6-

Замкнутые классы функций

Класс T0

Теорема. Класс T0, состоящий из всех f 2 F, для которых f (0; : : : ; 0) = 0, является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; An 2 T0 и g = f (A1; : : : ; An). Тогда

g(0; : : : ; 0) = f (A1(0; : : : ; 0); : : : ; An(0; : : : ; 0)) = f (0; : : : ; 0) = 0;

так что g 2 T0: По предложению 5 класс T0 замкнут.

Замкнутые классы функций

Класс T1

Теорема. Класс T1, состоящий из всех f 2 F, для которых f (1; : : : ; 1) = 1, является замкнутым.

Замкнутые классы функций

Класс T1

Теорема. Класс T1, состоящий из всех f 2 F, для которых f (1; : : : ; 1) = 1, является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; An 2 T1 и g = f (A1; : : : ; An).

Замкнутые классы функций

Класс T1

Теорема. Класс T1, состоящий из всех f 2 F, для которых f (1; : : : ; 1) = 1, является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; An 2 T1 и g = f (A1; : : : ; An). Тогда

g(1; : : : ; 1) = f (A1(1; : : : ; 1); : : : ; An(1; : : : ; 1)) = f (1; : : : ; 1) = 1;

так что g 2 T1:

Замкнутые классы функций

Класс T1

Теорема. Класс T1, состоящий из всех f 2 F, для которых f (1; : : : ; 1) = 1, является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; An 2 T1 и g = f (A1; : : : ; An). Тогда

g(1; : : : ; 1) = f (A1(1; : : : ; 1); : : : ; An(1; : : : ; 1)) = f (1; : : : ; 1) = 1;

так что g 2 T1: По предложению 5 класс T1 замкнут.

Замкнутые классы функций

Класс самосопряженных (самодвойственных) функций

Теорема. Класс S, состоящий из всех f 2 F, для которых

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn);

является замкнутым.

Замкнутые классы функций

Класс самосопряженных (самодвойственных) функций

Теорема. Класс S, состоящий из всех f 2 F, для которых

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn);

является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; Ak 2 S и g = f (A1; : : : ; An).

Замкнутые классы функций

Класс самосопряженных (самодвойственных) функций

Теорема. Класс S, состоящий из всех f 2 F, для которых

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn);

является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; Ak 2 S и g = f (A1; : : : ; An). Тогда

g(x1; : : : ; xn) = f (A1(x1; : : : ; xn); : : : ; Ak (x1; : : : ; xn)) =

=f (A1(x1; : : : ; xn); : : : ; Ak (x1; : : : ; xn)) =

=f (A1(x1; : : : ; xn); : : : ; Ak (x1; : : : ; xn)) = g(x1; : : : ; xn);

так что g 2 S:

Замкнутые классы функций

Класс самосопряженных (самодвойственных) функций

Теорема. Класс S, состоящий из всех f 2 F, для которых

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn);

является замкнутым.

Доказательство. Пусть f ; A1; : : : ; Ak 2 S и g = f (A1; : : : ; An). Тогда

g(x1; : : : ; xn) = f (A1(x1; : : : ; xn); : : : ; Ak (x1; : : : ; xn)) =

=f (A1(x1; : : : ; xn); : : : ; Ak (x1; : : : ; xn)) =

=f (A1(x1; : : : ; xn); : : : ; Ak (x1; : : : ; xn)) = g(x1; : : : ; xn);

так что g 2 S: По предложению 5 класс S замкнут.

Замкнутые классы функций

Полные классы

Определение. Класс функций C F называется полным, если [C] = F.