2.6Сложное движение твердого тела

2.6.1Сложение поступательных движений

Выше рассматривалось сложное движение материальной точки. Далее анализируется движение абсолютно твердого тела.

Движение тела называется сложным, если тело движется относительно подвижных осей Oxyz, а эти оси движутся по отношению к

неподвижной системе O1x1y1z1.

Основные кинематические характеристики движения тела – его поступательные и угловые скорости и ускорения. Далее рассматриваются только скорости.

Если в относительном движении для всех точек скорость одинакова (что и говорит о поступательном движении) и равна v1, а в переносном движении постоянна и равна v2, то абсолютная скорость любой точки будет v = v1 + v2, и абсолютное движение тела будет тоже поступательным. Нужно обратить внимание на то, что эти равенства записаны в векторной форме, то есть при суммировании имеется в виду геометрическая сумма.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями v1 и v2 результирующее движение тоже будет поступательным со скоростью v = v1 + v2.

2.6.2 Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Пусть тело вращается с угловой скоростью ω1 вокруг оси аа, содержащей точку А, а эта ось вращается с угловой скоростью ω2 вокруг оси bb, содержащей точку В (рисунок 2.33).

b a

Рисунок 2.33 – Сложение параллельных вращений

Рассмотрим частные случаи.

1. Вращения направлены в одну сторону

90

Построим плоскость S, перпендикулярную осям; в этой плоскости находятся точки А и В (рисунок 2.34). Очевидно, что относительно точки А скорость точки В определяется обычным образом:

Рисунок 2.34 – Сложение однонаправленных параллельных вращений

vB= ω2·AB.

Относительно точки В скорость точки А определяется аналогично vА = ω1·AB.

Очевидно, что эти скорости параллельны и направлены в разные стороны. Но тогда точка С – мгновенный центр скоростей, а ось сс –

мгновенная ось вращения тела. Для угловой скорости вращения ω вокруг оси сс справедливо:

ω = vB/BC = vA/AC.

Тогда на основании свойства пропорций (из равенства а/А = =b/В следует, что (а + b)/(A + В)), можно записать

ω = (vA+vB) / AB.

Это дает ω = ω1 +ω2.

Итак, если тело одновременно участвует в двух вращениях вокруг параллельных осей, направленных в одну сторону, результирующее движение будет вращением вокруг мгновенной оси, параллельной данным.

Т.к. ось аа перемещается, то ось мгновенного вращениясс описывает цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны

Пусть для определенности ω1 > ω2; величины скоростей точек А и В определяются соотношениями (рисунок 2.35)

vA = ω2·AB, vB = ω1·AB.

91

Рисунок 2.35 – Сложение разнонаправленных параллельных вращений

При этом скорости параллельны и направлены в одну сторону. Тогда центр вращения – в точке С, причем

ω = vB/BC = vA/AC,

и

ω = (vB–vA)/AB = ω1 – ω2.

Таким образом, в этом случае результирующее движение представляет собой мгновенное вращение вокруг оси сссо скоростью ω = ω1 – ω2.

3. Пара вращений

В этом случае ω1 = ω2, и направлены эти вращения в разные

стороны. Говорят, что ω1 и ω2 образуют пару угловых скоростей. При этом vA = vB, но это означает, что мгновенный центр скоростей находится на бесконечности и все точки тела в данный момент имеют о динаковые скорости

v = ω1·AB = ω2·AB.

Результирующее движение будет поступательным (мгновенно поступательным) со скоростью v, направленной перпендикулярно

плоскости, проходящей через векторы ω1 и ω2.

Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примеры такого движения являют движения педали велосипеда, стеклоочистителя на больших автомобилях или автобусах, и т.д.

92