C1 2012 корянов

arccos 11 или arccos( 1) верно. 11

Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение x 5.

Ответ: 5.

Использование ограниченности функций

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать

метод оценки

Этот метод применяется при решении уравнений f (x) g(x), в которых его левые и правые части на всей ОДЗ удов-

Соответственно, решив по отдельности каждое из уравнений приведенных систем, в дальнейшем нужно отобрать их общие решения.

Отметим, что метод оценки удобно использовать и при отборе корней уравнения.

Пример 56. Решить уравнение

3(3 sin12 x)(3 sin12 x) 27 (4x 5)2 .

Решение. Оценим левую часть данного уравнения, начиная с выражения

x R. Равенство возможно только в том

случае, если обе части уравнения равны 27, то есть исходное уравнение равносильно системе

33 sin212 x 27

27 (4x 5)2 27.

Второе уравнение имеет один корень

x 5, который удовлетворяет и первому

4

уравнению системы.

Ответ: 1,25.

Пример 57. Решить уравнение

cos2 x2 3 . 2

Решение. Рассматривая данное уравнение как простейшее тригонометрическое уравнение, получим

2 x2 2 n, n Z. 6

0 2 x2 2.

Из всех чисел вида 2 n, n Z, 6

отрезку [0;2] принадлежит только чис-

ло . Поэтому последнее уравнение рав- 6

носильно уравнению

де cos4x 2 sin 5x . Так как при любом

равенство cos4x 2 sin 5x может вы- 3

полняться в том и только в том случае, когда

ражая из последнего равенства n, полу-

чаем n 2m 2m 3. Так как n – целое, 5

то последнее равенство возможно, если

m 2(2p 1) 1 (2p 1) 1 5p 1. Сле- 2

довательно,

x 3 6 (5p 1) 3 6 p. 10 5 2

Ответ: 3 6 p, p Z. 2

Пример 59. Решить уравнение sin7x cos4x 1.

Решение. Воспользовавшись формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму, приводим уравнение к виду sin11x sin3x 2, откуда получим sin11x 2 sin3x. Так как при лю-

sin11x 2 sin3x может выполняться в том и только в том случае, когда

Найдем такие целые значения n и m,

Так как n - целое, то последнее равенство возможно, только если 2m 2 делится на 3, т.е. 2m 2 3k, k Z. Отсюда

m 1 k k . Поскольку m должно быть

m 1 2p 2p 3p 1. Следовательно, 2

x 2 (3p 1) 2 p . 6 3 2

Ответ: 2 p, p Z. 2

применение классических неравенств

Рассмотрим классическое неравенство Коши, известное школьнику как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел, которое эффективно может быть использовано при решении уравнений.

Неравенство Коши для случая трех неотрицательных чисел

a b c 3abc , 3

где равенство достигается при a b c, можно переписать в виде

a b c 33abc .

Для случая двух неотрицательных чисел неравенство

a b ab, 2

где равенство достигается при a b,

можно переписать в виде a b 2ab . Отметим частные случаи неравенства

Коши для двух неотрицательных чисел: a b 2 при a 0, a 1 2 при a 0;

Пример 60. Решить уравнение

tgx ctgx 2cos8x .

Решение. Оценим левую и правую

tgx ctgx 2cos8x выполняется только в двух случаях:

1. Из первого уравнения последова-

x k , k Z. Нетрудно убедиться (на- 4

пример, воспользовавшись моделью тригонометрической окружности), что первое множество значений x содержится во

втором, и, значит, n , n Z, – реше-

8n 3 2k , невозможно ни при каких целых значениях n и k (в его левой части стоит четное, а в правой – нечетное число). Следовательно, эта система решений не имеет.

Ответ: n,n Z. 4

Использование монотонности функций

При использовании монотонности функций различают случаи, когда функции, стоящие в обеих частях неравенства, имеют одинаковую монотонность или разную монотонность.

монотонность функции на множестве R

Пример 61. Решите уравнение sin x 3sin x 2 (3 sin x) 33 2 sin x .

Решение. Пусть sin x t. Рассмотрим функцию f (t) t 3t 2 , определенную при всех действительных значениях t.

Тогда данное уравнение примет вид

f (sin x) f (3 sin x).

Функция f (t) строго возрастает на R как произведение двух возрастающих функций.

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению sin x 3 sin x

на на своей области существования – промежутке М, то уравнение f h(x) f g(x) равносильно системе

h(x) g(x)

E(h) M

E(g) M

Пример 62. Решить уравнение

arcsin(3x2 2x) arcsin(3x 2).

Решение. Перейдем к равносильной системе

1 3x 2 1

Ответ: 1 . 3

Пример 63. Решить уравнение

arccos(x2 3) arccos(x 3).

Решение. Уравнение равносильно системе

Пример 64. Решить уравнение

arccosx arcsin 2x .

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется условиями x 1, 2x 1, т.е. | x | 0,5. Более того,

поскольку значения арккосинуса ограничены отрезком 0, , а арксинуса – отрез-

вой частей уравнения возможно только в случае, если их значения лежат на отрез-

мых значений при 0 x 0,5.

Таким образом, решение уравнения следует искать на множестве 0 x 0,5.

