практика ТФКП

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

в окрестности точек z = 0,

z = 1, z = ∞;

в окрестности точки

z = 2 и в кольце 1 < |z| < 2.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

605.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>


в)	∫zn Lnzdz (n Z ), если 1. Ln 1 = 0; 2. Ln (- 1) = πi;
	z		=1
г)	∫zα dz , где α– произвольное комплексное число и 1α = 1.
	z	=1

Тема 14. Интегральная формула Коши.

Всюду в задачах этой темы С означает простой замкнутый спрямляемый контур.

Вычисление интегралов с помощью формулы Коши.

68. Вычислить интеграл	C∫	dz	, если:
		z2 +9

а) точка	3i лежит внутри контура С, а точка - 3i – вне его;
б) точка	- 3i	лежит внутри контура С, а точка 3i – вне его;
в) точки ± 3i		лежат внутри контура С.

69. Вычислить

интеграл

∫

zdz

, а > 1.

z −a

=a z

−

z +1

70. Вычислить

интеграл

∫

2 Ln

dz , если Ln a = ln a для a > 0

2πi

z −1

и начальная точка интегрирования z = 1 + i.

Указание. Интегрировать по частям и воспользоваться тем обстоятельством, что многозначная функция при обходе по замкнутому контуру, содержащему внутри себя точку разветвления этой функции, переходит с одной своей ветви на другую.

Вычисление интегралов с помощью формул для производных интеграла Коши.

1ze z dz

71.Вычислить интеграл 2πi C∫ ( z − a )3 , если точка а лежит внутри контура С.


			1		C∫	e z dz
72. Вычислить интеграл								, если:
				2πi		z (1 − z )3
а) точка	0	лежит	внутри, а точка				1 – вне контура С;
б) точка	1	лежит	внутри, а точка				0 – вне контура С;

в) точки 0 и 1 обе лежат внутри контура С.

Тема 15. Степенные ряды.

Формула Коши-Адамара.

73. Найти радиусы сходимости рядов:

∞	z	n		∞	∞	n
а) ∑	z		;	б) ∑nn zn ;	в) ∑	n	zn ;
а) ∑	n		;	б) ∑nn zn ;	в) ∑	n	zn ;
n=1	n			n=1	n=1	2
∞					∞
е) ∑(3 + (−1)n )n zn ;					ж) ∑cosin zn ;
n=0					n=0

∞	∞
г) ∑zn! ;	д) ∑2n zn! ;
n=0	n=0

∞

з) ∑(n + an )zn .

n=0

Отыскание радиуса сходимости с помощью признаков сходимости.

74. Найти радиусы сходимости рядов:

∞	z	n		∞	n!
а) ∑			;	б) ∑		zn .
	n!				n
n=0				n=1	n

Поведение рядов на границе круга сходимости.

75. Исследовать поведение рядов на границе их круга сходимости:

∞

(−1)

∞

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

(p N);

n=1

∞

(−1)

∞

г) ∑

z3n−1 ;

д) ∑

ln n

n=2

n=1

- 21 -

- 22 -

79. Разложить функцию радиус сходимости.

Суммирование рядов с помощью их почленного интегрирования или дифференцирования.

76. Просуммировать при |z| < 1

ряды:

∞

2n+1

∞

а) ∑nzn ;

б) ∑

;

в) ∑

;

г) ∑(−1)n+1

n=1

n=1 n

n=0

2n +1

n=1

Вторая теорема Абеля.

77.Пользуясь второй теоремой Абеля и решением задачи 76, доказать следующие равенства:

∞

= - ln

2sin

(0 < |φ| ≤ π);

а) ∑cos nϕ

n=1

∞

= π −ϕ

(0 < φ < 2π);

б) ∑sin nϕ

n=1

∞

1 ln

ctg ϕ

(0 < |φ| < π);

в) ∑cos(2n +1)ϕ

n=0

2n +1

∞

+1)ϕ

(0 < φ < π).

г) ∑sin(2n

n=0

2n +1

Тема 16. Ряды Тейлора.

Вычисление коэффициентов разложения функции в ряд Тейлора.

78. Разложить функции в ряд по степеням z и найти радиус сходимости:

а) ch z; б) sin2 z; в) (a + z)α (aα = eα ln a).

sin (2z – z2) в ряд по степеням (z – 1) и найти

Указание. Предварительно разложить в ряд по степеням ζ функцию f (ζ ) = sin (1 – ζ ).

80.Найти первые пять членов разложения в ряд по степеням z указанных функций:

а) (1 + z) z = e z ln (1 + z) ;	б) ee z .
	- 23 -

Разложение функций в ряд с помощью формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии.

81. Разложить функции в ряд по степеням z и найти радиус сходимости:

а)	2z −5		б)	z		в)	z		г)	2z −1
		;			;			;			.
	z2 −5z + 6			z4 −3z2 − 4			z2 − 4z +13			4z2 − 2z +1

Указание. Предварительно разложить дроби на сумму более простых дробей.

82. Найти разложение в ряд Тейлора указанных функций:

а)		z2 −5	в окрестности точки z0 = 2;
	z2	− 4z +3
б)		1	в окрестности точки z0 = - 1.
	z2	+ z +1

83.Разложить в ряд по степеням z указанные функции, предварительно упростив их при помощи умножения числителя и знаменателя на подходящий множитель:

а)	1	;	б)	2z −1	;	в)	1	.
	1 + z + z2			4z2 − 2z +1			(1 + z)(1 + z2 )(1+ z4 )

Разложение функций в ряд с помощью почленного дифференцирования или интегрирования известных рядов.

