C1 2012 корянов

cos x 2 .

Подставляя arccos3 , имеем

5

x arccos2 arccos3 2 n, n Z .

случае, когда c 0, а коэффициенты a и b отличны от нуля, сводится к простейшему делением на cosx или sin x.

Пример 37. Решить уравнение sin x 5cosx 0 .

Решение. Среди значений x, для которых cosx 0, корней уравнения нет (если cosx 0, то из уравнения следует, что и sin x 0, а одновременно эти два равенства выполняться не могут). Значит, деление обеих частей уравнения на cosx не приведет к потере корней. Разделив, получим уравнение

tgx 5 0,

откуда x arctg5 n, n Z

Ответ: arctg5 n, n Z.

Пример 38. Решить уравнение

8sin3x 15cos3x 1.

Решение. Разделим обе части уравне-

ния на 82 152 17. Уравнение примет вид

1717

x( 1)n arcsin 1 n; 17

x ( 1)n arcsin 1 n, n Z. 17

Так как cos 8 0, sin 15 0, 17 17

то угол лежит в четвертой четверти и

Тренировочные упражнения

Решите уравнения:

21.2sin x 2cosx 3 .

22.3sin x cosx 2.

23.Дано уравнение

3sin 4x cos4x 0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие от-

3sin 2x cos2x, принадлежащие отрез-

ку [ 1;4].

2.2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены

В тех случаях, когда исходное урав-

f (t) 0. Далее для каждого полученного корня tk необходимо решить уравнение g x tk .

В тех случаях, когда множество значений функции g(x) известно, то пишется ограничение на новую переменную.

arcctgx t при 0 t .

Иногда при решении уравнений часть «посторонних» решений возникающих в результате замены могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Напомним их.

Покажем на примерах как ограничение, связанное с новой переменной, позволяет проводить проверку на промежуточном этапе решения.

Пример 39. Решить уравнение

1 t 1. Полученное квадратное уравнение 2t2 15t 8 0 имеет корни

x 4 4 n, n Z. 3

Ответ: 4 4 n, n Z. 3

Пример 40. Решить уравнение

arccos2 x 8arccosx 15 0.

Решение. Положим arccosx t. Так как множество значений функции arccosx – отрезок 0; , найдем решения

Ответ: cos3.

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим путем замены переменной – одна из наиболее плодотворных идей, используемая для решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько типичных ситуаций введения новой переменной.

уравнения, сводящиеся к многочлену от одной тригонометрической функции

Рассмотрим уравнения, сводящиеся к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса.

Пример 41. Решить уравнение

2sin2 x cosx 1 0.

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к виду

2cos2 x 1 cosx 0 или (2cosx 1)(cosx 1) 0.

Отсюда

cosx 0,5, x 2 2 n, n Z, или

3

cosx 1, x 2 k, k Z.

Заметим, что все решения можно представить одной формулой

x 2 k , k Z.. 3

Ответ: 2 k , k Z. 3

Пример 42. Решить уравнение

2sin2 x 9cos x 3 0. 3 3

Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде

уравнение cos x 5 корней не имеет.

Замечание. Вводя новую перемен-

ную t cos x , можно было сразу учесть, 3

что значения косинуса ограничены отрезком [ 1;1], и, значит, интерес представ-

условию t 1. Накладывать при замене

ограничения на новую переменную не обязательно, но во многих случаях – полезно, поскольку это иногда упрощает решение.

Пример 43. Найти все корни уравнения tgx 3ctgx 2 0, удовлетворяющие условию sin 2x 0.

Решение. Если записать условие sin 2x 0 в виде 2sin x cosx 0 , то ста-

новится очевидным, что оно выполняется в том и только в том случае, когда sin x и cosx имеют разные знаки, что в свою очередь равносильно условию tgx 0.

Введением новой переменной tgx t сведем исходную задачу к решению смешанной системы:

t 3 1 2 0, t 0, t

или

t2 2t 3 0, t 0.

Возвратившись к исходной переменной, получим уравнение tg x 3. Следова-

решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса

Однородными относительно sin x и cosx называют уравнения вида,

an sinn x an 1 sinn 1 xcosx ...