тающая, а v(x) – убывающая функции, либо не имеет решений (рис. 24а), либо имеет единственное решение (рис. 24б).

а б

Рис 24

Пример 65. Найти корни уравнения cosx 3ctgx 3sin x

на данном промежутке, как сумма убы-

этом промежутке. Значит, исходное урав-

не более одного корня. Легко проверить,

что число 5 является корнем данного

3

уравнения.

Ответ: 5 . 3

Использование периодичности функций

Поскольку тригонометрические функции не являются монотонными на всей области определения, то равенство значений синусов, косинусов, тангенсов или котангенсов неравносильно равенству аргументов. Из монотонности функции на некотором промежутке и ее периодичности нетрудно показать следующие равносильности:

помощью формул приведения сводятся к уравнениям-равенствам одноименных функций:

Пример 66. Решить уравнение

sin x cos7x.

Решение. Используя тождество

ный переход (1), сведем решение уравнения к решению совокупности

n Z.

Заметим, что вторую серию решений

можно также задать в виде x n . 12 3

Знак перед дробью n не имеет значе- 3

ния, поскольку параметр n пробегает все целые значения.

Пример 67. Решить уравнение

tgx tg3x.

Решение. Применив равносильный переход (3), получим

m Z, то соответствующие значения x попадают в разряд «запрещенных», поскольку в этом случае x (2m 1) m.

шения вида x m. Полученные решения можно записать как x m так как m Z.

Ответ: x m, m Z.

Замечание. Уравнения, представляющие собой равенства синусов или косинусов, можно решать иначе: путем преобразования разности синусов или косинусов в произведение.

Пример 68. Решить уравнение

cos2x cosx 0.

Решение. По формуле преобразования суммы косинусов в произведение получим

Заметим, что первая серия решений включается во вторую.

Использование четности

инечетности функций

Если функция f (x), определенная на

некотором промежутке X , является на этом промежутке возрастающей или убывающей и принимает на X множество значений Y , то для каждого числа a Y

и один корень x0 0, если a f (0).

Пример 69. Решить уравнение

x10 (12x 13)5 23sin(12x 13) 23sin x2 .

Решение. Приведём исходное уравнение к виду

x10 23sin x2 (12x 13)5 23sin(12x 13).

Рассмотрим непрерывную функцию f (t) t5 23sint . Данная функция определенная для любого значения аргумента, нечётная, так как f ( t) ( t)5 23sin( t) (t5 23sint)

2

4

5 3 23 25162 23 0.2

Следовательно, f (t) возрастает на всей числовой прямой. Значит, каждое своё значение функция принимает в точности при одном значении аргумента, а стало быть, уравнение f (t1) f (t2 ) равносильно уравнению t1 t2 . Записав исходное урав-

нение в виде f (x2) f (12x 13) , получим f (x2 ) f (12x 13) x2 12x 13

Рассмотрим непрерывную функцию f (t) t4 87cost. Данная функция определена для любого значения аргумента, чётная, так как f ( t) f (t). Найдём её производную: f (t) 4t3 87sint .

При t (0; ):

тает на промежутке [0; ). Значит, каждое своё значение из множества значений E(f ), кроме f (0), функция принимает в двух симметричных относительно

x 3 17,

x 3 17,

x 2,

x 4.

Ответ: 3 17 ; 3 17 ; 2; 4.

Тренировочные упражнения

74.Решите уравнение tg2x ctg5x .

75.Решите уравнение ctg3x ctgx.

76.Дано уравнение cos2x cosx 0. а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие от-

5

резку 0; .

2

77. Дано уравнение cos6x cos3x 0. а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 0; .

78.Укажите наибольший корень уравнения cos2x 3sin x 2, принадлежащий отрезку [ 3 ; ].

79.Укажите наименьший корень уравнения cos2x 2 3cosx, принадлежащий отрезку [ 2,5 ; 0,5 ].

Решите уравнение:

80.cos3x cos2x 1.

81.sin3x cos2x 1.

86.cosx 1 x2 4 x 4 2 .

87.x2 x 2 sin x 1. 4

88. x2 6x 10 sin 3 x . 2

89.x2 4x 5 cos4 x.

90.| cos((x 2)cosx)|

1 |log4 (9x2 39x 43) |.

101.(x 1)2 16 4 sin2 x .

102.98cos(x2) (4x 3)4

x8 98cos(4x 3).

103.23cos(x2) 23cos(12 8x)

x6 |12 8x |3 .

2.5. Комбинированные уравнения

Решение комбинированных уравнений представляет определенные трудности для учащихся. При решении этих уравнений применяют различные методы решения.

Уравнения, содержащие дроби

Пример 71. Решить уравнение

cosx 0. 1 sin x

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ: 2k , k Z. 2

Пример 72. Решить уравнение

cosx 1. 1 sin x

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется условием 1 sin x 0. На ОДЗ исходное уравнение равносильно следующим:

cosx sin x 1 0; cosx sin x 1 0;

Следовательно, числа 2 n входят, а чис-

ла 2 n не входят в область допус-

2

тимых значений исходного уравнения.

cos3x, sin 2x равен 2 . Поэтому достаточно рассмотреть решения уравнения на промежутке [0;2 ).

Умножим обе части уравнения на cos3x 0. Далее получаем