n, n Z.
n Z. 187.					( 1)n 1			2 n, n Z.
						3
					2					27 2
188.	2						. 189.						.
188.	2				36		. 189.		3				.
					36				3
190.				2 k, k Z. 191.								2 n,
190.				2 k, k Z. 191.								2 n,
	4								2
n Z. 192.							2 n,		n Z.
n Z. 192.							2 n,		n Z.
					3
193.		2 k, k Z. 194.									2 k, k Z.
193.	4	2 k, k Z. 194.									2 k, k Z.
	4								3
195.		2 n, n Z. 196. 2.
195.	4	2 n, n Z. 196. 2.
	4
197.			2 n,					2 n, n Z.
197.			2 n,					2 n, n Z.

198.5 2 n, 2 n; n Z . 6

199.				5				2 n,n Z.										200.			2		2 n,
199.				6				2 n,n Z.										200.					2 n,
				6					7										3
n Z.				201.					7			2 n,					n Z.
n Z.				201.								2 n,					n Z.
				6
202.						2 n,									n Z.			203.				5	2 n,
				3															6
n Z.					204.								2 n,				n Z.
n Z.					204.								2 n,				n Z.
				2							3											2
205.				2				2 n,							n Z.			206.				2	2 n,
205.				3				2 n,							n Z.			206.					2 n,
	4			3															3
	4	2 n, n Z. 207.															n, n Z.
3		2 n, n Z. 207.															n, n Z.
3
208.					n,										2 k,			n,k Z.
208.					n,										2 k,			n,k Z.
			2				k				6
209.							k			,					5	2 n,				2 m,
209.			4							,						2 n,				2 m,
			4	2										6				6

25.12.2011 www.alexlarin.net

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.201971.68 Кб2Bukhgaltersky_uchet_v_sisteme_upravlenia.doc
#
10.02.20155.18 Mб4business_jaws.pdf
#
16.04.2019246.27 Кб10bzhd_2_2-1.doc
#
25.11.2018669.7 Кб13bzhd_otvety1.doc
#
10.02.2015163.33 Кб13B_C3_-_Istoriya_Stran_Severnoy_Evropi_I.doc
#
10.02.20151 Mб33C1 2012 корянов.pdf
#
10.02.2015850.22 Кб34C3-2011 Корянов.pdf
#
10.02.2015642.06 Кб11C32012.pdf
#
10.02.2015162.62 Кб2Case C_265_03_Igor Simutenkov_CMLR_2008.pdf
#
10.02.20153.16 Mб155Cbornik_zadach_po_Statistike.doc
#
18.11.20191.53 Mб2cbuilder.doc