3.5. Пример выполнения задания

1. Задание для интерполяции функции

Выполнить интерполяцию таблично заданных функций и вычислить значения в точках xx=a1=0.4, xx=a2=1 (по методу Ньютона) и x=b=5 (по методу Лагранжа).

2. Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Ньютона

Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции:

№ узла-i	0	1	2	3	4	5	6
xi	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9	1.1	1.3
y=f(xi)	-1.5	-0.88	-0.12	0.7	0.52	0.44	0.97

Приведем два примера выполнения интерполяции для 1-й и для 2-й формул Ньютона.

1) Для вычисления значения интерполирующей функции в точке xx=a1=0.4 методом Ньютона следует применить 1-ю формулу Ньютона, т.к. точка интерполяции xx=a1=0.4 равноудалена от ближайших к ней узлов (0.3 и 0.5) и находится в начале таблицы. Поэтому выберем узлы интерполяции х₀=0.3, х₁=0.5, х₂=0.7, х₃=0.9, х₄=1.1 (x₀=0.3– ближайший к точке xx=a1=0.4 узел слева).

Для построения интерполяционного многочлена Ньютона в точке a=0.4 воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона.

Ближайший к точке а узел слева х=0.3, поэтому полагаем х₀=0.3.

Для линейной интерполяции следует взять узлы х₀=0.3 и х₁=0.5.

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

х₀=0.3, х₁=0.5; х₂=0.7;

х₀=0.3, х₁=0.5; х₂=0.7; х₃=0.9.

2) Для вычисления значения интерполирующей функции в точке xx=a2=1 методом Ньютона следует применить 2-ю формулу Ньютона, т.к. точка интерполяции xx=a2=1 равноудалена от ближайших к ней узлов (0.9 и 1.1) и находится в конце таблицы. Поэтому выберем узлы интерполяции х_n=1.1, х_n-1=0.9, х_n-2=0.7, х_n-3=0.5, х_n-4=0.3 (x_n=1.1– ближайший к точке xx=a2=1 узел справа). Для построения интерполяционного многочлена Ньютона в точке a=1 воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона.

Ближайший к точке а узел справа х=1.1, поэтому полагаем х_n=1.1.

Для линейной интерполяции следует взять узлы х_n=1.1 и х_n-1=0.9.

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

х_n=1.1, х_n-1=0.9; х_n-2=0.7;

х_n=0.3, х_n-1=0.9; х_n-2=0.7; х_n-3=0.5

• для выбранной последовательности узлов построим таблицу конечных разностей:

x	y
0.3	-0.88	0.76	0.06	-1.06	2.16
0.5	-0.12	0.82	-1	1.1
0.7	0.7	-0.18	0.1
0.9	0.52	-0.08
1.1	0.44

Интерполяция по формулам Ньютона с использованием Mathcad:

Исходная табличная функция (выбранные узлы) для интерполяции: Конечные разности: 1 порядка 2 порядка 3 порядка 4 порядка Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 1 формуле Ньютона: Построение многочленов в явном виде: Линейный Квадратичный Кубический Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=0.4: Многочлен 4 степени (пример для сравнения и построения графика): Графики табличной и интерполирующих функций по 1 формуле Ньютона Погрешность интерполяции по 1 формуле Ньютона оценивается по формуле: , где Для линейной интерполяции: Для квадратичной интерполяции: Для кубической интерполяции: Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 2 формуле Ньютона: Для интерполяции в точке x=a=1 воспользуемся 2 формулой Ньютона Построение многочленов в явном виде: Линейный Квадратичный Кубический Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=1: Графики табличной и интерполирующих функций по 2 формуле Ньютона: Многочлен 4 степени должен быть одинаковым для обеих формул Ньютона, так как в таблице всего 5 узлов, т.е. использованы все узлы: П о 1 ф о р м у л е : П о 2 ф о р м у л е : Значение многочлена 4степени в точках хх =0.4 и хх =1 также совпадают для обеих формул: Д л я 1 ф о р м у л ы Н ь ю т о н а : Д л я 2 ф о р м у л ы Н ь ю т о н а : Погрешность интерполяции по 2 формуле Ньютона оценивается по формуле: , где Для линейной интерполяции: Для квадратичной интерполяции: Для кубической интерполяции: