808

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

k 1p 1 1p 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

3.7. Бесекерский В.А. и др. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1978.

512 с.

3.8. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. Учеб. пособие для втузов. – М.: Машиностроение, 1989. – 752 с.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

4.1. Контрольная работа № 1

Каждому студенту предлагается электрическая схема на пассивных элементах (резисторах, конденсаторах, индуктивностях). Накопителей электрической энергии в любой схеме два.

Вконтрольной работе требуется:

1)cоставить систему дифференциальных уравнений, описывающих равновесие в электрической цепи;

2)определить передаточную функцию схемы;

3)построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пример рассчитываемой схемы приведен на рис.7.1.

iR3

R1 iR1

iC1

iR2

iC2

uвх(t)

C2 uвых(t)

Рис. 4.1. Электрическая схема пассивного четырехполюсника

По законам Кирхгофа составим исходную систему уравнений, описывающих данную схему:

iR1(t) iR2(t) iR3(t) iC1(t) 0,

(t) 0,

iR3(t) iC1(t) iC2

iR3

(t) uC1(t) 0,

(4.1)

R i

(t) u

(t) R i

(t) u

(t) 0,

4 C2

(t).

R i

(t) u

(t) R i

(t) u

вх

4 C2

Дополним систему уравнений (4.1) уравнением

относительно uвых(t) :

uвых(t) R4 iC2(t) uC2(t).

(4.2)

Учитывая,

что

(t) C

duC1(t)

и i

(t) C

duC2(t)

исключим переменные iC1(t) и

iC2(t)

из системы уравнений

(4.1). После подстановки получим:

(t) i

(t) C

duC1(t)

duC2

(t)

iR3(t) C1

iR3

(t) uC1(t) 0,

(4.3)

duC2(t)

iR2

(t) uC1(t) R4 C2

uC2(t) 0,

duC2(t)

R1 iR1(t) uC1(t) R4 C2

uC2(t) uвх(t).

Для вывода передаточной функции подвергнем систему

уравнений (4.3) преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях. Вводя обозначения

iR1(t) IR1(p), iR2(t) IR2(p), iR3(t) IR3(p), uC1(t) UC1(p),

(t) U

(p),

duC1(t)

(p),

duC2(t)

(p),

получим:

uвх(t) Uвх(p),

uвых(t) Uвых(p).

IR1(p) IR2(p) IR3(p) C1pUC1(p) 0,

(p) C pU

(p) C

(p) 0,

IR3

(p) UC1(p) 0,

(4.4)

p 1U

(p) U

(p) R

(p) 0,

(p),

R I

(p) R

(p) U

вх

Uвых(p) R4C2 p 1UC2(p).

(4.5)

Из уравнения (4.5) легко видеть, что для более быстрого получения передаточной функции систему уравнений (4.4) удобнее всего разрешить относительно переменной UC2(p). Для этого выразим из третьего уравнения системы (4.4) переменную UC1(p) , подставим ее во второе уравнение и найдем переменную IR3(p):

UC1(p) R3 IR3(p),

IR3(p) C1R3p IR3(p) C2 pUC2(p) 0,

(p)

C2 p

(p),

(4.6)

C R p 1

(p)

R3C2p

(p).

(4.7)

C R p 1

Подставим выражение (4.7) в четвертое уравнение и опре-

делим из получившегося соотношения переменную IR2(p):

R I

(p)

R3C2p

(p) R

p 1U

(p) 0,

C R p 1

отсюда

R3C2 p

R C

p 1

R C p 1

IR2(p)

3 1

UC2(p)

(4.8)

R3R4C1C2p2 R3 C1 C2 R4C2 p 1UC2(p). R2 R3C1p 1

Подставив выражения (4.6) – (4.8) в первое уравнение системы (4.4), получим выражение для определения переменной

IR1(p) :

R R C C

R C C

R C

p 1

IR1(p)

3 4 1 2

3 1

UC2(p)

R2 R3C1p 1

R C C

(p)

3 1 2

(p) 0,

R C p 1

отсюда

CC p2 R

R C R C p 1

R R R

C C

(p)

1 2

3 1

(p). (4.9)

R2 R3C1p 1

Подставив выражения (4.6) , (4.9) в пятое уравнение сис-

темы (4.4), выразим Uвх(p) через переменную UC2(p):

R C C R C R C p 1

R R R C C p

Uвх(p) R1

3 2

1 2

3 1

4 2

2 2

R R C p 1

R3R4C1C2p

R3 C1 C2 R4C2

p 1

(p)

R C p 1

R1R3 R2 R4 R2R3R4 C1C2

R R

1 2

R3C1p 1

R C R

R R

R R R R

3 1

1 3

2 1

p 1

R1 R2

UC2

(p).