84.	Разложить функции в ряд по степеням z и найти радиус сходимости:
	а)	z2		б) Arctg z				в) Arsh z (Arsh 0 = 0);
			;			(Arctg 0 = 0);
		(1 + z)2
					z		z
	г) ln (z 2 – 3z + 2);				д) ∫ez 2 dz ;		е) ∫sin z dz .
				0			0	z
85.	Разложить функцию				z2	в ряд по степеням (z – 1) и найти радиус
					(1 + z)2

сходимости.

Умножение, деление рядов и подстановка ряда в ряд.

86.С помощью метода неопределённых коэффициентов разложить в ряды по степеням z указанные функции:

-24 -

а) ln2 (1 – z);

б) Arctg z · ln (1 + z 2) (Arctg 0 = 0).

87.С помощью метода неопределённых коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения указанных функций в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0:

а)	z	;	б) e z cos z.
	ln(1 + z)

88. Последовательность {An}, члены которой определяются рекуррентно усло-

виями А0 = 1, А1 = 1, Аn + 2 = An + An + 1 n = 0, 1, 2, …, называется

последовательностью Фибоначчи.

	∞	1
1. Доказать,	что ∑Аn zn =			.
		1 − z − z	2
2. Отыскать	n=0
	формулу для явного вычисления чисел Фибоначчи.

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.

89.Найти решения задачи Коши для указанных уравнений:

а) w'' – z 2w = 3z 2 – z 4, w (0) = 0, w' (0) = 1;

б) (1 – z 2)w'' – 4zw' – 2w = 0, w (0) = 0, w' (0) = 1.

Тема 17. Ряды Лорана.

Области сходимости рядов Лорана.

90. Найти области сходимости указанных рядов:

∞			∞
а) ∑2−	n	(z −1)n ;	б) ∑2n zn ;

n=−∞			n=−∞

∑∞ zn

в) n=−∞ n2 +1 .

Разложение функций в ряд Лорана с помощью формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии.

91.Разложить данные функции в ряд Лорана либо в указанном кольце, либо

вокрестности указанной точки. В последнем случае определить область,

вкоторой разложение имеет место:

а) z −1 2 в окрестности точек z = 0 и z = ∞;

Разложение функций в ряд Лорана с помощью известных разложений.

92.Разложить данные функции в ряд Лорана и определить область, в которой разложение имеет место:

а) z 2e1 / z		в окрестности точек z = 0 и z = ∞;
б) cos	z2	− 4z	в окрестности точки	z = 2.
	(z	− 2)2

Указание. Предварительно получить разложение в ряд по степеням ζ функции cos (1 – ζ).

Разложение функций в ряд Лорана с помощью почленного дифференцирования или интегрирования известных рядов.

93.Разложить данные функции в ряд Лорана и определить область, в которой разложение имеет место:


а)	1		в окрестности точек z = i и z = ∞;
	(z2 +1)2
б)	1 ln	z +α	в окрестности точки z = ∞, где ln	z +α
					= 0.
				z −α
	2 z −α				z =∞

Умножение, деление рядов и подстановка ряда в ряд.

94.Методом неопределённых коэффициентов разложить данные функции в ряд Лорана и, где не указано, определить область, в которой разложение имеет место:

а) sin z sin 1z в области 0 < |z| < ∞;

б) ctg z в окрестности точки z = 0;

в) e1−z в окрестности точек z = 1 и z = ∞.

- 25 -

- 26 -

Тема 18. Особые точки аналитических функций.

Особые точки однозначных функций.

95.Найти особые точки, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности:

а)	z5	; б)			ez		;
а)	(1 − z)2	; б)		1	+ z2		;
	(1 − z)2			1	+ z2
е)	ctgz ;	ж) ctg z -				1	;
	z2					z
л)		z7				;
л)	(z2 −4)2 cos			1		;
				1
			z −2
			z −2

в) ez1−1 − 1z ;

з) ctg z - 2z ;

м) e - zcos 1z ;

г)

;

д)

cos z

;

z(1−e−z )

и) sin

;

к) sin 1

;

− z

н) e

о) sin

;

sin

Особые точки многозначных функций.

96.Исследовать поведение каждой из однозначных ветвей заданной многозначной функции в указанных точках (определить, является точка правильной для соответствующей ветви или особой; в последнем случае указать характер особенности):

а)	2z +3			, z = 1;	б)	1	,	z = 1;
а)	1 + z − 2 z			, z = 1;	б)	z + 3 z	,	z = 1;
в)			1		, z = 4;	г) sin			1		, z = ∞;
в)	(2 +	z )sin(2 − z )			, z = 4;	г) sin		1 +		z	, z = ∞;
								1 +		z − 2
			Lnz
д) sin ctg			4i	, z = 1.
			4i

- 27 -

Тема 19. Вычеты.

Вычисление вычетов.

97.Найти вычеты указанных функций f (z) относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удалённой точки (если она не является предельной для особых точек):

а)

z2 + z −1

;

б)

;

в) ctg 3z;

г) z 3cos

; д) e z + 1 / z.

z2 (z −1)

z2 (z2 +9)

z − 2

Вычисление интегралов по замкнутому контуру.

98. Вычислить интегралы с помощью теоремы о вычетах:

а)

∫

;

б)

∫

−3)(z

−1)

x 2 + y 2 =2 x

Указание. Воспользоваться тем, что сумма вычетов относительно всех особых точек (вклю-

чая бесконечно удалённую) равна нулю.

в) ∫(1 + z + z

г) ∫

zdz

z −1

z −2

) e

+ e

dz ;

=5 sin z(1

−cos z)

Вычисление интегралов по неограниченному контуру.