... a1 sin xcosn 1 x a0 cosn x 0,

в которых сумма показателей степеней у sin x и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,

asin x bcosx 0 – однородное урав-

Делением обеих частей уравнения на cosk x или sink x , где k – степень уравнения, однородные уравнения сводятся к

алгебраическим относительно t tgx или t ctgx.

Однако следует иметь в виду, что деление может привести к потере корней. Чтобы избежать этого, сначала требуется установить не являются ли корнями

уравнения числа вида x n, n Z, 2

при делении на cosk x , и, соответственно, числа вида x n, n Z, при делении

на sink x. Далее после делим на cosk x или sink x ищем другие решение уравнения, отличные от указанных.

В частности, уравнения вида

asin2 x csin xcosx bcos2 x d

приводятся к однородным путем представления правой части в виде:

d d (sin2 x cos2 x).

Пример 44. Решить уравнение

10cos2 x 5sin 2x 4.

Решение. Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождест-

вами: sin 2x 2sin xcos x, sin2 x cos2 x 1. Последовательно имеем:

10cos2 x 5sin 2x 4;

10cos2 x 5 2sin xcosx 4(sin2 x cos2 x);

2sin2 x 5sin xcosx 3cos2 x 0.

Заметим, что среди значений x, для которых cosx 0, корней уравнения нет, поскольку, если cosx 0, то из уравнения следует, что и sin x 0, а одновременно эти два равенства выполняться не могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на cos2 x, не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение

2tg2 x 5tg x 3 0.

Решив его как квадратное относительно tgx, найдем: tg x 0,5, tg x 3, от-

куда x arctg0,5 n, x arctg3 n. Ответ: arctg0,5 n,arctg3 n, n Z.

симметрические уравнения

Рассмотрим тригонометрические уравнения f (x) 0, левая часть которых представляет собой рациональное выражение от переменных t sinx cosx (или t sinx cosx) и v sinxcosx. Посколь-

ку

t2 sinx cosx 2 1 2sinxcosx 1 2v,

тельно, исходное уравнение сводится к

корней алгебраического уравнения мож-

но ограничить промежутком t 2 .

Пример 45. Решить уравнение

1 2sin xcosx 2 sin x cosx 0.

Решение. Введем новую переменную

Ответ: n, n Z. 4

Пример 46. Решить уравнение

sin3 x cos3 x sin xcosx 1.

Решение. Воспользовавшись формулой разности кубов

sin3 x cos3 x (sin x cosx)

(sin2 x sin xcosx cos2 x)

перепишем уравнение в виде

(sin x cosx)(1 sin xcosx) sin xcosx 1.

x 2 n . Таким образом, ис- 4 4

ходное уравнение имеет две серии реше-

ний: x 2 n и x 2 n. 2

Ответ: 2 n, 2 n, n Z. 2

Уравнения f (x) 0, левая часть которых может быть представлена как многочлен от tgx ctgx, сводятся к алгебраическим заменой tgx ctgx t .

Пример 47. Решить уравнение

tg2 x ctg2 x 3 tgx ctgx 4 0.

Решение. Положим tgx ctgx t . Заметим, что

tg2 x ctg2 x

(tgx ctgx)2 2tgx ctgx t2 2,

то после замены получим уравнение

t2 2 3t 4 0, или t2 3t 2 0.

применение универсальной тригонометрической подстановки

ческому уравнению. При этом следует

жению области определения уравнения, поскольку из рассмотрения исключаются

универсальной тригонометрической подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются или нет исключаемые из рассмотрения значения x корнями исходного уравнения.

Пример 48. Решить уравнение

tgx 1 2sin 1,5 2x .

уравнение не определено для x n, 2

то такая замена не может привести к по-

рое равносильно каждому следующему уравнению:

(t 1)(1 t2 ) 2(1 t2 ) 0; (t 1)(1 t2 ) 2(1 t)(1 t) 0; (t 1)(t2 2t 3) 0.

Получаем t 1 и, возвращаясь к переменной x, решаем уравнение tg x 1.

Отсюда x n, n Z. 4

Ответ: n, n Z. 4

Тренировочные упражнения

Решите уравнение:

29. 2sin2 x 19sin x 10 0. 2 2

30. 2cos2 x 5sin x 1 0.