R3C1p 1

Поделив уравнение (4.5) на полученное выражение, получим передаточную функцию заданного пассивного четырехполюсника:

где

k	R2	,	R C ,			2	R	C	2	,

	R1 R2		1	3	1		4


	T	R1R3 R2 R4 R2R3R4 C1C2		,
1		R1	R2
T	R1 R2 R3C1 R1 R3 R4 R2 R1 R3 R4 C2

2		R1	R2

Таким образом, заданный четырехполюсник может быть представлен последовательным соединением пропорционального звена с коэффициентом передачи k , двух форсирующих звеньев с постоянными времени 1, 2 и звена второго порядка. Последнее может быть только апериодическим, поскольку реализовано на одинаковых накопительных элементах. Апериодическое звено второго порядка, в свою очередь, может быть представлено последовательным соединением двух апериодических звеньев первого порядка с постоянными времени T3 и T4 , определяемым по соотношению

	T	T	2	4T 2					T
	T	T	2	4T 2		2			T
T	2	2		1	T	2			2
							1	,		,
			2				1	,	2T1	,
3,4			2		1				2T1

а передаточная функция может быть представлена формулой


W(p)	k 1p 1 2 p 1		.	(4.11)

	T p 1 T p 1
3		4

Для построения частотных характеристик зададим численные значения параметров элементов схемы. Примем

R1 R2	R3	R4 100Ом,, С1		1000мкФ,	С2 2000мкФ,
тогда, в соответствии с полученными формулами, получим
k 0,5,	1	0,1c,	2 0,2c,	T3 0,545c,	T4 0,055c.

Рассчитаем частоты сопряжения и их десятичные логарифмы:


	1		10;	lg	1;
			10;	lg	1;
C1				C1
	1
	1		5;	lg		0,7;
		2	5;	lg		0,7;
C2		2		C2
	1		1,835;	lg			0,264;
	T		1,835;	lg			0,264;
C3	T			C3
	3
	1		18,2;	lg			1,26.
		T	18,2;	lg			1,26.
C4		T		C4
	4

Асимптотическая ЛАЧХ, построенная по передаточной функции (4.11), представлена на рис.4.2.

G( )

	C3		C2	C1	C4				log
									log

0	0.25	0.5	0.75	1		1.25	1.5	1.75

5 -20

+20

Рис. 4.2. Асимптотическая ЛАЧХ пассивного четырехполюсника

П р и м е ч а н и е. Кроме описанного способа, для нахождения передаточной функции система (4.5) может быть решена любым другим способом, например, путем решения матричного уравнения вида Ax B, где

R1 R2

R3C1p 1

								16
	IR1(p)
			(p)
	IR2		(p)
x IR3(p)					–	вектор переменных,

	UC1(p)
	U		(p)
		C2
	1 1				1 C1p			0
	0		0		1	C p	-C			2	p
						1				2
A			0		R3	1		0					– матрица коэффици-
A	0		0		R3	1		0					– матрица коэффици-
		0	R	2	0 1 - R			4	C		2	p 1
				2				4			2
	R		R		0	0		0
		1		2

ентов при переменных,

B 0	– вектор правых частей системы (4.5) .

Uвх(p)

В этом случае решение удобно искать по формуле

x A 1B, где A 1 – обратная матрица и, например, для пятой компоненты вектора x оно будет иметь вид:


	R2		R3C1p 1
UC2(p)	R2		R3C1p 1
		R1R3 R2	R4	R2R3R4 C1C2		2
	R R	R1R3 R2	R4	R2R3R4 C1C2	p	2
	1 2		R R		p
			R R
			1	2

R1 R2 R3C R1 R3 R4 R2 R1 R3 R4 C2 Uвх(p). p 1

Теперь для получения передаточной функции требуется умножить полученное выражение на R4C2p 1 и поделить его на Uвх(p) . Легко видеть, что результаты совпадут.

Описанный подход удобен при использовании системы

MathCAD.

4.2. Контрольная работа № 2

Вработе предлагается структурная схема замкнутой САУ третьего порядка, указываются величины задающего и возмущающего воздействий.