99. Вычислить интегралы с помощью теоремы о вычетах:

а)

∫

(

1 = 1), где С– парабола у2 = х, обходимая в сто-

C (z

+1)

рону возрастания у;

б)

∫

ez dz

, где С– контур полуполосы {|Im z| < a, Re z < 0}, обходи-

C cos z

мый в положительном направлении.

Вычисление несобственных интегралов от дробно-рациональных функций действительного переменного.

100. Вычислить интегралы:

- 28 -

∞

∞ x2 +1

∞

x2dx

а)

−∫∞

;

б)

−∫∞

dx ;

в)

−∫∞

;

x2 − 2ix − 2

x4 +1

x4 + 6x2 + 25

∞

x2dx

г) ∫0

(a > 0).

(x2 + a2 )3

Вычисление несобственных интегралов с помощью леммы Жордана.

101. Вычислить интегралы:

∞

(x +1)e−3ixdx

∞

x3 sin x

∞

x cos xdx

а)

−∞∫

;

б)

−∞∫

dx ;

в)

−∞∫

;

x2 − 2x +5

x4 +5x2 + 4

x2 − 2x +10

∞

xsin xdx

∞

cos xdx

г)

∫0

(a > 0);

д) ∫0

(Re a > 0, Re b > 0).

(x2 + a2 )2

(x2 + a2 )(x2 +b2 )

Вычисление определённых интегралов от периодических функций

по промежутку, равному основному периоду.

102. Вычислить интегралы:

а)

π∫

dϕ

;

б)

π∫

cos4 ϕ

dϕ ; в)

π∫e2iϕctg(ϕ −ia)dϕ (a > 0).

−π13 +12sinϕ

1 +sin ϕ

- 29 -

Ответы.


1. х =		2	, у =		57		. 2. a) – 43 + 81i ; б)						22	-		5	i ; в) 3 – 4i, - 3 + 4i.
1. х =		7	, у =		4		. 2. a) – 43 + 81i ; б)					159		-		318	i ; в) 3 – 4i, - 3 + 4i.
		7			4							159				318
3. a) z1 = 1 – i , z2 =								4	- 2 i ; б) z1 = 1 + 2i, z2 = - 4 – 2i, z3 = 1 – 2i, z4 = - 4 + 2i.
	1			19				5	5	19
4.	1		сos	19		π		+	i sin	19					5	ϕ - 20 cos		3	ϕ + 5 cosϕ ; б) 16 sin	5
4.			сos	12		π		+	i sin	12	π . 5. 1. а) 16 cos					ϕ - 20 cos			ϕ + 5 cosϕ ; б) 16 sin	ϕ -
	2			12						12
- 20 sin 3ϕ + 5 sinϕ ;								в) 32 cos 6ϕ - 48 cos 4ϕ + 18 cos 2ϕ - 1; г) cosϕ (32 sin 5ϕ - 32 sin 3ϕ +
+ 6 sinϕ).			Указание. Раскрыть биномы двучлена cos ϕ + i sin ϕ , воспользоваться формулой Му-

авра и рассмотреть по отдельности действительные и мнимые части в полученном равенстве.

5. 2.	256 cos	8	π	−	ϕ	cos 4ϕ - i256 cos	8	π	−	ϕ	sin 4ϕ. Указание. Выражение, сто-
			4		2			4		2

ящее в скобках, предварительно преобразовать в тригонометрическую форму комплексного чис-

ла. 5. 3. а) sin

n ϕ

cos

n + 1

; б) sin

n ϕ

sin

n + 1

. Указание. Умножив вто-

sin

рую сумму на i, сложить её с первой суммой; перегруппировав слагаемые, применить формулу Муавра, а затем свернуть получившуюся сумму геометрической прогрессии; рассмотреть по отдельности действительные и мнимые части в полученном равенстве.

6. а)	2		(2k + 3 / 4)π	+ i sin	(2k + 3 / 4)π	, k = 0, 1, 2;
	2	сos	3	+ i sin	3
			3		3

б)	5 5	сos (2k +1)π −arctg(3/ 4)		+isin	(2k +1)π −arctg(3/ 4)	, k = 0, 1, 2, 3, 4.
			5		5
			5		5

	сos	(2k +1)π		+isin		(2k +1)π
7. a) zk = 2								, k = 0, 1, 2, 3, 4;
		5					5

б) z0, 1 = ± 1,	z2, 3 = ± 0,5(1 + i			3 ), z4, 5 = ± 0,5(1 - i 3 ), z6, 7 = ± 2, z8, 9 = ± (1 + i 3 ),
z10, 11 = ± (1 - i 3 ). 8.			a) Окружность с центром z = - 1 + 4i и радиусом 7; б) окруж-
ность с центром z = - 3			и радиусом 3;				в) окружность с центром z = 35/ 8 и радиусом
9/ 8; г) окружность радиуса 1					с центром z = 0; д) окружность радиуса a/2 с центром
z = a/2; е) действительная ось;					ж) эллипс с фокусами в точках z = ± 2 и большой по-
луосью 5/2.	9. а) Полуплоскость, расположенная правее вертикальной прямой Re z = 1;

б) полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой Im z = - 2; в) круг радиуса 5 с центром z = - 2 + 3i; г) внешность круга радиуса 1 с центром z = 3 - 2i вместе с окружностью; д) угол с вершиной z = - i, стороны которого проходят через точки z = 1 и z = 0; е) полуплоскость, ограниченная прямой Re z + Im z = 2, и содержащая

- 31 -

точку z = 0; ж) внешность круга радиуса 1 с центром z = 1; з) внутренность эллипса

x 2		+			y 2		= 1 ; и) часть плоскости, лежащая справа от левой ветви гиперболы
3				4

2			у2
х	-					= 1; к) правая половина круга радиуса 1 с центром z = 0; л) полуплоскость,
				3

лежащая слева от мнимой оси; м) часть плоскости, ограниченная параболой у2 = 1 – 2х,

и содержащая точку z = 1.

10. а) (½; 0; ½);

б) (- ½; 0; - ½);

в) (0; ½; ½);

г) (

2 /4; -

2 /4; 1/2). 11. а) Западное полушарие;

б) восточное полушарие; в) полу-

шарие - π/2 < α < π/2 (α - долгота); г) полушарие π/2 < α < π;

д) северное полушарие;

е) южное полушарие.

12. а) z = 0, z = 2; не является; б) z = 0, z = 1/т, z = i/n

(т и п –

любые целые числа); в) все точки круга z ≤ 1.

[log

ε(1−

2 )]+1, если ε

;

Указание. Предварительно дока-

13.

1−

а) 0; N ( ε) =

зать неравенство

1, если

ε ≥

;

| 1 + a 2 N |

> 1 - |

a |2

при | a | < 1,

−

n Ν, исходя из геометри-

log

+1, если

ε <

;

ε(

2 −1)

−1

б) 0; N (ε) =

ческих соображений.

1, если ε ≥

;

2 −1

∞

в) ∞. Указание. Доказать расходимость ряда

∑

, используя необходимый признак.

п =1

sin 4 − ish 2

14.

a) i;

б) (- 1) k;

в) cos 2 ch 1 – i sin 2 sh 1;

г) i sh 2;

д)

;

2(cos 2 2 + sh1)

е)

8 + 15 i

;

ж) sh

4 − i sin

;

з) 40 + 9 i

;

и) ln 4 + 2kπi;

2k −

к)

πi ;

ch 4 − cos

л)

ln13

м)

[cos (2k + 1)π

+ i sin (2k + 1)π

2 ];

(2k +1)π − arctg

i ;

н) е2kπ (cos ln 2 + i sin ln 2);

о) е2kπ ;

п) 1 − i е(2k + ¼) π ;

arctg

4 +2kπ

с)

5π

р) 5е

cos ln5

−arctg

+isin ln5 −arctg

;

+ 2 k π ,

+ 2 kπ ;

т) 2kπ ± i ln (2 +

3 );

у) 2kπ – i ln (

2 - 1),

(2k + 1)π – i ln (

2 + 1);

ф)

( 2 k +

1)π

+ i

ln 5

;

х) ln (

5 ± 2 ) + (2k ± ½) πi ;

arctg

ц)

ln 5

arctg 2 +

В пп. и) – ц)

k Z.

16. а) – i; б) e + e – 1.

17. а) z = kπ + i(- 1) k ln 3;

б) z = π (k + ½) + i ln 2;

в) z = (2k ± 1/3) πi;

г) z = π/4 + 2kπ - i ln (

2 ± 1);

д) z 1

= π

+2kπ−iln

3−1,

z 2

= −3π

+2kπ−iln

3+1;

е) z = - ln 2 + (2k + 1) πi; ж) z 1 = (2k + ½) πi, z 2 = - ln 3 + (2k - ½) πi;

з) z = kπ (1 ± i);

и) z 1 = kπ (1 + i),

z 2 = π (k + ½)(1 – i);

к) z 1 = π (2/5k + 1/10)(1 – 2i),

z 2 = π (2/5k - 1/10)(1 + 2i);

л) Re z = π (2k + 1)/ 4;

м) Im z = π (2k + 1)/ 4.

Всюду k Z.

18. а)

sin

( n + 1) x

cos

;

б)

sin

( n + 1) x

sin

;

в)

sin 2nx

;

г)

sin

nx ;

2sin x

sin x

sin

( n + 1) x

д)

sin

( n + 1) x

cos

, если п – нечётное число;

сos

sin

, если п –

−

сos

cos

sin

n + 1

nβ

sin

n +1

nβ

чётное число;

е)

cos α

;

ж)

sin

cos bx +

sin bx −

19. а)

еах

sin bx

; б) е

ах

cos bx .

+ b

20. а) Отрезок прямой х = 1,

- 2 ≤ у ≤ 0;

б) парабола у = х2;

в) дважды пробегаемая

правая ветвь параболы у = х2;

г) левая полуокружность радиуса 1 с центром в точ-

ке z = 0 ;

д) ветвь гиперболы

у = 1 / х, лежащая в третьем квадранте;

е) верхняя по-

луокружность радиуса 1 с центром в точке z = 0 ;

ж) циклоида х = t – sin t, y = 1 – cos t.

24. f (z) = z 2

при 0 < arg z < π / 4

или

π < arg z < 5π / 4;

25. 0.

f (z) = - z 2

при π / 2 < arg z < 3π / 4

или

3π / 2 < arg z < 7π / 4.

27. а) u = C1(ax + by) + C2 ; б) u = C1arctg (y / x) + C2 ;

в) u = C1

х+

х2 + у2

+ C2 ;

г) не существует.

28. v = 2xy + y + C.

29. а) f (z) =

+ iz 2 + 3i + C ;

30. а) θ = 0, k = 2;

2 z

б) f (z) = ze z + 2i cos z + z 3 – iz + Ci.

б) θ = π / 4, k = 2

2 ;

в) θ = π – arctg (4 / 3), k = 10.

31. а) Сжатие при | z + 1 | < ½,

растяжение при

| z + 1 | > ½;

б) сжатие при | z | > 1, растяжение при | z | < 1;

в) сжатие при Re z < 0,

растяжение при Re z

> 0;

г) сжатие при | z - 1 | > 1, растяжение при | z - 1 | < 1.

32.	2 (е2π – 1).			33. 2е2 (е2 – 1). 34. а) Расходится; б) расходится; в) сходится
абсолютно; г) расходится; д) сходится абсолютно; е) сходится абсолютно;
ж) сходится абсолютно; з) сходится условно; и) сходится абсолютно.
35. w = (1 + i)(1 – z).					36. w = (2 + i) z + 1 – 3i.	37. а) z0 = - 1 + 3i, θ = 0, k = 2;
б) z0 = 2 + 2i, θ = π / 2, k = 1; в) конечной неподвижной точки нет.
38. а) w = z − a			;		б) w = − z + a + 1 + i;	в) w =	1 + k 2 e – i (π / 2 + arctg k) z ;
		h			h		b
г) w =	1 + k 2		e – i (π / 2 + arctg k) (z – ib1). 39. w = e iαR z + w0.				40. а) Семейство прямых
	b2 − b1		б) семейство прямых v = - 1 / b;			в) семейство окружностей
и = 1 / а;

b(u 2 + v 2) + u + v = 0, касающихся в начале координат прямой v = - u, и самá эта пря-

мая;	г) пучок прямых v = - k u ; д) семейство окружностей, проходящих через точки
w = 0	и w = 1 / z0, и прямая, проходящая через эти точки; е) циссоида u 2 = -	v3	.
		v + 1

41. а) В полукруг {| w | < 1, Im w < 0}; б) в область, полученную из нижней полуплос-

кости Im w < 0

удалением находящейся в этой полуплоскости части круга

| w - ½ + i / 2 | <

2 / 2;

в) в область, содержащую точку w = 0 и ограниченную

дугами окружностей | w | = 1

и | w + 5i / 4 | = ¾;

г1) в область, ограниченную прямой

Re w = 1 и касающейся её окружностью | w - ½ | = ½ ;

г2) в область, ограниченную

касающимися друг друга окружностями | w - ½ | = ½ и | w - ¾ | = ¼ ;

д) в двусвязную

область, граница которой состоит из прямой Re w = ½

и окружности

| w - ¾ | = 2 / 3.

42. а) w = -

2 i ( z + 1)

;

б) w = (1 + 2i ) z

+ 6 − 3i ;

в) w =

z + 2 + i

;

4 z − 1 − 5i

5( z − i )

z + 2 − i

г) w = iz + 2 + i ;

д) w = ( −1 + 3i ) z + 1 − i ;

е) w = (1 − 4i ) z − 2 (1 − i ) .

z + 1

(1 + i ) z − 1 + i

2 (1 − i ) z − 4 + i

43. а) w =

+ b , a, b, c, d R, ad – bc > 0 ;

б)

w =

+ b ,

a, b, c, d R,

+ d

ad – bc < 0 ; в) w = i az + b , a, b, c, d R, ad – bc < 0. cz + d

или w = d + h i; б) w = z

в) w = d1 ( z − d 2 ) . z (d1 + d 2 )

d 1			d 2	− 1		+ h i или w =
				− 1		+ h i или w =
d 2 −	d 1		z
	45.	а) w =			z − i		;
	45.	а) w =			z + i		;
					z + i

44. а) w = - d + 1 + h i z

	d	2			d		2
		2					2	−1		+ 1 + hi;
	d1 − d 2					z
б) w =			i	z − 2i					;
				z + 2i

в) w = e i (π / 2 + θ)	z − (a + bi )	.	46. w =		R − z	; образом верхнего полукруга является
	z − (a − bi )				R + z
угол u > 0, v < 0. 47. а) w = -			z − 2i	;	б) w = - 4		iz + 2	.	48. а) w =	2 z − 1	;
			z + 2i		- 34 -		z − 2 − 4i			2 − z
					- 34 -

б) w = 1 − z ; z + 2

l = 2 1 − 1 − a 2 a

50. а) w = z 1 / α ;

в) w = 2	z − 2 + i	;	г) w = ± az − 1 + 1 − a 2	,
	iz + 2 − 2i		(1 − 1 − a 2 ) z − a

; д) w =	z + 2 −			3		.			49. а) w = - 20 / z ; б) w = - 2iz - 1 - 2i.
	1 + (2 −			3 ) z

	2(	3	4	+ 1)e		πi	z	4			1 + z	2
б) w =						3		3	.
										51. а) w =		;
				πi 4							1 − z
	(3 4 − 2)e 3 z				3	+ 33 4

б) w = −2z2 +3z −2 . 52. а) w =

z2 + 2iz +1

;

б) w =

10z2 +15iz +10

2z2 +3z +2

iz2 + 2z +i

(8 + 6i)z2 + (9 −12i)z +8 + 6i

+ R

;

б) w =

−

54. а) w = - 2 z +

− i

;

53. а) w = z

2 z −

3 − i

−

z +1

2 z

;

2 z +

− i

55. а) w =

б) w =

3 − i

в) w = i

;

2 z

−

2 z − 3

− i

1 − z

3 − i

z +1

z + R

z −i ;

г) w = e

arctg

б) w =

;

в) w = e – π i / 8

1−h 2

;

z − R

z −1

д) w =

z 2

+ h 2

;

е)

w =

+ 1

56. а), б) Внешность эллипса Э;

− 1

в) верхняя половина внутренности эллипса Э;

г) нижняя половина внутренности

эллипса Э; д) правая половина внутренности эллипса Э с разрезом вдоль отрезка

;

е) область между ветвями гиперболы

=1.

