Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа
Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции:
№ узла-i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
xi |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
10 |
y=f(xi) |
1 |
8 |
20 |
15 |
10 |
8 |
вычислим
значение интерполяционного многочлена
в точке x=b=5
по формуле Лагранжа
Для обеспечения минимальной погрешности интерполяции перенумеруем узлы исходной таблицы. Определим отрезок, содержащий точку интерполяции: точка xx=b=5 находится внутри отрезка [4;6] и выберем из этого отрезка узел x0, ближайший к точке интерполяции xx=b=5. В данном случае эта точка равноудалена от концов отрезка, поэтому за x0 можно взять любой конец отрезка, например x0=4. Тогда другой конец этого отрезка будет узлом x1=6. Далее выбираем узлы, исходя из их близости к точке интерполяции и по возможности симметрично относительно точки интерполяции b=5. Итак,
x0=4, x1=6, x2=2, x3=9, x4=1, x5=10.
Таким образом, получаем таблицу перенумерованных узлов для построения интерполяционного многочлена Лагранжа с минимальной погрешностью в точке b=5:
№ узла-i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
xi |
4 |
6 |
2 |
9 |
1 |
10 |
y=f(xi) |
20 |
15 |
8 |
10 |
1 |
8 |
Интерполяция по формуле Лагранжа с использованием Mathcad:
Исходная табличная функция для интерполяции:
Для интерполяции в точке хх=5 перенумеруем узлы и получим:
Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа:
Построение многочленов в явном виде и вычисление их значений в точке интерполяции хх= 5:
Л и н е й н а я и н т е р п о л я ц и я :
К в а д р а т и ч н а я и н т е р п о л я ц и я :
К у б и ч е с к а я и н т е р п о л я ц и я :
Интерполяция по в с е м узлам (многочлен 4 степени):
Графики табличной и интерполирующих функций по формуле Лагранжа:
Оценку погрешности многочлена Лагранжа практически производят по формуле:
Таким образом, погрешности многочленов Лагранжа равны для линейной интерполяции:
для квадратичной интерполяции:
для кубической интерполяции:
|
Запишем в табл. 3-3 результаты интерполяции и оценки погрешности (здесь приведены результаты интерполяции только для первой формулы Ньютона):
-
Число
Узлов
n+1
Оценка погрешности
Метод Ньютона
Метод Лагранжа
|
|2
-0.5
17.5
7.5•10-3
2.125
3
-0.507
19.625
0.066
0.982
4
-0.574
18.643
0.084
1.029