Вработе необходимо сделать следующее:

1)определить устойчивость и граничное значение коэффициента передачи, применив один из заданных критериев (Гурвица, Михайлова или Найквиста);

2)определить статическую точность;

3)построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ, определить запас устойчивости по фазе.

Рассмотрим пример, воспользовавшись структурной схе-

мой, приведенной на рис. 4.1. Здесь звенья имеют следующие передаточные функции:

W (p)		k1	, W (p) k2 2p 1		, W (p) k ,
1		T2p 1	2	p	3	3
T12p	2	T2p 1		p
			Woc(p) koc,
				f
				W3(p)
g		W1(p)			W2(p)	y
		W1(p)			W2(p)
				Woc(p)
		Рис. 4.3. Структурная схема САУ

где

k 20; T 2

0,04 c2 ;

0,3 c;

1c-1;

0,05c;

k3 koc 0,5;

g 2;

fmax 5.

Получим передаточные функции САУ:

- передаточная функция разомкнутой системы по задаю-

щему воздействию:

k1k2 2p 1

Wpg(p) W1(p) W2(p)

;

p(T 2p2 T p 1)

- передаточная функция разомкнутой системы по возму-

щающему воздействию:

k2k3( 2p 1)

W (p) W (p) W (p)

;

- передаточная функция разомкнутой цепи:

W (p) W (p) W (p) W (p)

k1k2kос 2p 1

p(T 2p2 T p 1)

рц

ос

Kp 2p 1

p(T

2p2 T p 1)

где Kp k1k2kос 10 - коэффициент передачи разомкнутой це-

пи;

- передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию:

Wзg(p)	Wрg(p)	Kp			2p 1				;
Wзg(p)	1 Wрц(p)	kос		p(T 2p2	T p 1) K	p	2	p 1	;
			1		2	p	2

- передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:

						Wрf (p)					k		2		k	3	(	2		p 1)(T 2 p2			T			p 1)
W		(p)											2			3		2			1				2				.
W		(p)			1 Wрц(p)						p(T 2 p2								T p 1) K						(				.
	зf				1 Wрц(p)						p(T 2 p2								T p 1) K					p	(	2	p 1)
															1					2				p		2
Характеристический полином САУ
A(p) p(T				2p2	T p 1) K					p		2		p 1					a p3		a p		2 a p a ,
			1		2					p		2								3	2					1		0
где a	K		p	,		a K	p	2	1,								a			T ,	a	3	T 2 .
0			p		1		p	2										2		2		3			1

Определим устойчивость САУ и ее граничный коэффициент передачи по различным критериям устойчивости.

4.2.1. Критерий устойчивости Гурвица

Вычислим главный минор определителя Гурвица:

n 1 a1 a2 a3a0 10 0,05 1 0,3 0.04 10 0,05.

Т.к. n 1 0, САУ устойчива.

Рассчитаем граничный коэффициент передачи, решив уравнение n 1 0, т.е.:

Kгр 2 1 T2 T12 Kгр 0,

отсюда

Kгр			T2		0,3	12.
	T	2	T
				2	0,04 0,3 0,05
1			2
Устойчивость			САУ		подтверждается		тем,	что

Kр 10 Kгр 12.

4.2.2.Критерий устойчивости Михайлова

Произведем в полиноме A(p) p(T 2p2		T p 1)
	1	2
Kp( 2p 1) замену оператора Лапласа p на переменную			j .
Получим:
A( j ) Kp 2T2 j (Kp 2 2T12),
т.е. Re A( j ) Kp 2T2,	Im A( j ) Kp 2 2T12 .

Определим частоты, при которых мнимая и вещественная части функции A( j ) обращаются в нуль. Мнимая часть A( j )

равна

нулю

при

частотах

0 0

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023443.06 Кб08012.pdf
#
05.02.2023346.05 Кб08020.pdf
#
05.02.2023554.76 Кб08035.pdf
#
05.02.2023634.21 Кб08072.pdf
#
05.02.2023617.93 Кб08073.pdf
#
05.02.20231.05 Mб1808.pdf
#
05.02.2023119.34 Кб0816.pdf
#
05.02.20231.81 Mб158181.pdf
#
05.02.2023289.28 Кб08198.pdf
#
05.02.2023522.54 Кб08222.pdf
#
05.02.2023297.56 Кб08223.pdf