R +

−

sin

cos

В пп. а) - д) эллипс Э задан уравнением:

4u2

4v2

(R +1/ R)2

(R −1/ R)2

57. а) w = eiα

(z +

z 2

− c 2 );

б) w =

(z +

z 2 − (a 2 − b 2 ) ) ;

в пп. а), б)

a + b

при одном выборе ветви радикала получается отображение на внешность единичного

круга, а при другом – на его внутренность;			в) w =			az − b		z 2	− (a 2 − b 2 ) .
								a 2	− b 2
58. Вся плоскость с разрезом по отрезку		1			1		, если	a > 0;
58. Вся плоскость с разрезом по отрезку	− 1;		a	+			, если	a > 0;
- 35 -		2			a
- 35 -

вся плоскость с разрезами по лучам		1			1	и [- 1; + ∞), если a < 0.
	− ∞ ;		a	+
	− ∞ ;	2	a	+	a
		2			a

59. а) w =

1 + (z +1/ z) / 2 ;

б) w =

;

5 / 4 − (z +1/ z) / 2

a +

− z

в) w = 1

+ a +

;

г) w =

z 2 + 1 / z 2 + α 2 + 1 / α 2 ;

z + 1 / z

д) w =

α2

60. а) Вся плоскость с разрезами по лучам у = 0, х ≤ - ½ и у = 0, х ≥ ½;

б) вся плоскость с разрезами по лучам у = 0,

1 ≤ х < ∞ и у = 0, - ∞ < х ≤ - 1;

в) угол - π / n < arg z < π / n с разрезом по лучу у = 0, n

1 / 4 ≤ х < ∞.

61. 1. а) Во всю плоскость с разрезом по спирали ρ = еθ ;

б) в сектор {ρ < 1, 0 < θ < α} (при α = 2π – в единичный круг с разрезом по

радиусу {v = 0, 0 ≤ u ≤ 1};

в) в область {ρ > 1, 0 < θ < α} (при α = 2π – во внешность единичного круга с

разрезом по лучу {v = 0,

1 ≤ u < ∞};

г) в область {e α < ρ < e β, γ < θ < δ} (при δ – γ = 2π эта область является кон-

центрическим кольцом с разрезом по отрезку {θ = γ, e α ≤ ρ ≤ e β}.

61. 2. а) В полуполосу {u < 0, 0 < v < α};

б) в прямоугольник {ln r1 < u < ln r2 , 0 < v < 2π}.

61. 3. а) В четвёртый квадрант;

б) в правую полуплоскость с разрезом по отрезку [0; 1];

в) во всю плоскость с разрезами по лучам (- ∞; - 1]

и [1; ∞);

г) во внутренность эллипса

u 2

v 2

= 1

с разрезами по отрезкам

[- ch h; - 1] и [1; ch h] .

ch 2 h

sh 2 h

61. 4. а) Семейство х = С преобразуется в пучок дуг окружностей с концами в точ-

ках w = ± i, уравнение пучка: (u – a)2 + v2 = 1 + a2, где a = ctg 2C ;

семейство

у = С преобразуется в семейство окружностей Аполлония относительно то-

чек w = ± i, уравнение семейства: u2 + (v – b)2 = b2 – 1, где b = cth 2C;

б) в верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку [0; i];

в) во всю плоскость с разрезом по отрезку [- i; i];

г) в полукруг {| w | < 1, Re w > 0}.

61. 5. а) В полуполосу - π / 2 < u < π / 2, v > 0;

б) в полосу - π / 2 < u < π / 2.

62. а) w = e π (1 – i)z / h ;

б) w = − сh

( z −1)π

;

в) w =

e 2πiz / (z – 2) ;

πi ( z + i )

( z + 2)π

63. а) w = − 1 + i

3 th

πi( z + 3i) ; б) w =

г) w = сos

2 e

z − i

2 z

4( z − i)

πi ( z + i )

1 + e

z − i

- 36 -

− 1 4 ;

z 2

64. a) w =

б) w =

z + 1

;

в) w =

;

z 4 −1

− 1

г) w =

−

(1 − h

4 ) 2 ( z 4 − 1) 2 ;

д) w =

−

+ tg

2 α

;

+ h

4 ) 2 ( z 4 + 1) 2

(z −1)4 +(17−12

2)(z +1)4

е) w = i

− 1

, где

ζ =

iz 2

− 1

;

ж) w = -

;

− i

(6−4 2)(z

−1)

з) w = i sh π ( z − iz + h )

;

и) w = - cos

2πh

;

к) w =

e z

− e π

;

2 h

e z

− 1

л) w = 2

e z

+ i

2 .

1 +

− i

65. a) w =

ln (z1 / α + z -

1 / α);

б) w =

z + i

;

в) w = -

ln (1 + z - π / α).

i − z

2π

66. a) 2 + i;

б) 2i;

в) πi;

г) 4 / 3.

67. a) – 4; 4i;

б) 2πi; - 2π;

в) 1.

2πi

, если n ≠ - 1;

- 2π2, если n = - 1;

2. (- 1) n + 1

2πi

, если n ≠ - 1;

n + 1

- 2π2, если n = - 1;

г)

e 2απ i

− 1

, если α ≠ - 1;

2πi, если α = - 1.

68. a) π / 3;

1 + α

69. πi / 2.

70. 1 – 2i / 3.

71. е а(1 + а / 2).

б) - π / 3;

в) 0.

72. a) 1;

б) – е / 2;

в) 1 – е / 2.

73. a) 1;

б) 0;

в) 2; г) 1; д) 1;

е) ¼;

ж) 1 / е;

з) 1, если |а| ≤ 1;

1 / |а|, если |а| > 1.

74. a) ∞;

б) е.

75. a) Сходится (неабсолютно)

во всех точках окружности |z| = 1, кроме z = 1;

б) сходится (неабсолютно)

во всех точках окружности |z| = 1, кроме z = - 1;

в) сходится (неабсолютно)

во всех точках окружности |z| = 1, кроме точек z = е2kπi / p

(k = 0, 1, …, p – 1);

г) сходится (неабсолютно)

во всех точках окружности |z| = 1,

кроме точек z = 1 ± i

z = - 1;

д) сходится абсолютно во всех точках

1 ln

1 + z

окружности |z| = 1.

76. a)

;

б) – ln (1 – z);

в)

;

г) ln (1 + z).

(1 − z ) 2

1 − z

∞

2 n

∞ ;

∞

2 n −1

2 n

R = ∞ ;

∞

78. a) ∑

R =

б) ∑ ( −1) n +1

в)

a ∑

n = 0

( 2 n )!

n = 0

( 2 n )!

n =0

= 1 ,

α (α − 1) ... (α

− n + 1)

при n > 1, R = |а|.

где

∞

− nπ / 2) (z – 1)2n, R = ∞ .

79. ∑ sin( 1

80. a) 1 + z 2 - 1 z 3 +

5 z 4 -

z 5 + …;

n =0

б) 1 + z + z 2 + 5 z 3 - 5 z 4 + …

б)

∞

n +1

− 4

− n −1

) z

2n + 1

∑ (( −

, R = 1;

5 n =0

13;

г) -

∞

π (n + 1) z

R =

∑ 2 n sin

Указание.

n =1

В полученном ряде

∑∞ ((1 −

3 i n =1

				∞
81. a) - ∑ (2 − n −1 + 3− n −1 ) z n,							R = 2;
			n =0
		i		∞	(2 − 3i)n − (2 + 3i)n				n
в)				∑				z		,
в)	6			∑	13	n		z		,
	6			n =1	13
n - 1, R =	1 .
	2
3 i ) n + 1	− (1 +				3 i ) n + 1 )z n −1 записать ком-

плексные числа в скобках в тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра.

82. a)

∞

б)

∞

π (n + 1)

( z + 1)n

, R = 1.

1 - 4 ∑ ( z − 2)2 n +1 , R = 1;

∑sin

n =0

∞

83. a)

∑ ( z 3 n − z 3 n

+1 ) ;

б)

∑ (−1)n (23 n + 2 z 3 n + 2

− 23 n z 3 n ) ;

n =0

∞

2 n +1

в) ∑

( z 8 n − z 8 n +1 ) . 84. a) ∑ (−1)n (n − 1) z n , R = 1;

б) ∑ (−1)n

, R = 1;

2n + 1

n =0

n = 2

n =0

∞

в) ∑

n =1

∞

д) ∑

n =0

85.1

86.a)

n 1 3 ... (2n

− 1)

2 n +1

∞

z n

(−1)

, R = 1;

г) ln 2 - ∑

1 +

n!(2n

+ 1)

n =1

z 2 n +1

, R = ∞

;

е)

∞

z 2 n + 1

∑

( − 1) n

n!(2 n + 1)

( 2 n + 1)! ( 2 n + 1)

n = 0

∞

n (n − 3)( z − 1)n

+ ∑ (−1)

, R = 2.

n + 2

n =1

∞

1 1

1 z

∞

n+1

1 1 1

2 ∑ 1+

+...+

;

б)

2∑(−1)

1 +

+ ... +

n=2

n −1 n

n=1

, R = 1;

R = ∞ .

z 2 n+1 .

2n +1

87. a) 1 +	z	-	z 2	+ … ;	б) 1 + z +	z 2	+ …
2		12			2

88.1. Указание. Умножить обе части данного равенства на знаменатель правой части и приме-

нить метод неопределённых коэффициентов.

2. Аn = 1

5 + 1

n +1

1 −

n +1

, n = 0, 1, 2, …

−

89. a) z + z

−

∞

4n+1

−

4n+2

∑

4 5

5 6

...

(4n −1)4n 4 5 ... 4n(4n +1)

5 6 ... (4n +1)(4n +2)

n=2

R = ∞ ;

∞

б) ∑ z 2 n

+1 =

, R = 1.

1 −

n = 0

90. a) ½ < | z - 1| < 2;

б) пустое множество;

в) | z | = 1.

- 37 -

- 38 -

91. a)		1	∞	z		n	∞	2n
	−		∑				при \| z \| < 2; ∑			при \| z \| > 2;
					2			z	n+1
		2 n=0					n=0

б)

∞

∑ z n

при | z | < 1;

−

+ ∑ ( −1) n ( z − 1) n

при 0 < | z - 1| < 1;

z − 1

n = 0

∑∞

при | z | > 1;

n = 2

в)

∞

n (2 + i)n +1 − (2 − i)n +1

+ i∑

(−1)

(z − 2)

при 0 < | z - 2| <

5 ;

z − 2

n +1

n =0

∞

2∑(

−1)n

−

∑

при 1 < | z | < 2.