31.2(sin x cosx) sin2x 0,56.

32.5sin 2x 11(sin x cosx) 7 0.

33. 3sin2 x 4sin xcosx 5cos2 x 2.

6cos2 x 7cosx 5 0.

Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ;2 ].

40. Решите уравнение

4sin2 x 12sin x 5 0.

Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ;2 ].

41. Дано уравнение

2sin2 x 3cosx 3 0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ;3 ].

42. Дано уравнение

sin2 x 2sin x cosx 3cos2 x 0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие от-

43. Дано уравнение tg2 x 5tgx 6 0. а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие от-

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие от-

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие от-

2.3. Метод разложения на множители

Один из основных подходов к решению тригонометрических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения используются тригонометрические формулы. Универсального ответа на вопрос, какие формулы следует применить в том или ином случае, нет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при поиске решения.

Довольно часто в результате преобразований удается привести уравнение к виду f1(x) f2 (x) ... fk (x) 0. В этом случае дальнейшее решение сводится к поиску корней уравнений f1(x) 0, f2 (x) 0, …, fk (x) 0 и дальнейшему

отбору тех из них, которые принадлежат области определения исходного уравнения.

Такой подход к решению уравнений, известный как метод разложения на множители, является универсальным (его применяют при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений).

Пример 49. Решить уравнение

6sin xcosx sin 2xsin 2 0. x

Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента

Ответ: k , k Z, k 0. 2

Пример 50. Решить уравнение

tgx(sin x 1) 0.

Решение. Так как общий наименьший период функций tgx и sin x равен 2 , то отбор корней удобно проводить на промежутке [0;2 ). Проведем равносильные преобразования:

На промежутке [0;2 ) из трех корней

множество корней данного уравнения задается формулой x l, l Z.

25.12.2011 www.alexlarin.net

Ответ: l, l Z.

Пример 51. Решить уравнение

cos8x tgx tgx.

Решение. Перепишем уравнение в ви-

де

tgx cos8x 1 0.

Функции, входящие в последнее уравнение, определены при всех x кроме

последнее уравнение равносильно совокупности уравнений tgx 0 и cos8x 1, решения которых определяются форму-

лами x n и x n , n Z . 4

Теперь необходимо отобрать из полу-

p 3.

Значит при p 2 получаются «запрещенные» значения, а все оставшиеся решения можно задать, например, как сово-

причем вторая из этих серий была получена ранее.

Ответ: n , n, n Z. 4 2

В случае тригонометрических уравнений проблема преобразования исходного

27

ным образом, путем использования тригонометрических формул. Рассмотрим, как это делается, на примерах.

Пример 52. Решить уравнение

cos2x sin x cosx 0.

Решение. Так как

cos2x cos2 x sin2 x,

то данное уравнение равносильно следующим:

cosx sin x cosx sin x cosx sin x 0;

cosx sin x cosx sin x 1 0.

Полученное уравнение в свою очередь равносильно совокупности уравнений

cosx sin x 0 и cosx sin x 1 0.

x n; x n, n Z .

x 3 2 n, n Z . 4 4

Ответ: n, 3 2 n, n Z .

Если уравнение содержит выражения sin sin , cos cos , то для разло-

жения на множители можно попробовать применить формулы преобразования этих сумм (разностей) в произведения.

Пример 53. Решить уравнение

sin x sin 2x sin3x sin 4x 0.

Решение. Перепишем уравнение в ви-

де sin x sin3x sin 2x sin 4x 0. Да-

лее преобразуем это уравнение, используя формулу

sin sin 2sin cos . 2 2

Получим

2sin 2xcosx 2sin3xcosx 0; cosx sin 2x sin3x 0;

cosx sin 5x cos x 0. 2 2

Последнее уравнение распадается на три:

1)cosx 0; x n; 2

2)sin 5x 0; x 2 n , n Z ;

25

3)cos x 0; x 2 n, n Z . 2

Ответ: n, 2 n , 2 n, n Z . 2 5

Пример 54. Найти наибольший отрицательный корень уравнения

sin x sin 2x sin3x 0 .

Решение. Последовательно имеем