2 n

n+1

n=1

n=0

∞ 4

cos

πn

−

∞

92. a)

∑

при 0 < | z | < ∞ ;

б) ∑

при 0 < |z - 2| < ∞ ;

n!( z − 2 )

2 n

n = −2 (n + 2 )! z

n = 0

93. a) −

∞

+ 3)

−

∑

(z − i)n

при 0 < | z - i| < 2;

4(z − i)

4(z

− i)

n+4

n=0

∞

б)

−1

α −2 n −1

2 n +1

∑(−1)

при | z | > 1;

− ∑

при | z | > | α | .

2 n+2

2 n + 1

n=1

n = −∞

∞

c−2n

∞

94. a) ∑

+ ∑c2n z 2n , где c2n =c−2n =(−1)n ∑

(n = 0, 1, 2, …);

n=0 z

n=0

k =0

(2k +1)!(2n +2k +1)!

∞

2 n

B2 n

б) ∑(−1)n

z 2 n−1 , где Bk – числа Бернулли, удовлетворяющие рекуррент-

n=0

(2n)!

(k ≥ 1) , при 0 < | z | < 2π;

ным условиям: B0

=1, Сk0+1B0

+ Ck1+1B1 +... + Ckk+1Bk

= 0

∞

∞ ;

в) ∑(−1)n

при 0 < |z - 1| <

n=0

n!( z −1)

∞

n−1

(−1)

k +1

n−1

1 −

+ ∑c−n z −n , где c−n

= −1 + ∑

(n ≥ 2)

, при | z | > 1 .

(k +1)!

n=2

k =1

95. а) z = 1 – полюс 2-го порядка, z = ∞ - полюс 3-го порядка;

б) z = ± i – полюсы 1-го порядка, z = ∞ - существенно особая точка;

в) z = 2kπi

(k = ± 1, ± 2, …) – полюсы 1-го порядка, z = ∞ - точка, предельная для

полюсов;

г) z = 0 – полюс 2-го порядка, z = 2kπi

(k = ± 1, ± 2, …) – полюсы 1-го порядка,

z =

∞

- точка, предельная для полюсов;

д) z = 0 – полюс 2-го порядка, z = ∞ - существенно особая точка;

е) z = 0 – полюс 3-го порядка, z = kπ

(k = ± 1, ± 2, …) – полюсы 1-го порядка,

z =

∞

- точка, предельная для полюсов;

ж) z = kπ

(k = ± 1, ± 2, …) – полюсы 1-го порядка, z = ∞ - точка, предельная для

полюсов;

з) z = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) – полюсы 1-го порядка, z = ∞ - точка, предельная для полюсов;

и) z = 1 – существенно особая точка, z = ∞ - правильная точка; к) z = 0 – существенно особая точка, z = ∞ - правильная точка;

л) z = - 2 – полюс 2-го порядка, z = 2 – существенно особая точка, z = ∞ - полюс 3-го порядка;

м) z = 0 – существенно особая точка, z = ∞ – существенно особая точка;

н)	z	=		2	(k = 0, ± 1, ± 2, …) – существенно особые точки, z = 0 – точка,
			( 2 k	+ 1)π
	предельная для существенно особых точек, z = ∞ - правильная точка;
о)	z	=	1	(k = ± 1, ± 2, …) – существенно особые точки, z = 0 – точка, предельная
			kπ

для существенно особых точек, z = ∞ – существенно особая точка. 96. а) Для одной ветви правильная точка, для другой – полюс 2-го порядка;

б) для одной ветви полюс 1-го порядка, для остальных пяти ветвей правильная точка;

в) для обеих ветвей полюс 1-го порядка; г) для одной ветви правильная точка, для другой - существенно особая точка;

д) для одного бесконечного множества ветвей правильная точка, для остального бесконечного множества ветвей - существенно особая точка.

97. а) res	f (z) = 0, res	f (z) = 1, res f (z) = - 1;
z = 0	z =1	z = ∞

б)	res f (z) =	1	, res f (z) =
	z = 0	9	z = ±3 i
в)	res f (z) = - 1		(k Z);
	z = kπ
д)	res f (z) =	− res		f (z) = 1 +
	z = 0		z = ∞
98. а)	− πi ;	б) −			πi	;
	2			121

− sin 3 m i cos 3 ,				res f (z) = sin 3 − 3 ;
	54			z = ∞	27
	г) res	f (z) =		− res	f (z) = −	143		;
	z = 2			z = ∞			24
∞	1		.
2 ∑	1		.
n =1	n!( n + 1)!					πi
в) 32πi;		г) 0.			99. а)	πi		1 + 2 ;
						2

б)

2πe 2 i

100. а) 0;

б) π

2 ;

1 + e π

π e – 2(4 – e);

101. а) π(1 – i)e – 3i – 6;

б)

д)

102.

−

2 (b 2 −

a 2 )

ae a

be b

в) π ;

г)

16 а3

в)

;

г)

;

cos 1 − sin 1

e 3

4 аe a

– 2a

а)

;

б) 2π 2

−

;

в) 2πie

- 40 -

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201566.56 Кб11Правоохранительные органы.docx
#
16.04.2019285.18 Кб3правоохранка.doc
#
03.09.201949.15 Кб1практ 203 фл нейссерии.doc
#
03.09.201988.58 Кб1практ 203фл кокки 1.doc
#
11.11.201983.29 Кб3практика по менеджменту III.doc
#
10.02.2015605.88 Кб81практика ТФКП.pdf
#
13.11.201993.18 Кб1практика+по+менеджменту+II-1.doc
#
27.11.2018111.1 Кб1практика.doc
#
10.02.201521.95 Кб8Практика.docx
#
10.02.201531.73 Кб13Практики за три года.docx
#
10.02.20151.21 Mб757Практикум Мировая экономика.doc